Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9939

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

8.6.

§4. Извлечение корней из комплексных чисел

7.15. Представить в показательной форме числа: 1) z 2i ; 2)

z 1 i ; 3) 1; 4)

3 i ; 5) 3 i 3 ; 6) 2 i 6 .

7.16. Представив числа z1 1 i

и z2 1 i 3 в показательной форме, вычислить:

1) z1 z2 ; 2)

; 3) z16 ; 4) 4 z1 .

7.16. Извлечь корни из комплексных чисел: 1) i ; 2) 3 1 ; 3) 4

1 ; 4) 3 i ; 5) 4 4 ;

6) 4 2 2i3 ; 7) 61 .

7.17. Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на

множители Q(x)ix2ix13i .

7.18. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,

если известен один из его корней x 1 3i.

7.19. Решить на множестве комплексных чисел уравнение 4x 8x 130.

Глава 8

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Непосредственное интегрирование

В задачах 8.1 - 8.24 вычислить интегралы:

8.1. x 23dx. x

x 4 8.4. 2 x dx.

	x 13
8.7.	dx.
	x

1 x2

8.10. 2 dx. x 1 x

8.13.21 dx.

	x 1
		2		2
8.2.		3			dx.
			x
		1			1
		1			1

8.5.							dx
				4 3
	x					x

1 x 2

8.8. dx.

8.11. 21 dx. x 27

8.14. 5 x2 .

8.3.3x 21dx.

3 2 4

x xdx.

12x

8.9.2 2 dx.

x1 x

8.12.2x2 dx.

8.15. 4 x2 .

8.16. x2 9.

8.19. ctgxdx.

8.22. 3xexdx.

8.25.Будет ли

sin2x 1?

				cos2x			dx
8.17.							dx
8.17.				2 2 .
		cosxsinx
				2
	3tgx 3
8.20.						dx
						dx
				2 .
			sinx
			x	x
8.23.		2		5	dx
					dx
				x .
			10

8.18. tg2xdx.

		x
x		e

e 1		2	dx
8.21.			.
	cosx

3 x 2

8.24. xe 3 x dx. x

функция cos2x 1 2первообразной для функции

8.26.	Пусть F x	- первообразная для функции	1	и F 1 .


			2
			2	2
			5 4x x	2
Найти	F 2 .

§2. Интегрирование внесением под знак дифференциала или методом замены переменной

В задачах 8.27 - 8.64 вычислить интегралы:

	2xdx				7
	2xdx					2 3xdx



8.27.			.			.	8.30.
8.27.		x2	.	8.28. 2 3x dx.8.29.		.	8.30.
		x2	1

53 5xdx

8.31.

8.32.

2 3x

1 3x

2x 3

x 1

8.34.

3 2x

.8.35.

2x 1 .

8.36.

x2 1 .

6x 5

x lnx

8.38.

8.39.

23x 5x 2

x3 dx

8.33. .

x4 1

8.37.3x2 dx

lnx

8.40. x dx.8.41.

xdxln x .

8.45. ex dx.

e 1

1 sinx

2 dx. cosx

cosx dx

3 2 .

sinx

8.42.

e3x dx.

8.43. e xdx.8.44.

sinx

8.46.

.8.47.

2 .

cosx

9 e

sinx

sin2x

cosxdx

8.49.

.8.50.

cosx

5 2

8.52.cosxsin2xdx. 8.53. xsin1xdx.

e x dx.

8.48.

8.51.

8.54.

tgx

ctgx

arctgx

8.55. 2 dx. 8.56.

2 dx.

8.57.

cosx

sinx

1 x

cosx

3arcsinx

2 .

1 x

3x arcsinx

2 .

1 x

1 2x x

			dx									dx
8.58.							.	8.59.						.
					2						2

													2
		4 2x 3								arccosx 1x
8.61.			dx			.8.62.				dx		.

			2								2
			x 2x 2						4x 3 x
			dx
8.64.				.

	2
	4x x

§3. Интегрирование по частям

8.60.

8.63.

В задачах 8.65 - 8.92 вычислить интегралы:

8.65. x sinxdx.

8.68. exx dx.

8.71. 2 dx. sinx

8.74. x sinxdx.

8.77. lnxx dx.

8.80. arcsinxdx.

8.83. xarcctgxdx.

8.86. x sinxdx.

2 x

8.89. x 2 dx.

8.92. Вычислить разность функции x ln x .

8.93. Вычислить разность функции x 6cos3x.

8.66. x cos2xdx.

8.69. 3 x e dx.

8.72. x2 dx. cosx

8.75.ln xdx.

8.78.lnx3xdx.

arcsinx 8.81. dx.

1 x


	arctgx
			dx
8.84.			dx
8.84.		x		.
		x

8.87. ln2 xdx.

8.90.e sinxdx.

