9939

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3x 2xy3y 80.

5x 4xy2y 240.

9x 24xy16y 250

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	2		2	2
4.90.	y 2x2y70		4.91. 3x 5y 0.
		.

4.92.	xy0,5y 2x 3			2
4.92.			.	4.93. y 2x 4y 0.
4.94.	x 23xy3y 0			2
4.94.			.	4.95. x 9y 4 0.
	2	2	0.	2 2
4.96. x 4y			0.	4.97. 16x 9y 90y810.
	2			2 2
4.98. x 8x2y160.				4.99. x y 2x6y80.
	2 2			2 2
4.100. x y 2x4y60.				4.101. 36x4y72x40y41.

4.102. y 8x2y160.

В задачах 4.103 - 4.106 преобразовать уравнения кривых поворотом системы координат. Построить новые и старые оси координат и кривые:

§6. Кривые в полярной системе координат

Взадачах 4.107 - 4.115 преобразовать к полярным координатам уравнения линий и построить их:

4.107.	2	2	4.	4.108.	2	2	9.	4.109. x y 4.
	x	y			x	y
4.110.	x 2 .			4.111.	y	3 .			2	2
								4.112. x y 6x 0.
									2	2
	2	2			2				x		y	1.
4.113. x y 8y 0.				4.114.	y	4x.		4.115.
									9		4

В задачах 4.116 - 4.133 преобразовать уравнения линий к декартовым координатам и построить их:

4.116.

4.118.

4.120.

4.122.

4.124.

4.126.

cos 4.

sin 2.

6sincos.

21 sin.

4cos .

4sin2 .

4.117.

4.119.

4.121.

4.123.

4.125.

4.127.

8sin .

3 . sin

2sincos.

31 sin.

4cos2 .

4sin3 .

y x2

4.128. 21 cos.		4.129.	21 sin
				.
4.130.	21 sin.	4.131. 3cos3 .
4.132.	4sin .	4.133. 4cos.

§7. Поверхности второго порядка. Построение тел

Взадачах 4.134 - 4.156 назвать и построить поверхности:

	2						2
4.134.	2	2z.					2	4.136.		y 2x.
4.134.	y z	2z.		4.135. z 9 y .				4.136.		y 2x.
									x 1 y2
			2
4.137.			2	4.138.	y 9 x						4.140.
4.137.	y 1 x .			4.138.			. 4.139.			.	4.140.
				2	2				2
	2			2	2				2
	2		4.141.	y z 3z			4.142.		x 3y 8x 7
y x 2x.			4.141.			.	4.142.				.
4.143.	2	2				2	2	4.145.		2	2
4.143.	4x z		2z.	4.144. 3z 4y 12.				4.145.		z 2y y .
		2	2		2	2				2	2
4.146. z 3 x 5y.				4.147. x y 4z 0. 4.148. 4y 9z 36x 0.

2 2

4.149. 36x y 9z 0. 4.150.

2 2 2

4.152. 2x 3y 4z 36.

2 2 2

x y z

4.154. 10. 36164

2 2 2

x y z

4.156. 0. 36259

2 2 2

2 2 x y z x 2 3y z. 4.151. 0.

259 4

2 2 2

4.153. 4x 9y 4z 360.

2 2 2

4.155. x y 2yz 0.

В задачах 4.157 - 4.177 построить тело, поверхностями:

	x2		y2 1							z 4 x2
										4x y 4 .
4.157.	x y z 3.						4.158.			4x y 4 .
			z 0					x 0, y 0,z 0

	z 4 y 2								y 2x
				x	2				2		z	2
		y		x					x		z		1.
4.160.						.	4.161.
4.160.				2		.	4.161.		4		9
				2					4		9
		z 0						y 0, z				0

ограниченное следующими

		y	2
			2
	z
	z
	2
	2x 3y 12 .
4.159.	2x 3y 12 .

x 0 , y 0 z 0

4.162. z x2 y2 .

y 1, z 0

4.163.

4.166.

4.169.

4.172.

4.175.

	2	y	2		16
x		y			16
	2z y2 .
	2z y2 .
		z 0
		z 0

x y 6

	y 3x .
	y 3x .
	4y, z 0
z	4y, z 0
z x 1 2
				x
		y		x		.

			2
			2

y 0, z 0

4.164.

4.167.

