9932

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3x 2xy3y 80.

5x 4xy2y 240.

9x 24xy16y 250

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	2	2			2	2
4.82.	x 3y 2x 0			4.83.	x 2y 4y20
4.82.			.	4.83.					.
	2				2	2
4.84.	x 2x5y10			4.85.	3x 10y 2 0
4.84.			.	4.85.			.
	3x xy3y 20				2
	3x xy3y 20				x x y 2 0
4.86.			.	4.87.			.
	2	2			2 2
4.88.	x 3y 2x 0			4.89.	y x 6y50
4.88.			.	4.89.				.
	2				2	2
4.90.	y 2x2y70			4.91. 3x 5y 0.
4.90.			.	4.91. 3x 5y 0.
4.92.	xy0,5y 2x 3				2
4.92.			.	4.93. y 2x 4y 0.
4.94.	x 23xy3y 0				2
4.94.			.	4.95. x 9y 4 0.
	2	2			2 2
4.96. x 4y 0.				4.97. 16x 9y 90y810.
	2				2 2
4.98. x 8x2y160.				4.99. x y 2x6y80.
	2 2					2 2
4.100. x y 2x4y60.				4.101. 36x4y72x40y41.

4.102. y 8x2y160.

В задачах 4.103 - 4.106 преобразовать уравнения кривых поворотом системы координат. Построить новые и старые оси координат и кривые:

§6. Кривые в полярной системе координат

Взадачах 4.107 - 4.115 преобразовать к полярным координатам уравнения линий и построить их:

2		2	4.	4.108.	2		2	9.	4.109. x y 4.
4.107. x	y				x	y
x 2					y 3					2		2
4.110. .				4.111.			.		4.112.	x y 6x 0
														.
										2		2
2		2			2						x		y	1.
4.113. x y 8y 0.				4.114.	y	4x.			4.115.
										9			4

В задачах 4.116 - 4.133 преобразовать уравнения линий к декартовым координатам и построить их:

4.116. cos 4.

4.118. sin 2.

4.117. 8sin . 4.119. sin3 .

4.120.

4.122.

4.124.

4.126.

4.128.

4.130.

4.132.

6sincos.

21 sin.

4cos .

4sin2 .

21 cos.

21 sin.

4sin .

4.121. 2sincos.

4.123. 31 sin.

4.125. 4cos2 .

4.127. 4sin3 .

4.129. 21 sin.

4.131. 3cos3 .

4.133. 4cos.

§7. Поверхности второго порядка. Построение тел

Взадачах 4.134 - 4.156 назвать и построить поверхности:

	2						2
4.134.	2	2z.					2	4.136.		y 2x.
4.134.	y z	2z.		4.135. z 9 y .				4.136.		y 2x.
									x 1 y2
			2
4.137.			2	4.138.	y 9 x						4.140.
4.137.	y 1 x .			4.138.			. 4.139.			.	4.140.
				2	2				2
	2			2	2				2
	2		4.141.	y z 3z			4.142.		x 3y 8x 7
y x 2x.			4.141.			.	4.142.				.
4.143.	2	2				2	2	4.145.		2	2
4.143.	4x z		2z.	4.144. 3z 4y 12.				4.145.		z 2y y .
		2	2		2	2				2	2
4.146. z 3 x 5y.				4.147. x y 4z 0. 4.148. 4y 9z 36x 0.

2 2

4.149. 36x y 9z 0. 4.150.

2 2 2

4.152. 2x 3y 4z 36.

2 2 2

x y z

4.154. 10. 36164

2 2 2

x y z

4.156. 0. 36259

2 2 2

2 2 x y z x 2 3y z. 4.151. 0.

259 4

2 2 2

4.153. 4x 9y 4z 360.

2 2 2

4.155. x y 2yz 0.

В задачах 4.157 - 4.177 построить тело, ограниченное следующими поверхностями:

x2	y2	1
		3.
4.157. x y z		3.
	z 0
	z 0

				y	2
					2
	z 4 x2		z
	z 4 x2		z
			2
	4x y 4 .		2x 3y 12 .
4.158.	4x y 4 .	4.159.	2x 3y 12 .
x 0, y 0,z 0		x 0 , y 0 z 0

4.160.

4.163.

4.166.

4.169.

4.172.

4.175.

z	4 y 2
			x		2
	y		x				.

