10169

уравнения на M и обозначив через

ω 2 =

С

,

окончательно получим:

M

&&

2

+ ω × y = 0 .

(5.2)

y

В (5.2):

ω =

C

=

1

=

Q

=

g

(5.3)

M × yст

M

δ × M

yст

за время (2 ×π )

секунд. Здесь δ - перемещение точки приложения груза (массы)

от действия единичной силы

= 1.

P

Составим

характеристическое уравнение

r 2 + ω 2 × y = 0 . Его решением

будет: r1,2 = ±ω ×

= ± i ω . Каждому корню rk

-1

характеристического уравнения

y = C1 × eiω t + C2 × e -iω t ,

(5.4)

начальных условий t0 , y0 , y0

= V0 .

&

Решение (5.4) преобразуем, используя формулу Эйлера:

e± iω t = cosω t ± i sin ω t .

Тогда:

y = C1 (cosω t + i sin ω t) + C2 (cosω t - i sin ω t) =

= i (C1 - C2 ) ×sin ω t + (C1 + C2 ) × cosω t .

(5.5)

a1 = i (C1 - C2 );

b1 = C1 + C2 -

i =

.

Обозначим:

произвольные постоянные;

-1

Тогда выражение (5.5) примет вид:

y = a1 × sin ω t + b1 × cosω t .

(5.6)

Введем другие произвольные постоянные:

a1 = A × cosα ,

b1 = A ×sin α .

y = A × sin (ω t + α )

(5.7)

51

ω =

=

[ рад/ с] . Поскольку ω

частотой собственных колебаний

C / M

1/(M ×δ11 )

показывает число колебаний за

время 2π

сек, она называется круговой

степенью свободы. Способ ее определения рассмотрим на примере.

Пример. Рассмотрим колебания упругой

системы

с

одной

степенью

свободы

по

рис.5.2а.

l 3

δ11 =

, ω =

48 × E × I

.

48 × E × I

M × l 3

На рис. 5.2б показан график гармонических

колебаний

системы:

T =

2 ×π

(сек)

-

период

ω

собственных колебаний, т.е. время одного

полного колебания системы. Величины A

и

α

в (5.7)

определяем из начальных условий:

Рис. 5.2

при t

= 0,

&

y0 , y0 = V0 .

y0

&

y = A × sin α ;

sin α =

; y0

= A ×ω × cos(ω t

+ α ) = A ×ω × cosα ;

cosα =

y0

;

A

A ×ω

&

y

×ω

y

y

2

2

y

2

α = arctg

0

. sin 2 α + cos2 α =

0

+

0

= 1, тогда A =

y02 +

0

.

y0

2

A

2

2

ω

2

A

×ω

&

амплитуд колебаний A1 , A2 ,..., Ai

,..., An

(

y = Ai ×ω

2

× sin (ω t + α ) ) :

&&

(M 1 ×δ11

-

1

) × A1 + M

2 ×δ12 × A2 +...+ M i ×δ1i × Ai + ...+ M n ×δ1n × An = 0 ;

ω 2

M 1 ×δ 21

× A1 + (M 2 ×δ 22

-

1

) A2 +...+ M i ×δ 2i × Ai + ...+ M n ×δ 2n × An = 0 ;

ω 2

(6.4)

. . . . . .

. .

. .

. . . . .. . .

.

.. .

. . . .

. .

. . . .

.

.

.

M 1 ×δ i1 × A1 + M 2 ×δ i 2 × A2

+...+ (M i

×δ ii -

1

) × Ai + + M n ×δ in × An = 0 ;...

ω 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 1 ×δ n1 × A1 + M 2 ×δ n2 × A2

+...+ M i ×δ ni × Ai

...+ + (M n ×δ nn -

1

) × An = 0 .

ω 2

Система (6.4) допускает два вида решений:

- нулевое,

когда A1 = A2 = ...

= Ai

= ...

= An

= 0 , т.е. движение отсутствует;

(M 1 ×δ11 - λ)

M 2 ×δ12

. . .

M i ×δ1i

. . .

M n ×δ1n

M 1 ×δ 21

(M 2 ×δ 22 - λ)

. . .

M i ×δ 2i

. . .

M n ×δ 2n

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0, (6.5)

M 1 ×δ i1

M 2 ×δ i 2 . . . (M i ×δ ii - λ) . . . M n ×δ in

M 1 ×δ n1

M 2 ×δ n 2 . . .

M i ×δ ni

. . . (M n ×δ nn - λ)

где обозначено

λ =

1

- величина обратная квадрату круговой собственной

ω 2

частоты колебаний.

Выражение

(6.5),

являющееся алгебраическим уравнением n − ой степени

относительно ω 2

(или

λ) , называют уравнением частот или вековым

имеет система. Их

располагают в убывающем порядке λ1

F λ2 F ... F λi

F ... F λn ,

что соответствует

ряду значений собственных

частот

ω1 P ω2 P ... P ωi P ωn ,

(рис. 6.2). Наименьшая частота называется

основной частотой,

а

другие частоты -

обертонами.

Вся

совокупность

частот

Рис. 6.2

собственных колебаний системы называется

54

спектром ее собственных частот. Каждой частоте

ωk соответствует

собственное колебание

yik = Aik × sin(ωk t + α k ), (i = 1, 2, ..., n) .