F2 F1, если F x

8.67.5x 6sin3xdx.

8.70.x 2 dx.

x cosx 8.73. 2 dx.

sinx

8.76.xlnx 1dx.

8.79.lnx 1dx.

8.82.arctgxdx.


	arcsinx
8.85.			dx
			dx
		1 x		.
		1 x

2 x

8.88.x e dx.

8.91.e cosxdx.

-первообразная для


	F x
F2 F	F x	- первообразная для
, если		- первообразная для

3

§4. Интегрирование рациональных функций

В задачах 8.94 - 8.113 вычислить интегралы:

8.94. x 2dx.

8.97. x 2x 3.

2x 7dx

8.100. 2 . x x 2

x3 1

8.103. 3 dx. x x


8.106.	x3 1			dx

		3	.
	x		x

8.109. x x2 1 .

8.95.x2 dx.

8.98. x 12x 3.

xdx

8.101. 2 .

2x 3x 2

			dx
8.104.						.
8.104.		x x 12				.
			2
			x x 1
8.107.					dx
			4		dx
			4				.
			x x
8.110.			dx	.
8.110.			3	.
	x 1


8.112.		x 2	dx		8.113.		x 2	dx
			dx					dx
	4			.		3 2			.
		x 1					x 2x x

8.96.

8.99.

8.102.

8.105.

8.108.

8.111.

2 dx. x 2

x 4dx

x 2 x 3

3x 2x 3

3 dx. x x


		x 2		dx

3			x		.
		x
		x 1			dx

4			2 .
	x		x

xx3dx1 .

§5. Интегрирование тригонометрических функций

В задачах 8.114 - 8.131вычислить интегралы:

sin3xsin7xdx		sin2xcos6xdx			x	x
sin3xsin7xdx		sin2xcos6xdx		coscodxs
8.114.	. 8.115.		.	8.116.	3	2 .

8.117. sinxdx.

cosx

8.120. 2 dx. sin x

8.123. tg4xdx.

8.126. cosxdx.

8.118.

8.121.

8.124.

8.127.

cosxdx .

sincosxxdx.


	2 x			.
sin			dx
		2

3sindxx .

2 3

8.119. sinxcosxdx.

8.122. ctg xdx.

2 x

8.125. cos2dx.

8.128. 5cos2x.

		dx			dx				dx
8.129.			. 8.130.			.	8.131.			.
				1 sinx
	5cosx 3							1 sinx cosx

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

В задачах 8.132 - 8.148 вычислить интегралы

8.132. x x 5dx.

8.135. 1 xdx.

	x 1	dx
8.138.
	2x 1 .

1 dx

8.141. 4x x .

3 2

8.144. x 1 xdx.

		1		dx

8.147.
8.147.		2			.
	x x		1

	1	dx


8.133.	1 x .			8.134.
	1		dx


8.136.	1 x 1 .			8.137.

8.139. dx. 8.140. x x 1

			1		dx

8.142.									8.143.
8.142.			3 2 .						8.143.
		x x
							3
							3
8.145.	x1 x dx.								8.146.
			1			dx

8.148.
8.148.			2					.
		x x		1

dx x 1 .

x 2dx. x

x2 dx. x 1

1 3x 2 .

9 x dx.

§7. Смешанные примеры

8.149.	Найти ту первообразную от функции												1	x , которая принимает значение
8.149.	Найти ту первообразную от функции												2	x , которая принимает значение
													2
3 при	x 2 .
	График первообразной F x															x 3
8.150.										для функции											проходит

																x 4 x 4
																x 4 x 4
через точку					A 5; 0 . Найти F 8 .
В задачах 8.151 - 8.198 вычислить интегралы:
																		2 4x				dx
							2			4	4		5					2 4x
							2			4	4		5
8.151.	x1 x 2xdx. 8.152.								x 1 6xdx.						8.153.
8.151.	x1 x 2xdx. 8.152.								x 1 6xdx.						8.153.								.
																			7x 1
																			7x 1
		2x 3dx								dx									dx
8.154.				2			.	8.155.				.			8.156.						.
8.154.				2	4		.	8.155.			2	.			8.156.			2			.
			x		4				1 9x								2x			9
			xdx							ex dx								x
			xdx							ex dx								x					x
8.157.			4			.		8.158.				.				8.159. e 1 e dx.
8.157.			4			.		8.158.		2x		.				8.159. e 1 e dx.
			x	1					e		4
										74

cosx

8.160.

8.163.

8.166.

8.169.

8.172.

8.175.

x 2x.

e 1 e

1 xdx

x 1

dx.

1 x

xsinxdx.

x3 12dx. x x

sinxcos3xdx.

		dx
8.161.			.

		2
	x 3 lnx
8.164.	dx

	x 1 x .

arccosx

8.167. 2 dx.

