Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9939

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

		Y				y
		.		.
		.		.
		.		.
		.		.
x .	x .
		.		.
12.40.				12.41.
	yy
		.		.
.				.
x .x .		.		.
		.		.

12.42.				12.43.
	yy
		.		.
		.			.
		.			.
		.			.
x.x .
		.		.
		.		.
В задачах 12.44 – 12.75изменить порядок интегрирования.
	3	3 x	0	x 1		0	0	x , y dx .
12.44. dx		f x, y dy .12.45.	dx	f x, y dy .12.46.		dy	f	x , y dx .
	0	0	1	0		1	y 1

0	2 y 2		5	25 y 2
12.47. dy	f	x, y dx .12.48.	dy	f x, y dx . 12.49.
1	0		0	0

2	4
dx f x, y dy .
2	x 2

1	x	f x, y dy .12.51.	1	y			2	cos x
12.50. dx		f x, y dy .12.51.	dy f x, y dx .12.52. dx						f x, y dy .
0	x 2		0	y		0			0
2	y 2	f x , y dx .12.54.	2	4	f x , y dx .			1		2 2x	x, y dy .
12.53. dy		f x , y dx .12.54.	dy		f x , y dx .	12.55.		dx		f	x, y dy .
0	0		0	y 2				0		2x 2

100

12.56.

3 y 3
dy f	x, y dx .12.57.

2 y 2

1	2 x
dx		f x, y dy .12.58.
2	x 2

1 1 x

f x, y dy .

x 2

			2		cos x
12.59. dx					f x, y dy .12.60.
	0				1 x
1	1 x				4
1	1 x
dx		f x , y dy .12.63. dy
0					0
0	1 x			2	0
	1 x

2	2 x			x , y dy .
dx f
6	x	2	1

	4

25 y2

f x , y dx .12.64.

	1			1 x 2
12.61. dx				f x, y dy 12.62.
	0		1	x 1 2
			2	x 1 2
			2
2		2 y
dy		f x, y dx .
6	1	y 2 1
	4	y 2 1
	4

	2			x
	2			x						1		2 y									0	2 1 y 2
12.65.	dx f x, y dy . 12.66.									dy f ( x, y)dx .					12.67.						dy	f ( x, y)dx .
	1			1						2		y 2									1		y
				x
															1
	4				25 x 2				2		2 y				1		2 y y 2
12.68.	dx						f ( x, y)dy .12.69.		dy			f ( x, y)dx .12.70.			2dy			f ( x, y)dx .
	0					3			0			4 y	2		0	1		1 y		2
						4 x
	1	1 x							3		25 y 2				1		2 x				x, y dy .
12.71.	dx f (x, y)dy .12.72.								dy			f ( x, y)dx .12.73.			dx			f			x, y dy .
												4			2			x	2
	0		x 1						0			3							2

													1 y
	3				4 x					1			1 y
12.74.	dx				f ( x, y)dy .			12.75.		dy f (x, y)dx .
	0		0							0				y 2

В задачах 12.76–12.77, изменив порядок интегрирования, записать данное выражение ввиде одного повторного интеграла.

1	x	2	2 x
12.76. dx		f x, y dy + dx	f x, y dy .
0	0	1	0

			3 x
	x 2	3
1	x 2	3	2
12.77. dx		f x, y dy + dx	f x, y dy .
0	0	1	0

§2. Вычисление кратных интегралов

В задачах 12.78 – 12.95 вычислить повторные интегралы.

	4		2		4	x2				2	2 x
12.78.	dx	x 2 ydy .			12.79. dx x y dy .12.80.						dx x 2 dy .
	1	0			0	0				2	0
							2 y2 1
	3		9 x2			1	2 y2 1		1 y 2 dx .12.83.			3	5
				x y dy .12.82.								3	5
12.81.	dx			x y dy .12.82.		dy						dy	x 2 y dx .
	0	0				0	y2					3	y2 4
								101


1	y 3	2	2 y	x 2	y 2 dx .12.86.	0,5		y
12.84. dy	xy2dx . 12.85.	dy		x 2	y 2 dx .12.86.		dy		4xy x dx 12.87.
0	y	0	0			0	y

x2 1

2 y

dx .12.88.

dx xe y dy .12.89. dy sin 2x 3y dx .