4.170.

		y	2			x
		y			2					2	2
x				y	2		z		z 4x		2y 1
x				y			z	1 .		x y 3 .
									4.165.
	4			2			4		4.165.
	4			2			4
			z	0					x 0, y 0, z 0

z x2 y2y x, y x .x 1, z 0

	z 4 y2
	x y 2 .
	x y 2 .

y x, z 0, x 0

	z 4 x2 y2
				x y 2 .
4.168.				x y 2 .
	x 0, y 0, z 0


	x				y		z
								1
		8	4				8	1
			y		2	x .
4.171.			y			x .
				z 0
				z 0

z 2x y

y x, y 2 x

x z 1 .

x y 2

. 4.173.

z 1 x .

4.174.

x 0, y 0, z 0

z 0

z y

z 4 x

x 4 y

y 3x .

4.176.

x y 2

. 4.177.

y 3z .

x 2, z 0

y 2x, x 0, z 0

x 6, z 0

Глава 5

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§1. Общие свойства функций

В задачах 5.1 - 5.20 найти область определения функций:

5.1.	2
	y 9 x .

5.4. y 31 . x x

5.7. y 1 . x x

								1
	3	2						1
	3	2
5.2.	y	4 x .		5.3.		y		2 .
							x 3x 2
						y		1
5.5.	y	1	x .		5.6.						.


									x	x


				2				ln1 x
5.8.	y log42 x4x.				5.9. y							.
5.8.	y log42 x4x.				5.9. y			x 1				.

								x 3					1
														3
5.10. ylgx4 6x.														3
										y				sinx
						5.11. y cos2x.				y				sinx
						5.11. y cos2x.			5.12.			sinx .
			1
			1
	y			x2				x			y arctgx 1

5.13.						5.14.	y arccos1
5.13.		lg1x			.	5.14.	2		. 5.15.						.
		lg1x					2

2 12x

5.16.ylg1lgx 5x16. 5.17. y arcsinlnx. 5.18 y arccos.

3x1

5.19. y 12x3arcsin. 5.20.

x5 4 yln x5.

2 x10x24

5.21.

5.23.

5.25.

В задачах 5.21 - 5.26 найти, при каких целых x определены функции:

			x

y x					5.22.	ylogx6 2x10
y x						ylogx6 2x10
		.				0,5			.
			2 x

							2x16
y 162xlnx5.					5.24.		2x16
y 162xlnx5.					5.24.	y3 9x.

						2
4		2				2
	4 3x x						12x x
y		x 3		.	5.26. y logx 2			.
						3

В задачах 5.27 - 5.37 найти множество значений функций:

5.27. y x 2 3.

5.30.y 2 2x x .

5.28.	2
	y 5 x .

5.31. y 4 4x x.

5.29.y x12.

5.32.y x x 6.

	2
5.33.	x 4x 12
5.33.	y 2 .

5.36. y 2 4sinx.

		2		y logx 3
5.34.	x x		5. 35.
	y 4 .			2 .

x2, x0,3

5.37. y .

2x10x16,x3,8

Определить, какие из функций 5.38 - 5.52 будут чётными, нечётными или функциями общего вида:

2 3

5.38.y x x.

5.41. y x xcosx.

5.44. 1 x2 . y

x x

5.47. y e e .

5.50. y xx . a 1

5.39.y x cos3x. 5.42. y x 4.

3 2

5.45. y x lnx 3.

x x

5.48. y e e .

5.51. y ax 1. ax 1

5.40. y x xsin2x.

5.43. y x 1 4. 5.46. y sinxx.

5.49. y x 7e .

1 x

5.52. y ln . 1 x

5.53. Какова будет функция					f x , если она определена на всей числовой оси и
для любых	x	и	x	2 , удовлетворяющих условию			x x 0
	1						1 2	, выполняется
равенство:	1)	f x f x 0				f x f x 0
		1		2	; 2) .	1 2	?

В задачах 5.54 - 5.65 найти наименьший положительный период функции:

5.54. y sin2x.

5.57. y sinx cosx.

5.60. y cos2x.

5.55. y cos3. 5.58. y tg4x.

5.61. y cos3x.

5.56. y sin x.

2 5.59. y ctg x.