			2
			2
		z 0
		z 0

	2	y		2		16
x		y				16
	2z y2 .
	2z y2 .
		z 0
		z 0

x y 6

	y 3x .
	y 3x .
	4y, z 0
z	4y, z 0
z x 1 2
					x
		y			x			.

					2
					2

y 0, z 0

			y 2x													y x				2
		x2						z2								y x
4.161.		x2						z2				1	4.162.	z x2 y2										.
												1		z x2 y2
			4				9					.
			4				9
	y 0, z									0				y		1, z 0

			y	2					x
			y				2												2					2
	x					y	2				z			z 4x							2y 1
	x					y					z	1 .					x y 3 .
4.164.													4.165.
4.164.													4.165.
	4				2					4
				z			0							x 0, y 0, z 0


	z x2 y2													z 4 x2 y2
																	x y 2 .
4.167. y x, y x .													4.168.				x y 2 .
	x 1, z 0													x 0, y 0, z 0


														x				y				z
					z 4 y2																		1
					z 4 y2										8		4					8	1
4.170.						x y 2 .										y		2	x .
4.170.						x y 2 .							4.171.			y			x .
	y x, z 0, x 0																z 0

z 2x y

y x, y 2 x

x z 1 .

x y 2

. 4.173.

z 1 x .

4.174.

x 0, y 0, z 0

z 0

z y

z 4 x

x 4 y

y 3x .

4.176.

x y 2

. 4.177.

y 3z .

x 2, z 0

y 2x, x 0, z 0

x 6, z 0

Глава 5

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§1. Общие свойства функций

В задачах 5.1 - 5.20 найти область определения функций:

5.1.	2
	y 9 x .

5.4. y 31 . x x

5.7. y 1 . x x

								1
	3	2						1
	3	2
5.2.	y	4 x .		5.3.		y		2 .
							x 3x 2
						y		1
5.5.	y	1	x .		5.6.						.


									x	x


				2				ln1 x
5.8.	y log42 x4x.				5.9. y							.
5.8.	y log42 x4x.				5.9. y			x 1				.

								x 3					1
														3
5.10. ylgx4 6x.														3
										y				sinx
						5.11. y cos2x.				y				sinx
						5.11. y cos2x.			5.12.			sinx .
			1
			1
	y			x2				x			y arctgx 1

5.13.						5.14.	y arccos1
5.13.		lg1x			.	5.14.	2		. 5.15.						.
		lg1x					2

2 12x

5.16.ylg1lgx 5x16. 5.17. y arcsinlnx. 5.18 y arccos.

3x1

5.19. y 12x3arcsin. 5.20.

x5 4 yln x5.

2 x10x24

В задачах 5.21 - 5.26 найти, при каких целых x определены функции:

				x

5.21.	y x					5.22.	ylogx6 2x10


			.				0,5		.
				2 x


5.23. y 162xlnx5.						5.24.	2x16
5.23. y 162xlnx5.						5.24.	y3 9x.

							2
	4		2				2
		4 3x x					12x x
5.25.	y		x 3		.	5.26. y logx 2		.
							3
						43

В задачах 5.27 - 5.37 найти множество значений функций:

5.27. y x 2 3.

5.30.y 2 2x x .

	2
5.33.	x 4x 12
5.33.	y 2 .

5.28.	2
	y 5 x .

5.31. y 4 4x x.

5.34. y 4 x x.

5.29.y x12.

5.32. y x x 6.

5. 35. y logx 3.

x2, x0,3

5.36. y 2 4sinx. 5.37. y .

2x10x16,x3,8

Определить, какие из функций 5.38 - 5.52 будут чётными, нечётными или функциями общего вида:

2 3

5.38.y x x.

5.41. y x xcosx.

5.44. 1 x2 . y

x x

5.47. y e e .

5.50. y xx . a 1

5.39.y x cos3x. 5.42. y x 4.

3 2

5.45. y x lnx 3.

x x

5.48. y e e .

5.51. y ax 1. ax 1

5.40. y x xsin2x.

5.43. y x 1 4. 5.46. y sinxx.

5.49. y x 7e .

1 x

5.52. y ln . 1 x

5.53. Какова будет функция					f x , если она определена на всей числовой оси и
для любых	x	и	x	2 , удовлетворяющих условию			x x 0
	1						1 2	, выполняется
равенство:	1)	f x f x 0				f x f x 0
		1		2	; 2) .	1 2	?

В задачах 5.54 - 5.65 найти наименьший положительный период функции:

5.54. y sin2x.