1 4 x2

ln 4

12.90. dx

xe3 y dy .12.91. dy

4 ye2xy dx .12.92. dy 2 y 2e xy dx .

ln 3

0,5

π xy

12.93. dy 4 y 3 sin xy

2 dx .12.94. dy y 2 cos

dx .12.95. dy y cos xy dx .

2 y

В задачах 12.96–12.115 вычислить двойной интеграл

f x , y dxdy по

заданной

области D

в прямоугольных

координатах, рационально выбрав

порядок интегрирования.

x2 y2

у x 2 ,

12.96.

xdxdy , где

D :

12.97.

xydxdy ,где D :

x y

y x.

y 2

y 2,

x 0,

12.98.

dxdy ,где

D : xy 1, 12.99. cos y 2 dxdy ,где D :

x y,

D x

y x.

y 0,

dxdy

y 12x,

12.100. e x

dxdy , где D : x 1,

12.101.

, где

D :

y 3x

y x.

102

y 0,

12.102.

(x y)dxdy ,где D : x 0,

12.103. x 2 y dxdy ,

где D :

x 4.

y x2 ,

y x,

12.104.

xydxdy ,

где

x 0,

12.105.

dxdy , где

D :

y 2 x

12.106. ydxdy ,

где D :

y 2.

y x3

15 y 2 dxdy ,где

y cos xy dxdy ,

12.107.

D : x 1,

12.108.

где

D :

y 3 x.

0 x 1,

x 2

4 y 2 dxdy

12.109.

,где

D : y x ,

x y 2 .

12.111. sin y

dxdy , где

2x,

12.110.

xdxdy ,

где

D :

D : x

y x 2.

y 2,

x 0,

12.112. x sin xy dxdy , где

12.113.

dxdy ,

где

y e,

D :

y e

x 2 y 2

y x,

12.114. ydxdy , где

12.115. (x y)dxdy , где

D :

D : x

x y 2.

2x y 6.

В задачах 12.116 –12.137вычислить двойные интегралы f x , y dxdy по

заданной области D ,перейдя к полярным координатам.

103

x 2

y 2

12.116.

dxdy ,

где

D :

x 2

y 2

12.117.

dxdy ,

где

D :

x 2

y 2 2,

12.118.

dxdy ,

где

D :

0, y 0.

x 2

y 2 3,

12.119.

dxdy ,

где

D :

0, y 0.

y x,

12.120.

y 2 dxdy ,

где

D : y x,

1 y

12.121. x2

y 1,

D: x 0,

y 2

2 dxdy ,

где

2 y.

x 2

y 2

3y,

12.122. x

dxdy ,

где D :

y 2

D : x 2 y 2

π 2 .

12.123.

dxdy

где

dxdy

x 2

y 2

12.124.

где

D: x

D x

x y x.

ln x 2

y 2 dxdy

x 2

y 2

12.125.

где D:

12.126. 4 x dxdy ,

где

D : x2 y 2

4x .

dxdy

y 0,

12.127.

где

D: x 0,

x2 y 2

D 1

104

x 2 y 2 3x,

12.128.

dxdy ,

где

12.129. x2

где D : x2 y 2

y 2

2 dxdy ,

2x 0 .

12.130. x2

y 2 dxdy ,

гдеD: x 2

y 2

2x,

y 0,

12.131.

1 x2

y 2

dxdy , где D: x 0,

12.132.

R2 x2 y 2 dxdy ,

где

D : x2 y 2

Rx .

12.133. x2

y 2

2 dxdy ,

где

D: x

2x,

x 1.

y x,

dxdy

12.134.

, где

D: y

1 x 2 y 2

1 y 2 .

y 1,

12.135.

dxdy

, где D:

x 0,

2 y.

ydxdy

1 x 2 y 2

12.136.

,где D:

y x.

y 2

x2 y2 π2 ,

12.137.

dxdy . где

0 y

§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей

иобъёмов фигур

Взадачах 12.138 – 12.151вычислить площади фигур, ограниченных кривыми.

105

12.138.

xy 4,

x y 5 0 . 12.139. x 4 y y 2 ,

x y 6 .

y 4 x 1

, x 0 . 12.141.

x 4,

x , y 2 x

12.140. y 2 x,

12.142.

xy 1,

x y ,

x 2

. 12.143. y x2 ,4 y x2 , y 4 .

12.144.

xy 1,

x 4,

y 2

. 12.145. x y 1, y 2

x 1 .

12.146.

4x y 2

4, 16x y 2 64 . 12.147.

x y 2

2 y ,

x y 0 .