5.62.y sinx 2.

	y sin2x cos3x							5				y lgcos2x
	y sin2x cos3x							y sinx tg2x				y lgcos2x
5.63.					.		5.64.	y sinx tg2x		5.65.					.
5.63.					.		5.64.	3	.	5.65.					.
								3
5.66. Функция					f x определена на всей числовой прямой. Что можно сказать
об этой функции, если для любых x1 и x2									найдется такое число 0 ,						что
из условия			x x			будет следовать, что			f x f x 0
			x x						f x f x 0
				2	1				1	2		?
В задачах 5.67 - 5.81 найти функцию, обратную данной:
5.67.	y 3x .					5.68. y 2 3x.			5.69. y x2 4 x 0 .
5.70.		2		4x x 2 .				2			5.72. y		3	.
5.70.	y x			4x x 2 .			5.71. y x 4x 5x 2 .				5.72. y		x	.
													x
								44

5.73. y 21x. 5.76. y x3 .

5.79. y 2x x .

1 2

			x 0

5.74.	3	2			.	5.75.	y 3 x 4
5.74.	y	x			.	5.75.		.
5.77.	y 5x 2		.			5.78.	y 2logx 4
5.77.			.			5.78.		3 .
	y 3sin2x							y log2
	y 3sin2x			x				y log2
5.80.			,	4		4.	5.81.		x .

В задачах 5.82 - 5.126 построить графики функций:
5.82.	y x2 .															5.83.	y 2x2.											5.84.	y 1 x2.
				2																							2						2			x
5.85.	y x							2x 1								5.86.	y 3 2x x											5.87.	y 2x							x
5.85.															.	5.86.											.	5.87.										.
													2				2
													2				2												y x
5.88.	y 4x x													.		5.89.	y 2x 3x 1											5.90.	y x					.
5.88.														.		5.89.											.	5.90.						.

5.91.	y x											.				5.92.	y x 1											5.93.	y x 1 2
5.91.												.				5.92.										.		5.93.										.

5.94.	y					x				.						5.95.	y		x 1							.		5.96.	y 2						x 1
5.94.										.						5.95.										.		5.96.										.
				x

5.97.	y						.									5.98.	y x			x			.					5.99. = + 2 + \| \| .


				x													y		2										y	3
	y				x 1 2


5.100.														.		5.101.		.										5.102.			.
5.100.																			x												x
5.103.	y			x 1.												5.104.	y		1 x						.			5.105.	y				2				.
5.103.	y			x 1.												5.104.	y								.			5.105.	y								.
								x													x										x 1
5.106.	y	2x 3.														5.107.	y		2			.						5.108.	y				1					.
																			x												x 2

					x 1
5.109. y 2x .																5.110.	y 2 x .											5.111.	y 2 2x.
						1 x 1																												2
																			x 1													x
	y																		x 1													x
5.112.									.							5.113.	y 4							.				5.114.	y e							.
			3
5.115. y ax 2.																5.116. y 1 2x.												5.117.	y sinx.
	y sin2x																						x						y 1 sinx
5.118.	y sin2x															5.119.	y 2sin .											5.120.	y 1 sinx
5.118.														.		5.119.	y 2sin .											5.120.										.
																	2

	y			sinx													y sinx sinx
5.121.	y			sinx									.			5.122.	y sinx sinx											5.123.	y sinx
5.121.													.			5.122.											.	5.123.										2 .
																						x
5.124. y sin											x																		y 4cos3x.

													.			5.125.	y cos .											5.126.
																	3

§2. Числовые последовательности и их пределы

В задачах 5.127 - 5.141 записать вид общего члена an последовательностиan по виду её первых трёх членов:

	1 1 1																				1, 1,1, 1,...															3,5,7,9,...
5.127.			,					,			,...						5.128.																5.129.
5.127.			,					,			,...						5.128.																5.129.
	2 3 4
	1 1 1																		1 1 1																	3 5 7
5.130.		,					,					,...					5.131.		1,					,				,				,... 5.132.						,				,			,...
5.130.		,					,					,...					5.131.		1,					,				,				,... 5.132.						,				,			,...
	3 9 27																		4 9 16																	2 4 8
	12 34																		1 1 1																	1 1 1
5.133.					,				,				,		,...5.134.								,		,				,...				5.135.								,				,		,...
5.133.					,				,				,		,...5.134.								,		,				,...				5.135.								,				,		,...
	23 45																		2 5 10																	122334
5.136.	ln2,ln3,ln4,...5.137. sin																			π		, sin				π	, sin			π	, …5.138. tg			π	, tg		π			, tg			π	, ….
5.136.	ln2,ln3,ln4,...5.137. sin																		2			, sin			4		, sin				, …5.138. tg				, tg					, tg				, ….
																			2						4				8				3			6						9
	1 1 1																								2				3							1 3 5
	1 1 1																	1 2											3							1 3 5
				,						,				,...					, ,										,										,			,
				,						,				,...					, ,										,										,			,
5.139.	3!					5!					7!					5.140.															...5.141.					2! 4! 6!										.
	3!					5!					7!																									2! 4! 6!
																		3 5											7