1 x

8.170. x tg xdx.

8.173. x 1dx.

3 2

x x

lnxdx

8.162. 2 . x 1 lnx

3 5 4

8.165. x 1 5xdx.

		1
			2
	sin			dx
8.168.		x .
		3
		x
8.171.	arctgxdx
				.
		2		.
	x

sin2x 8.174. dx.

5 cos2x


	4	5		cos5xcosxdx
sinxcosxdx				cos5xcosxdx
8.176.			. 8.177.		.

8.178.

8.181.

8.184.

8.1887

lnx3x dx.

2 dx

1 2

8x 27

x 1 x .

8.179.

8.182.

8.185.

8.188.

tgx dx

cosx

1 tg xdx.

x		dx

2 x
2 x
2	3 .

x2 2dx. cosx

	x	x		2
	2	2		2
sincosdx				tg 4xdx.
8.190.	2	2	. 8.191.	tg 4xdx.
	2	2

8.193.

8.196.

x x .

e 3 e

	dx
		.

	2
1 2x x

8.194.		dx
	2.
	2 6x 9x
		x 2	dx
8.197.
	2 .
		2x x

8.180. lnx2xdx.

8.183. 2x dx.

1 4x

	2
	lnx 2
8.186.		dx.

	x

8.189. cosx x.

8.192.			sin5x		dx
					dx
		5 cos5x				.
		5 cos5x
			x 1	dx
8.1965				dx
8.1965			2x 1 .
8.198.	tg7xdx
8.198.		.

Глава 9

Определенный интеграл

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и внесение функции под знак дифференциала

В задачах 9.1 - 9.12 вычислить интегралы:

	3						4	dx
9.1. 5x2dx.						9.2.		dx			.
9.1. 5x2dx.						9.2.		cos	2 x		.
	2							cos	2 x
							6
	7			dt			5	dx
9.5.				dt	.	9.6.		dx			.
								3x 2
			3t 4
	1		3t 4				1
	2			dx			2 x 3			dx

9.9.		2				. 9.10.		2
9.9.		2				. 9.10.		2	4			.
	1x			5x 4			0 x		4

			x						4
	4		x
	4									x2
9.3. 1 e4				dx .			9.4.			x2		dx.
9.3. 1 e4				dx .			9.4.		xe			dx.
									0
	0								0
	1	dx							2	dx
9.7.		dx				.	9.8.			dx			.
9.7.				3		.	9.8.			2			.
	0 2x 1								1 x		x
	e ln2 xdx							3			dx
	e ln2 xdx						e				dx
9.11.					.		9.12.							.
		x
									x
	1								x	1 lnx
	1							1

§2. Замена переменной в определённом интеграле

В задачах 9.13 - 9.24 вычислить интегралы:

4 1

9.13. dx.

01 x

13 x 1

9.16. 3 dx.

0 2x 1


2 3			dx
9.19.			dx
						.

		2		2
	2 x x 4

e41 lnx
					dx
9.22.					dx
9.22.		x	.
1		x
1

4		1
		1			dx


9.14. 1 2x 1 .
0
0		dx
9.17.		dx
9.17.	1 3		x 1.
1
ln2
ln2		x		1dx
		x
9.20.		e
9.20.				.
0

9.23. 4 2tgx 7dx.

2 2

0cosx 9sinx

1xdx

9.15.15 4x .

9.18.4 x dx.

ln8 dx

9.21. 1 ex .

ln3

3 x

9.24.0 6 xdx.

§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле

В задачах 9.25 - 9.36 вычислить интегралы:

1
1
9.25. xe x dx.	9.26.	2	.
0		x 1cosxdx
0		0
		0

9.27. xsinxdx.

9.28. arctgxdx.

4	xdx
9.31.	xdx
		.
	sin 2 3 x	.
6

2	x cos xdx
9.34.			.
9.34.	sin 3 x		.
4

e lnxdx

9.29. x3 .

9.32. x2e 2xdx.

9.35. x22 xdx.


	4	xdx
9.30.	0		.
		cos 2 x

9.33. x arctgxdx.

9.36. 1 lnx2dx.

§4. Несобственные интегралы

В задачах 9.37 - 9.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами интегрирования (1 рода) или установить их расходимость:

9.37. 1 x 2 .

9.40. 2 x 1 5 .

9.43.x2 1.

9.46. e 4xdx.

9.49. e x3 x2dx.

0
	xdx
9.52. 2

		.
	x2 33

	dx												dx
9.38.					.						9.39.							.
		x
																	x
	1												1				x
	1 x2														xdx
9.41.									dx.		9.42.										.
9.41.					5				dx.		9.42.					2					.
	1		x									0 x					1
					dx							lnxdx
9.44.										.	9.45.									.
9.44.		2								.	9.45.					x				.
	2x				2x 3							2				x

			2x									e x
			2x									e x
9.47.	xe						dx				9.48.								dx.

																	x
	0											1					x
																dx
	arctgxdx
	arctgxdx
9.50.										.	9.51.											.