12.148. 2 y x2 , y 0, xy 4, x 4 . 12.149. x y 2 , y 2 x , y 2, y 2 . 12.150. y sin x, y cos x, x 0, x 0 . 12.151. y 2x, x y 2 0, y 0 .

В задачах 12.152 – 12.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).


12.152. x2 y 2 x, x2 y 2			x 2 y 2
12.152. x2 y 2 x, x2 y 2	2x, ( y 0) . 12.153.		x 2 y 2	3x ,
x 2 y 2 3y . 12.154. x2 y 2 3y, y			12.155. x 2 y 2
x 2 y 2 3y . 12.154. x2 y 2 3y, y		3x, x 0 .	12.155. x 2 y 2		4x ,
				2 1 cos .
( y x) . 12.156. x 0, x	4 y y 2 , y 2 .		12.157.	2 1 cos .

12.158.	2 1 cos , 2cos .
12.159.	Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью 2из кардиоиды

2 1 sin и расположенную вне круга.

Взадачах 12.160 – 12.172 вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями.

12.160. x y 2z 4 , x 0 ,

y 0 ,

z 0.

12.161. z x2 3y 2 ,

x y 1 , x 0 ,

y 0 ,

z 0.

12.162.

z 4 x2 ,

y 0 ,

y 5 ,

z 0 .

12.163.

z y 2

, x y 2

, x 0 ,

y 0 ,

z 0.

12.164.

z 0 ,

x z 6 ,

x ,

y 2 x .

12.165.

z 9 y 2 , x 2 y 6

x 0 , y 0 , z 0 .

11.166.

x 2

, 2x y 6 0 ,

x 0 ,

y 0 ,

z 0.

106

12.167.	z x2		y2 2,	x y 3 , x 0 ,		y 0 ,	z 0 , x 3 , y 3.
12.168.	z x2		y 2 1 ,	y 6 x , z 0 , y 1 , y 2x .
12.169.	z	x3	, x2 y 2 9 , x 0 , z 0

	3
12.170. x2 y2			16 , y 0 ,		z y , z 0.
12.171.	x y z 4, x2 y 2				4 , z 0 .
12.172.	x y z 10 ,			2x y 4 , x 2y 8 , z 0 .

§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин

12.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми:						x 1,	x 2 ,
	x	y	1,	y 0 , если плотность	x, y в каждой	точкеравна квадрату
2		3

абсциссы, умноженному на ординату этой точки.

12.174.	Найти массу однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями:
y x2 ,	y 3x2 ,	y 3x .
	Найти массу пластины, ограниченной кривыми y x2
12.175.	Найти массу пластины, ограниченной кривыми y x2		, y x , если

плотность еёρ в каждой точке x , y равна x , y x 2 y .

12.176. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её x, y в каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности.


12.177.	Найти координаты		центра		тяжести	однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: y x2			1,	y 2 .
12.178.	Найти координаты		центра		тяжести	однородной	пластинки (ρ 1) ,

ограниченной линиями: y		4 x , y 0 , (x 0) .
12.179.Найти координаты центра тяжести						однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: y x2			, y x 2 , y 0 .
12.180.Найти координаты центра тяжести						однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: x y 2 , 4x y 2 , x 4 ,						y 0 .
12.181.Найти координаты		центра			тяжести	однородной	пластинки (ρ 1) ,

ограниченной линиями: y 2x2 , y 4x2 , x 4 .

107

12.182.Найти статический момент относительно оси	ОХ однородной
пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: xy 4 , xy 1 , x 2 , x 4 .

12.183. Найти статические моменты относительно осей координат меньшей

части эллипса	x2		y 2	1,отсекаемой прямой	x		y	1 1 .

	4	9			2	3

12.184. Вычислить моменты инерции относительно осей координат однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной прямыми: y 2 x , y 1, x 2 .

12.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ 1) относительно оси

OX , ограниченной линиями: y2 x , y2		4x ,	y 1,		y 3 .
12.186.Найти момент инерции относительно оси				ОУ		однородной пластинки
(ρ 1)	, ограниченной линиями: y2 x ,	y2 4x ,		y 1,		y 3 .
12.187. Найти момент инерции относительно оси				ОХ однородной пластинки
(ρ 1)	, ограниченной линиями: x2 4 y , y 0 .