Для формирования

уравнения частот (6.5)

необходимо вычислить удельные перемещения δ ij по

изгибающих моментов от действия единичных сил

Pi

= 1 ,

(i = 1, 2,

... , n) ,

приложенных по направлению соответствующих координат

yi

(i = 1, 2, ..., n).

6.1. Формы собственных колебаний

Общее решение (6.3)

содержит

n2

неизвестных

амплитуд A

и n

ik

начальных фаз, то есть всего

(n2 + n) произвольных постоянных,

в то время как

число начальных условий: при

t = 0 , y0i ,

y0i

(i = 1, 2, ... , n )

- равно только

(2 × n) .

&

не удается,

то

выражают отношения

амплитуд

ρik

=

Aik

,

называемые

A1k

коэффициентами

форм колебаний

или относительными

амплитудами

свободных

колебаний системы.

Они

характеризуют

собственные формы

(M 1 ×δ11

-

1

) ×

A1k

+ M

2 ×δ12

×

A2k

+...+ M i ×δ1i

×

Aik

+ ...+ M n

×δ1n

×

Ank

= 0 ;

ω 2

A

A

A

A

k

1k

1k

1k

1k

M 1

×δ 21

×

A1k

+ (M 2 ×δ 22

-

1

) ×

A2k

+...+ M i ×δ 2i

×

Aik

+ ...+ M n

×δ 2n

×

Ank

= 0 ;

A

A

ω

2

A

A

1k

k

1k

1k

1k

. . .

×.δ.n.1

.× A. . .

+. M 2 ×δ n 2 ×. . . .. . . .

..

.

.+.....+ M i ×δ ni ×. . . . . . . .

. . .

+. ....+ (M n ×δ nn -. . . . . . . . . . .ω 2. .

). × A. . .

(6.6)

M 1

A

A

= 0 .

A1k

A2k

Aik

1

Ank

1k

1k

1k

k

1k

n

yi = ∑ ρik × A1k × sin (ωk t + α k ), (i = 1, 2, ... , n) .

(6.7)

n

∑ M i × ρik × ρij = 0 . (k ¹ j )

(6.9)

Aik = ρik × A1k ,

(i = 1, 2, ... , n )

(6.10)

57

-

для железобетона:

γ жб = 0,1;

-

для стали:

γ сталь

= 0,025 ;

-

для дерева:

γ дер.

= 0,05 ;

-

для кирпичной кладки:

γ жб = 0,08 .

M × y + b × y + C × y = P(t) ,

&&

&

где учтено, что изменение силы неупругого сопротивления в соответствии с

гипотезой Кельвина-Фойгта пропорционально скорости колебания

системы

( Fс = -b × y ),

где b коэффициент пропорциональности. При P(t) = 0 (свободные

&

колебания),

поделив все члены на М и обозначая: 2 ×ε =

b

;

ω 2 =

C

,

получим

M

M

y + 2 ×ε × y + ω

2

× y = 0 .

(7.1)

&&

&

В выражении (7.1)

ε

называют коэффициентом демпфирования (или

затухания).

Решение уравнения (7.1) имеет вид:

y = e−ε t (a1 × cos ω1t + b1 × sin ω1t) ,

(7.2)

ω =

где

ω 2 - ε 2

(7.3)

-

частота

собственных колебаний

с

учетом

сил

1

сопротивления.

Так как

ε PP ω , то на практике принимают ω1 = ω и записывают

(7.2)

в виде: y = e−ε t (a1 × cos ω t + b1 × sin ω t) .

Произвольные постоянные

a1 и

b1

определяются из начальных условий:

0 + ε × y0

y

в момент времени t = 0 , y = y0

= a1 , y = y0

= -ε × a1 + b1 ×ω , откуда:

b1

=

&

.

& &

ω

Тогда общее решение (7.2) примет вид:

&

+ ε × y0

y = e −ε t ( y0

× cos ω t +

y0

× sin ω t) .

(7.4)

ω

y = a × e−ε t sin (ω t +α ) ,

(7.5)

где:

a и

α

-

произвольные постоянные,

определяемые

также из

начальных

условий.

На

рис.

7.2

показан

график,

характеризующий

движение

системы с

учетом сопротивления среды.

Рис. 7.2

T =

2 ×π

- период колебаний с учетом сил

ω1

1

сопротивления.

Выразим логарифмический декремент затуханий:

δ = ln

y

n

= ln

a × e

−ε t sin (ω t + α )

= ln

1

= ln eε T1 =ε ×T .

1

(7.6)

a × e−ε (t +T1 ) sin[ω1 (t + T1 ) + α ]

e−ε

yn+1

T1

1

γ =

ψ

=

2 ×δ

= δ ;

δ = γ ×π = ε ×T1

2 ×π

2 ×π

π

&&

&

M × y

+ b × y + C × y = P ×sin θ t .

Рис 8.1

Поделив левую и правую части уравнения

y + 2 ×ε × y + ω

2

× y = P × sin θ t .

(8.1)

&&

&

Решение этого дифференциального уравнения ищут как сумму общего

решения, выражающего свободные колебания и имеющего вид:

y

c

= e−ε t (a

× cos ω t + b × sin ω t) ,

1

1