5.57. y sinx cosx.

5.60. y cos2x.

5.55. y cos3. 5.58. y tg4x.

5.61. y cos3x.

5.56. y sin x.

2 5.59. y ctg x.

5.62.y sinx 2.

	y sin2x cos3x				5					y lgcos2x
	y sin2x cos3x				y sinx tg2x					y lgcos2x
5.63.				. 5.64.	y sinx tg2x				5.65.	.
5.63.				. 5.64.	3		.		5.65.	.
					3
5.66. Функция			f x определена на всей числовой прямой. Что можно сказать
об этой функции, если для любых x1 и x2						найдется такое число 0 , что из
условия		x x		будет следовать, что		f x f x 0
		x x				f x f x 0
		2 1					1	2	?
					44

В задачах 5.67 - 5.81 найти функцию, обратную данной:
5.67.	y 3x .																5.68.	y 2 3x.																		5.69.		y x2 4 x 0 .
5.70.				2						4x x						2 . 5.71.							2											2 .				5.72.				y				3				.
5.70.	y x									4x x						2 . 5.71.			y x 4x 5x															2 .				5.72.				y						x		.
																																																x
		1																						x 0

5.73.	y												.				5.74.	y		3	2												.			5.75.		y 3 x 4
	y																			3	2																	y 3 x 4
																						x																						.
		2 x
5.76.										3							5.77.	y 5x 2					.												5.78.			y 2logx 4
5.76.	y x .																5.77.						.												5.78.							3 .
							2x											y 3sin2x																						y log2
																		y 3sin2x											x .											y log2
5.79.	y													.			5.80.							,					x .									5.81.											x .
		1 2x																												4						4
В задачах 5.82 - 5.126 построить графики функций:
5.82.	y x2 .																	5.83.				y 2x2.															5.84.		y 1 x2.
				2																													2									2
5.85.	y x									2x 1								5.86.				y 3 2x x															5.87.		y 2x						x
5.85.																.		5.86.															.				5.87.											.
														2													2
														2													2												y x
5.88.	y 4x x														.			5.89.			y 2x 3x 1																5.90.		y x					.
5.88.															.			5.89.																.			5.90.							.

5.91.	y x												.					5.92.				y x 1															5.93.		y x 1 2
5.91.													.					5.92.															.				5.93.													.

5.94.	y						x					.						5.95.				y			x 1							.					5.96.		y 2						x 1
5.94.												.						5.95.														.					5.96.													.
				x

5.97.	y							.										5.98.				y x				x			.								5.99. = + 2 + \| \| .


				x																				2															y		3
	y					x 1 2																y


5.100.															.		5.101.								.												5.102.					.
5.100.																									x																	x
5.103.	y				x 1.												5.104.					y			1 x						.						5.105.		y			2					.
5.103.	y				x 1.												5.104.					y									.						5.105.		y								.
									x																		x															x 1
5.106.	y		2x 3.														5.107.					y			2			.									5.108.		y			1						.
5.106.	y		2x 3.														5.107.					y						.									5.108.		y			x 2						.
						x 1																			x																	x 2
5.109. y 2x .																	5.110.					y 2 x .															5.111.		y 2 2x.
							1 x 1																																					2
																									x 1																		x
	y																								x 1																		x
5.112.											.						5.113.				y 4									.							5.114.		y e							.
				3
5.115. y ax 2.																	5.116. y 1 2x.																				5.117.		y sinx.
	y sin2x																												x										y 1 sinx
5.118.	y sin2x																5.119.				y 2sin .																5.120.		y 1 sinx
5.118.														.			5.119.				y 2sin .																5.120.											.
																											2

	y				sinx															y sinx sinx
5.121.	y				sinx									.			5.122.			y sinx sinx																	5.123.		y sinx
5.121.														.			5.122.																	.			5.123.											2 .
																					45
																					45

§2. Числовые последовательности и их пределы

В задачах 5.127 - 5.141 записать вид общего члена an последовательностиan по виду её первых трёх членов:

	1 1 1								5.128. 1, 1,1, 1,... 5.129.						3,5,7,9,...
5.127.			,			,	,...

	2 3 4
	1			1 1						1		1 1			3 5 7
5.130.		,			,			,...	5.131.	1,	,		,	,... 5.132.		,	,	,...

	3			9 27						4		9 16			2 4 8

5.133.

5.136.

5.139.