					2		1											3
	0			x			1					e x					ln x
			dx											dx
9.53.			dx					.			9.54.			dx									.
9.53.						2		.			9.54.			2									.
	0 x 1												x 2x 2

В задачах 9.55 - 9.63 вычислить интегралы от разрывных функций (2 рода) или установить их расходимость:

3dx

9.55.9 x2 .

1

9.58. 4	dx	.

0	x ln x

2	xdx
9.56.		.

	x 1
1	x 1

4	dx
9.59.	dx		.


01 cos2x
		77

9.57. ln xdx.

2 dx

9.60.x 1 2 .0

2	dx				1					1
2				0					1
9.61.					e x dx .					e x dx .
		.	9.62.					9.63.

	x 12
03	x 12					x	3				x	2
				1		x			0		x

§5. Приложения определённого интеграла

В задачах 9.64 - 9.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	y x2 x
9.64.			.
	y x 1
	y sinx 0

		y 2x .
9.67.		y 2x .



	y x
		2
9.70.		2 .
	y x 2x

9.65.y 4x x .

y x 0

y x 12

9.68..y x 1

y cosx

9.71. x y .

2 2

y x2 1 9.66. y 3 x2 .

y x2

9.69. .

y 22x

	y
	y			x 3
		x	3 .
9.72.		x	3 .
		y	0
		y	0

	y tg x
	y tg x
	y	0 .
9.73.	y	0 .
	x
	x		3
			3

y x

9.76.y 4 3x .

y 0

	y x 2

lg x lg y 0
9.79.	y 0	.
	y 0

	x 2
	x 2

		y x 3						y 2 x
		y	1
9.74.				.		9.75. x 2y 2 0.
9.74.			x	.		9.75. x 2y 2 0.
			x					x 2 0
		x 2
		x 2

	y x2 3x							y e 2 x

9.77.	y 6 2x .					9.78.	y e 2 x .
		x 0					x 3 0

	y x 1 2						y 4 x x 2
		x 0						x 0
		x 0						x 0
9.80.		y		0	.	9.81.		y 1	.
		y		0				y 1

		x 5						y 3
		x 5						y 3

В задачах 9.82 - 9.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями в полярных координатах:

9.82.	3,0 2	9.83.	2cos	9.84.	2sin
	.		.		.
9.85. cos2 .		9.86. 2sin2 .		9.87. 4cos3 .
			21 sin
9.88.	1 sin	9.89.		9.90. 21 cos.
	.		.
			78

				2				2
9.91. 21 sin.				2			9.93.	2
9.91. 21 sin.			9.92. 2cos.				9.93.	2sin.
	В задачах 9.94 - 9.102 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	x 3cost			x 2 2cost			x 2cost
9.94.		.	9.95.		.		9.96.	.
	y 3sint			y 3 2sint			y 4sint

	x 2 3cost					3
					x cost
9.97.		.	9.98. астроидой			3	, t 0;2 .
	y 3 2sint				y sin t
					y sin t

				x t sint
9.99. Одной аркой циклоиды					и осью x.
				y t cost

9.100.

9.101.

x t sint

Первой аркой циклоиды иy t cost

x 2cost			3
	, y 3 y 3. 9.102.	x 8cost
			3
y 6sint
		y 8sint

прямой y 12 ( 0 x 2 ).

, x 1 x 1 .

В задачах 9.103 - 9.111 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси x фигур, ограниченных линиями:

y 2x x

y sinx 0

y cosx

9.103.

9.104.

9.105.

2 .

y 0

9.107. { y = 2x-x

y axx, a 0

9.106.

{

9.108.

.9.109.

2 + 2 = 1

y = 4x-2x2

y 0

y ln x

xy 4

y 1 x 2

x 1

y 2

y 2 .

9.110.

9.111.

x 1

x 2

x 0

В задачах 9.112 - 9.123 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси y фигур, ограниченных линиями:

y2 4 x

x 3

y2 = x3(y > 0)

y 0 .

9.112.

x 0

9.113.

9.114. {

y = 0 .

x 2

x = 1

y x2 2x 1

y 2x x2

y arcsinx

y 0 .

y 2 x .

9.115.

9.116.

9.117.

y arccosx .

x 2

x 0

y 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.51 Mб29934.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19935.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19936.pdf
#
25.11.20233.51 Mб39937.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19938.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29939.pdf
#
21.11.2023168.27 Кб1994.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19940.pdf
#
25.11.20233.52 Mб09941.pdf
#
25.11.20233.52 Mб19942.pdf
#
25.11.20233.52 Mб29943.pdf