Глава 13

РЯДЫ

§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость

Взадачах 13.1 - 13.20 написать общий член ряда.

13.1.23 + 45 + 67 + … . 13.2. 23 + 49 + 276 + … . 13.3. 2 + 2!4 + 3!6 + … .

13.4.

+ … . 13.5. 1 +

1∙2

1∙2∙3

+ … .

1∙3

1∙3∙5

3∙5

5∙7

1∙3

13.6.

+ … .13.7.

1 −

− … .13.8. .1 −

− …

2∙4

2∙4∙6

√2

√3

13.9.

1 – 1 + 1 – … .

12.10. 1 −

− … . 13.11.−

−

+ … . 13.12.

125

−

+ … . 13.13. (

) + (

) + ….

ln2

ln3

ln4

13.14. 1 + +

+ … .

13.15. −

−

+ … .

13.16.

1 −

−

++… . 13.17.

+ … .

13.18.

+ 2 +

+ 3

2+4

3+9

….13.19.

1 − 32 + 52 2 − 72 3

+ . 13.20. ( + 1) +

( +1)2

( +1)3

+ … .

3∙42

2∙4

В задачах 13.21 - 13.26 выписать три первых члена ряда.

108

	3n 1					2n 1
13.21.			.	13.23.				.
	3				3
n 1		n		n 1			n3 1

	xn			x 2 n		x 2 n 1
13.24.		.	13.25.		. 13.26.			.

n 1 n2			n 0	n!	n 1		n

В задачах 13.27 - 13.34написать формулу частичной суммы S n , и вычислить её предел при n .Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

13.27.		1		+					1				+								1			+ … 13.28.					1				+						1				+					1	+ … 13.29.							1			+		1					+		1		+ + ….
13.27.				+				2∙3					+							3∙4				+ … 13.28.									+					3∙5					+					5∙7	+ … 13.29.						1∙4				+							+				+ + ….
	1∙2							2∙3												3∙4								1∙3										3∙5										5∙7							1∙4						4∙7							7∙10
13.30.		1+			1				+					1				+					1	+ … . 13.2.			2					+		4		+					6				+ … . 13.3. 2 +									4			+			6		+ … .
13.30.		1+			2				+				4					+					8	+ … . 13.2.		3						+				+					27				+ … . 13.3. 2 +								2!				+					+ … .
					2								4										8			3					9										27												2!						3!
13.31.		1 −							1			+				1					−			1	+ … . 13.32.														3n 2n										. 13.33.				2						1					.

																																											6n
									3 9 27																								n 1										6n							n 1			3					2n 1
																			1
																			1
13.34.			ln 1																				.
13.34.			ln 1																n				.
		n 1																	n
В задачах 13.35 - 13.45 проверить, выполняется ли необходимое условие
сходимости ряда.
																																																																3
		1	+			3					+						5					+ …. 13.36.1 +							1		+							1			+						1		+ .13.37.												n
13.35.		1				3											5												1									1									1														n						.
13.35.		2				2											3												2									2									2																				.
		2			2											2												4			7																10							n 1 3n							3				2
																																																						n 1 3n											2
							3								4																n																				n	4
13.38. 2 +							3			+					4			+ … . 13.39.													n											.					13.40.				n								.
13.38. 2 +					2					+								+ … . 13.39.																								.					13.40.									4			.
					2								3																	n2 1																										4
																									n 1					n2 1																			n 1 2n 1
												n	2																								n																						2n 1
13.41.												n									.				13.42.												n									.			13.43.										2n 1										.
13.41.																					.				13.42.																					.			13.43.																				.
			n 1 n2															1								n 1					3 n9 1																			n 1 n n									1 n 4
																																																										2n
					2!											3!															√2									√				3														2n
13.44.1 +												+										+ …. 13.44. +													+											+ … . 13.45.																	.
13.44.1 +					2							+						3				+ …. 13.44. +													+											+ … . 13.45.																	.
		2														3														√2												√3									n 1n 1
																																																			n 1n 1

§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов

В задачах 13.46 - 13.61 исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения (при необходимости использовать эквивалентность

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.51 Mб29934.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19935.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19936.pdf
#
25.11.20233.51 Mб39937.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19938.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29939.pdf
#
21.11.2023168.27 Кб1994.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19940.pdf
#
25.11.20233.52 Mб09941.pdf
#
25.11.20233.52 Mб19942.pdf
#
25.11.20233.52 Mб29943.pdf