12 34					1		1 1			1 1 1
	,	,	,	,...5.134.		,		,	,... 5.135.		,	,	,...

23 45					2		5 10			122334

ln2,ln3,ln4,...5.137. sin π2, sin π4, sin π8 , …5.138. tg π3, tg π6, tg π9 , ….

1		1		1					2	3		1 3 5
							1		2	3
	,		,		,...			,	,	,...			,	,

3!		5!		7!		5.140.	3				5.141.	2! 4! 6!			.

									5	7

В задачах 5.142 - 5.150 записать общий член последовательностей и выяснить, какие из данных ниже последовательностей являются ограниченными снизу, ограниченными сверху, просто ограниченными или неограниченными:


5.142. 2,4,6 .					5.143. 1,2, 3,4 .				5.144.	1,		2,		3,...
										2		3		4
5.145.	1, 1,1, 1				5.146.	sin1, sin 2 , sin 3 ,…			5.147.	ln 2 , ln 3 , ln 4 ,….
				,…
	1 2 3					4 6				1 1 1
5.148.		,	,	,...	5.149.	2,	,	, .	5.150.		,		,		, .

	3 9 27					3! 5!				2 4 8

В задачах 5.151 - 5.159 определить, какие из данных ниже последовательностей являются возрастающими, неубывающими, убывающими, невозрастающими:

	2 3 4					1 2 3						1111
5.151.	1,	,		,	,... 5.152.		,	,	,...	5.153. 1,1,				,		,		,	,...
5.151.	1,	,		,	,... 5.152.		,	,	,...	5.153. 1,1,				,		,		,	,...
	5 9 13					2 3 4						2233
		3 4 5				1,1,2,2,3,3,				1		1			1

	2,		, , ,... 5.155.														, … .
5.154.	2,		, , ,... 5.155.			.				5.156. ,			,				, … .
		2 3 4									ln2	ln3			ln4
						46

			1 1 1					2 4 8
5.157.	cos,cos,cos,...			,	,	,	5.159.		,	,	,

	2 3 4	5 158.	2! 5! 8! .					1 2 3 .

5.160. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при


n		1 1		1
n	последовательность	2,1,1,	...1,,...
	последовательность	2 3		n	имеет пределом
		2 3		n

число 1.

5.161. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при


n		1		1 1
	последовательность	1,	,		,	,...

		4		9 16			имеет пределом число 0.

5.162. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что число 2 не является пределом последовательности с общим членом

a 2n 1 при n . n 4n 1

5.163. Существует ли предел последовательностей an								при n ( если да,
то найти его), где:
		n	2)			n	3) n	n
1) a 1 1 ;			2)		a 1 2n1,		3) n	nsin	;
n					n		a	nsin
n					n			2
								2
a	cosn			a 1		1

			5)			n .
4) n	lnn	;	5)		n	n .
	lnn					2

В задачах 5.164 - 5.194 вычислить пределы числовых последовательностей:

	lim		n						2n 99
5.164.							.	5.165.	lim 2				.			5.166.
5.164.							.	5.165.	lim 2				.			5.166.
	n n 2								n		n
						2						1 n
		n 1
5.167.	lim .							5.168.	lim1					.		5.169.
5.167.	lim .							5.168.						.		5.169.
			2						n			2
			2		1				n
	n n				1

	3			2		n			3		3
			n			n				n 2n 1
5.170.	lim							. 5.171.	lim						.	5.172.
	n n 1								n		n 2

1nn

lim .

n n 2

3 2

n 10n 1 lim 2 . n 100n 2n

limn! .

n n 1!n!

	n 2!n!	1
		12 n
5.173. lim . 5.174.		12 n
5.173. lim . 5.174.		lim	. 5.175.
n n 3!		2
n n 3!		n n
13 2n1
		n
5.176. lim		n	.
5.176. lim		. 5.177.	.
n n3

limn 3 n

n .

			n											n		n
			n	3					2 n 3					n		n
	2			3				lim	2 n 3				2		3
5.178. lim						5.179.						.	5.180. lim			n	.
5.178. lim			n			5.179.			1			.	5.180. lim				.
			n	3.					1					n
	n 2							n					n 2		3
	n 2							n	2 n		3		n 2		3
									2 n		3
		sin3									n								n

										sin							5
					n					sin							5
	lim										2 .
5.181.							.5.182.						5.183.		1			.
5.181.							.5.182.						5.183.		1			.
	0							lim					lim				n
	n			n				n 0			n		n				n
								n 0			n

2 n.5.185.

lim1 n

n n lim .5.188.

n n 2

1 n

lim1 .

n 4n

n 3 2. lim

n n

5.186.

