9957

Н. Ю. Прокопенко

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Нижний Новгород

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Н. Ю. Прокопенко

Дискретная математика

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

ББК 22.17я73 П 78 УДК 519(075)

Публикуется в авторской редакции

Рецензенты:

Цветкова И.Н. – к.ф.-м.н., доцент, начальник управления информационного обеспечения учебного процесса, зав. кафедрой информатики и ИТ Нижегородского института управления Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ (НИУ РАНХиГС)

Елесин А.В. – к.ф.-м.н., ведущий сотрудник ННИМ ННГУ

Прокопенко Н.Ю. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебн. пособие / Н. Ю. Прокопенко; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 251 с. 1 электрон. опт. диск (DVD-R) ISBN 978-5-528-00127-2

Пособие предназначено для проведения практических занятий по дисциплине «Дискретная математика» для подготовки студентов бакалавриата направления 230700 «Прикладная информатика», а также может быть использовано в учебном процессе направления 230400 «Информационные системы и технологии». Содержание пособия охватывает программу разделов: «Теория множеств и отношений», «Комбинаторика», «Элементы теории графов», «Математическая логика и булевы функции».

В каждом разделе освещены необходимые теоретические сведения, представлены типовые задачи с решениями, а также задачи, адресованные студентам для самостоятельной работы.

ББК 22.17я73

1.3.Функциональные отношения……………………………………………….50

3.6.1 Построение остова минимального веса: алгоритмы Прима и Краскала183

3.6.2 Минимальные пути в нагруженных орграфах: алгоритм Дейкстры……188

4.2.3. Суперпозиция функций. Замыкание набора функций. Замкнутые классы

Задачи………..…………………………………………….…………………........249

Список литературы……………………………………….…………………........251

5

Введение

В настоящее время дискретная математика является интенсивно развивающимся разделом математики. Это связано с повсеместным распространением кибернетических систем, языком описания которых она является. Кроме того, дискретная математика является теоретической базой информатики, которая всё глубже и глубже проникает не только в науку и технику, но и в повседневную жизнь.

Методы дискретной математики пригодны для описания и последующего конструктивного анализа многих проблемных ситуаций, в том числе не поддающихся описанию традиционными средствами классической математики, и позволяют при необходимости активно использовать современную вычислительную технику, новые информационные технологии.

Дискретная математика предлагает универсальные средства (языки)

формализованного представления, способы корректной обработки информации, представленной на этих языках, а также возможности и условия перехода с одного языка описания явлений на другой с сохранением содержательной ценности моделей.

Важность владения методами дискретной математики обусловлена ещё и тем, что современная информационная техника обработки информации базируется на дискретных представлениях. Не случайно за рубежом дискретную математику называют компьютерной математикой.

Современный бакалавр, специалист, магистр не может обойтись без использования компьютерной техники. Сегодня это не только специальные текстовые и иные редакторы, системы документационного обеспечения, но и более сложные системы поддержки принятия решений, экспертные и другие интеллектуальные системы.

Цель данного учебного пособия – дать необходимый теоретический минимум информации по дискретной математике и рассмотреть всевозможные задачи данной дисциплины для её более быстрого и прочного усвоения.

6

Глава 1. Теория множеств и отношений.

1.1.Множества. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность объектов любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов, множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.).

Элементы множества – это объекты, которые образуют данное множество, могут обладать некоторыми свойствами и находиться в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.

Множества обозначают заглавными, а элементы множеств – строчными латинскими буквами или строчными латинскими буквами с индексами.

Множество можно задавать перечислением его элементов: Х = {х1 , х2 ,…, xn } или характеристическим свойством Х = {х | Р(x)}, где Р(х)

означает, что элемент х обладает свойством P(x).

(читают: элемент х принадлежит множеству А). В противном случае,

обозначают х A (читают: элемент х не принадлежит множеству А).

Множества могут быть конечными и бесконечными.

Множество A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} цифр в десятичной системе счисления конечно. Множество точек окружности бесконечно.

Число элементов в конечном множестве М называется мощностью М и

обозначается |M|. Пусть задано множество A={x| 5≤x≤10, x N}, тогда |A|=6,

В={1,5,8,0,1,1,5}, тогда |В|=4.

Элементами множеств могут быть другие множества. Запись А={{x,y},z} означает, что множество A содержит два элемента: множество {x,y} и элемент z,

|A|=2.

Пример 1.1.

A = {D, C}, D={a, b}, C={c, d, e}. При этом D A, C A, но a A и с A.

7

Множество А, все элементы которого принадлежат множеству В, называется подмножеством множества В.

Обозначение: A B; A B, при этом говорят, что А включено в В.

Нестрогое включение обозначается А В, означает, что А– подмножество множества В, возможно совпадающее с В. Строгое включение обозначается

А В, и означает, что А – подмножество множества В, не совпадающее с B. Равенство множеств А = В означает, по определению, что верны оба

включения в ту и другую сторону: А В и В А.

Совокупность объектов, которая не является множеством, называется классом. Неформально говоря, называя совокупность элементов классом, а не множеством, мы берем на себя сравнительно меньшую ответственность за определенность, отличимость и бесповторность элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Ø.

Пустое множество – это множество, поэтому, если некоторое множество A

не содержит ни одного элемента, то A= ; |A|=0. Запись A={ } означает, что A

содержит один элемент – , |A|=1.

Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е.А, где А – любое множество.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех рассматриваемых множеств (и семейств) берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством (или универсумом).

Геометрическая интерпретация множеств – диаграммы Венна

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. А В = {х х Аили х В}

8

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В.

А ∩ В = {х хÎ Аи хÎ В}

Пример 1.2. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда А В = {1, 2, 3, 4, 5},

А ∩ В = {3}.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В.

А \ В = { х | х А и х В }.

Определение. Симметрической разностью

множеств А и В называется множество, содержащее либо элементы множества А, либо элементы множества В, но не те и другие одновременно.

А÷ В=( А \ В )È( В \ А)={х| х А или х А, но х АÇВ }

Определение. Дополнением множества А (до

универсального множества) называется множество всех тех элементов из U, которые не принадлежат данному множеству А. А = U \ A , где U – универсальное множество.

Приоритет операций в алгебре множеств следующий:

С= {3, 4, 9} проверим правильность следующих утверждений:

a)А \ В Ì А Ç С

b)А ¸ С Ì В ¸ С