В задачах 5.142 - 5.150 записать общий член последовательностей и выяснить, какие из данных ниже последовательностей являются ограниченными снизу, ограниченными сверху, просто ограниченными или неограниченными:


5.142. 2,4,6 .					5.143. 1,2, 3,4 .					1		2		3
									5.144.	2,		3,		4,...
5.145.	1, 1,1, 1				5.146.	sin1, sin 2 , sin 3 ,…			5.147.	ln 2 , ln 3 , ln 4 ,….
				,…
	1 2 3					4 6				1 1 1
5.148.		,	,	,...	5.149.	2,	,	, .	5.150.		,		,		, .

	3 9 27					3! 5!				2 4 8

В задачах 5.151 - 5.159 определить, какие из данных ниже последовательностей являются возрастающими, неубывающими, убывающими, невозрастающими:

	2 3 4							1 2 3											1111
5.151.	1,		,		,	,...	5.152.		,		,		,...			5.153.	1,1,					,		,	,	,...
5.151.	1,		,		,	,...	5.152.		,		,		,...			5.153.	1,1,					,		,	,	,...
	5 9 13							2 3 4											2233
			3 4 5					1,1,2,2,3,3,									1		1		1

	2,			, , ,... 5.155.
5.154.	2,			, , ,... 5.155.						.						5.156.		,			, , … .
		2 3 4															ln2			ln3			ln4
										1 1 1							2 4 8
5.157.	cos,cos,cos,...											,		,	,	5.159.			,		,			,
	cos,cos,cos,...											,		,	,				,		,			,
		2 3					4 5 158.			2! 5! 8! .							1 2 3 .

5.160. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при


n		1 1		1
n	последовательность	2,1,1,	...1,,...
	последовательность	2 3		n	имеет пределом
		2 3		n

число 1.

5.161. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при


n		1		1 1
	последовательность	1,	,		,	,...

		4		9 16			имеет пределом число 0.

5.162. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что число 2 не является пределом последовательности с общим членом

a 2n 1 при n . n 4n 1

5.163. Существует ли предел последовательностей an								при n ( если да,
то найти его), где:
		n		n		3)	n	n
1) a 1 1 ;			2) a 1 2n1,			3)	n	nsin	;
n			n				a	nsin
n			n					2
								2
a	cosn		a 1	1

				n .
4) n	lnn	;	5) n	n .
	lnn			2
В	задачах		5.164 -		5.194 вычислить		пределы числовых
последовательностей:

	lim		n						2n 99
5.164.							.	5.165.	lim 2				.			5.166.
5.164.							.	5.165.	lim 2				.			5.166.
	n n 2								n		n
						2						1 n
		n 1
5.167.	lim .							5.168.	lim1					.		5.169.
5.167.	lim .							5.168.						.		5.169.
			2						n			2
			2		1				n
	n n				1

	3			2		n			3		3
			n			n				n 2n 1
5.170.	lim							. 5.171.	lim						.	5.172.
	n n 1								n		n 2

1nn

lim .

n n 2

3 2

n 10n 1 lim 2 . n 100n 2n

limn! .

n n 1!n!

5.173.

5.176.

5.178.

	n 2!n!	1
		12 n
lim . 5.174.		12 n
lim . 5.174.		lim	. 5.175.
n n 3!		2
n n 3!		n n
13 2n1
		n
lim		n	.
lim		. 5.177.	.
n n3

limn 3 n

n .

2 n 3

5.179. lim

lim

5.180. lim

n 2

2 n

		sin3				n

						sin 2 .
5.181.	lim		n	.5.182.
5.181.	lim			.5.182.	lim
	0				lim
	n		n		n 0	n
					n 0	n

5 n

5.183. lim1 .

n n

5.184.

5.187.

5.190.

5.193.

2 n

1 n

n 2 n

.5.185.