5.189.

n 2 n

lim .

n n

2n 1n

lim .

n 2n 1

2n 1n

2n 1

2n 1 n

. 5.191.

. 5.192.

lim

n 2n 1

lim

2n 1

n 2n 1

2n 1n3

111

.5.194. lim .

lim

n 244668

2n2n2

2n 1

5.184.

5.187.

5.190.

5.193.

§3. Функции непрерывного аргумента. Предел функции в точке

Пусть функция определена на всей числовой прямой. Какому условию она удовлетворяет, если:

5.195.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

удовлетворяющего условию

N , выполняется неравенство

f x M?

5.196.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

удовлетворяющего условию

x N , выполняется неравенство

f x ?

5.197.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

удовлетворяющего условию

x N , выполняется неравенство

f x M?

5.198.

для любого числа

найдётся такое число

N , что для любого x ,

f x a ?

удовлетворяющего условию

N , выполняется неравенство

5.199.

для любого числа

M 0

найдётся такое число N , что для любого x,

удовлетворяющего условию

x N

, выполняется неравенство

f x M

5.200.

для любого числа

и для любого числа

из неравенства

x a

следует неравенство

f x A ?

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a . Какой вывод можно сделать, если:

5.201. для любого числа													0		существует								0					такое, что для любого											x			из
неравенства				0 x a следует неравенство																							f x A ?
неравенства				0 x a следует неравенство																							f x A ?
5.202.	для любого числа												M	существует									0					такое, что для любого											x			из
неравенства 0 x a следует неравенство																									f x M?
5.203. для любого числа													0		существует									0				такое, что для любого											x из
неравенства				0 x a следует неравенство																							f x ?
5.204.	для любого числа												M	существует									0					такое, что для любого											x			из
неравенства 0 x a следует неравенство																									f x M?
В задачах 5.205-5.227 вычислить пределы:
				2			1											3														3
			x				1											x 2x 3														x				2x 3
5.205.									.				5.206.			lim									.			5.207.		lim										.
5.205.	lim2								.				5.206.			lim					2				.			5.207.		lim										.
	lim2					2															2															4
	x x					2										x x						5								x x							2x
			1					2
			1														2												3
																	2												3
								x									x 1												x 3x 1
								x									x 1

5.208.	lim								.		5.209. lim											. 5.210.						lim						1
5.208.	lim								.		5.209. lim											. 5.210.						lim									.
							3										2													x 4
	x						3						x 02x x 2																	x 4
		4
		4					x 2
						x 2															2
																					2												2x x.
																					x 9
5.211.	lim											.	5.212.								x 9					.		5.213.
5.211.	lim											.	5.212.													.		5.213.
	2			2													lim													lim
	2																			2
	x		x 3x 2														3													x 2			x 2
																	x		x 2x 3											x 2
		4			1															2												2
		x			1													x			6x 8										x x 2
5.214.	lim								.				5.215.				lim										. 5.216. lim									2					.
		3			1																3									3						2
	x 1 x				1											x 2 x 8													x 1x x x 1
		1 3
		1 3																		1 x 1											1 x 1
																							2

																														lim 2 .
5.217.																								.				5.219.
5.217.	lim											3	. 5.218.				lim							.				5.219.
			1x									3					lim					x												x
	x 1									1x							x 0					x								x 0				x
																																2
																							2
				x 1 2																			2												x
				x 1 2																1 x 1											x				x
5.220.	lim										.		5.221.				lim											. 5.222.		lim								.
5.220.	lim										.		5.221.				lim											. 5.222.		lim				x 1				.
	x 5			x 5													x 0 16x 4													x 1				x 1
																							2

5.223.

5.226.


			x 1
	1 x 1
3		2

lim	2	. 5.224. lim				.
lim		. 5.224. lim				.
			x 1	3	x 1
x 0 x			x 1		x 1
	2						2	2
limx 4x x							x2x1x7x3
			. 5.227.	lim					.
			. 5.227.						.
x				x

sinx

5.228. Вычислить предел lim .

x x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.51 Mб09928.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09929.pdf
#
21.11.2023168.26 Кб0993.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09930.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19931.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19932.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19933.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29934.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19935.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19936.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29937.pdf