5.186.

lim

n n

2n 1n

n 3 2

.5.188.

5.189.

lim

n 2

lim

2n 1

n n

2n 1n

2n 1

2n 1 n

. 5.191.

5.192.

lim

n 2n 1

lim

2n 1

n 2n 1

111

2n 1

.5.194. lim

lim

n 244668 2n2n2

2n 1

§3. Функции непрерывного аргумента. Предел функции в точке

Пусть функция определена на всей числовой прямой. Какому условию она удовлетворяет, если:

5.195.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

f x M?

удовлетворяющего условию

N , выполняется неравенство

5.196.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

удовлетворяющего условию

x N , выполняется неравенство

f x ?

5.197.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

удовлетворяющего условию

x N , выполняется неравенство

f x M?

5.198.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

f x a ?

удовлетворяющего условию

N , выполняется неравенство

5.199.

для любого числа

M 0

найдётся такое число N , что для любого x,

удовлетворяющего условию

x N

, выполняется неравенство

f x

5.200.

для любого числа

и для любого числа

из неравенства

x a

следует неравенство

f x A ?

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

a .

Какой

вывод можно сделать, если:

5.201. для любого числа

существует 0

такое, что для любого

x из

неравенства 0 x a следует неравенство

f x A ?

5.202.	для любого числа												M существует								0				такое, что для любого											x			из
неравенства 0 x a следует неравенство																							f x M?
5.203. для любого числа													0 существует									0			такое, что для любого											x из
неравенства				0 x a следует неравенство																				f x ?
5.204.	для любого числа												M существует								0				такое, что для любого											x			из
неравенства 0 x a следует неравенство																							f x M?
В задачах 5.205-5.227 вычислить пределы:
				2			1									3													3
			x				1									x 2x 3													x				2x 3
5.205.									.				5.206.	lim									.		5.207.		lim										.
5.205.	lim2								.				5.206.	lim					2				.		5.207.		lim										.
	lim2					2													2														4
	x x					2								x x						5							x x							2x
			1					2
			1												2											3
															2											3
								x							x 1											x 3x 1
								x							x 1

5.208.	lim								.		5.209. lim									. 5.210.					lim						1
5.208.	lim								.		5.209. lim									. 5.210.					lim									.
							3								2												x 4
	x						3						x 02x x 2														x 4
		4					x 2
						x 2													2
																			2											2x x.
																			x 9
5.211.	lim											.	5.212.						x 9					.	5.213.
5.211.	lim											.	5.212.											.	5.213.
	2			2											lim												lim
	2																	2
	x		x 3x 2												3												x 2			x 2
															x		x 2x 3										x 2
		4			1													2											2
		x			1											x			6x 8									x x 2
5.214.	lim								.				5.215.		lim									. 5.216. lim									2					.
		3			1														3								3						2
	x 1 x				1									x 2 x							8					x 1x x x 1
		1 3
		1 3																1 x 1										1 x 1
																					2

																											lim 2 .
5.217.																						.			5.219.
5.217.	lim											3	. 5.218.		lim							.			5.219.
			1x									3			lim						x										x
	x 1									1x					x 0						x						x 0				x
																													2
																					2
				x 1 2																	2											x
				x 1 2														1 x 1										x				x
5.220.	lim										.		5.221.		lim										. 5.222.		lim								.
5.220.	lim										.		5.221.		lim										. 5.222.		lim				x 1				.
	x 5			x 5											x 0 16x 4												x 1				x 1
																					2

5.223.

5.226.


			x 1
	1 x 1
3		2

lim	2	. 5.224. lim				.
lim		. 5.224. lim				.
			x 1	3	x 1
x 0 x			x 1		x 1
	2						2	2
limx 4x x							x2x1x7x3
			. 5.227.	lim					.
			. 5.227.						.
x				x

5.228. Вычислить предел

lim

sinx

В задачах 5.229 - 5.251 вычислить пределы, используя первый

замечательный предел:

sin4x

sin3x

5.229. lim

5.230.

lim

5.231. lim

x 0 x

x 0sin5x

x 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.51 Mб29934.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19935.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19936.pdf
#
25.11.20233.51 Mб39937.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19938.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29939.pdf
#
21.11.2023168.27 Кб1994.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19940.pdf
#
25.11.20233.52 Mб09941.pdf
#
25.11.20233.52 Mб19942.pdf
#
25.11.20233.52 Mб29943.pdf