Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9927

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	55i cos15isin15

5)						3cosisin 3 3i
5)				; 6)					.

							8		8
									3 3
7.13.			Выполнить		деление:			1)	10cosins :2			cossin

													; 2)
										4 4 4 4

3 3								co210is210inco150: is150in;
3coisin:coisin
							; 3)
		4 4		2 2


4)	coisin:coisin co150is150in:cos120sin120
4)							; 5)				.

			3 3		6 6

7.14.	Возвести			в степень: 1)
		8		12
				12
			; 4)	cos35isin35 .
			; 4)	cos35isin35 .
2cos isin
	8	8

							10
			3		3			3 1
		6									6
		6 ; 2)									; 3)

	6								2 2
	6								2 2
										i
cos isin						i				i
			2	2

§4. Извлечение корней из комплексных чисел

7.15. Представить в показательной форме числа: 1) z 2i ; 2) z 1 i ; 3) 1; 4)

3 i

; 5) 3 i 3 ; 6) 2 i 6 .

7.16. Представив числа z1 1 i и

z2 1 i 3 в показательной форме, вычислить:

1) z1 z2 ; 2)

; 3) z16 ; 4) 4 z1 .

7.16. Извлечь корни из комплексных чисел: 1) i ; 2) 3 1 ; 3) 4 1 ; 4) 3i ; 5) 44 ; 6)

4 2 2i3 ; 7) 61 .

7.17. Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на

множители Q(x)ix2ix13i .

7.18. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если

известен один из его корней x 1 3i.

7.19. Решить на множестве комплексных чисел уравнение 4x 8x 130.

Глава 8

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Непосредственное интегрирование

В задачах 8.1 - 8.24 вычислить интегралы:

	x 3dx			2		x 1dx
	x 3dx		x 1			x 1dx
			2
8.1.		.	8.2.	3 dx.	8.3.			.
						3
	2
	2						2
	x		x				x
				70

8.6.

x 4 8.4. 2 x dx.

	x 13
8.7.	dx.
	x

1 x2

8.10. 2 dx. x 1 x

8.13.21 dx.

8.16. x2 9.

8.19. ctgxdx.

8.22. 3xexdx.

	1		1
	1		1

8.5.				dx
		4 3
x			x

1 x 2

8.8. dx.

8.11. 21 dx. x 27

8.14.					dx				.

							2
				5 x
						cos2x					dx
8.17.											dx
8.17.						2	2 .
		cosxsinx
						2
	3tgx 3
8.20.										dx
										dx
						2 .
				sinx
			x				x
8.23.		2				5		dx
								dx
						x .
			10

3 2 4

x xdx.

12x

8.9.2 2 dx.

x1 x

8.12.2x2 dx.

8.15. 4 x2 .

8.18. tg2xdx.

		x
x		e

e 1		2	dx
8.21.			.
	cosx

3 x 2

8.24. xe 3 x dx. x

8.25.

Будет

ли

функция

cos2x 1 2первообразной

для

функции

sin2x 1?

8.26.

Пусть

F x

- первообразная для функции

F 1 .

5 4x x

Найти

F 2 .

§2. Интегрирование внесением под знак дифференциала или методом замены переменной

В задачах 8.27 - 8.64 вычислить интегралы:

2xdx

8.27. x2 1.

2 3x . 8.31.

1 3x

8.34. dx.8.35. 3 2x

				7
				7						2 3xdx
8.28.												.		8.30.
8.28.			2 3x dx.8.29.									.		8.30.
5							x						x3
							x						x3
	3 5xdx									dx					dx
						2						8.33.

		.		8.32.				3			.		x4	1		.
							x	3					x4	1
2x 3dx						x 1			dx					x2		dx


2x 1		.		8.36.	x2 1 .							8.37.	x3 1

cosx

6x 5

x lnx

lnx

8.38.

8.40.

dx.8.41.

. 8.39.

23x 5x 2

xdxln x .

8.45. ex dx.

e 1

1 sinx

2 dx. cosx

cosx dx

3 2 .

sinx

8.42.

e3x dx.

8.43. e xdx.8.44.

sinx

8.46.

.8.47.

2 .

cosx

9 e

sinx

sin2x

cosxdx

8.49.

.8.50.

cosx

5 2

8.52.cosxsin2xdx. 8.53. xsin1xdx.

e x dx.

8.48.

8.51.

8.54.

tgx

ctgx

arctgx

arcsinx

8.55. 2 dx. 8.56.

2 dx.

8.57.

cosx

sinx

1 x

8.58.			dx

			2.
			4 2x 3
8.61.			dx
				.8.62.
	2
	x	2x 2

dx 4x x2 .

			dx			3x arcsinx
	8.59.				.	8.60.			dx
	8.59.		2		.	8.60.		2	dx
			2	2				2
		arccosx 1x					1 x
	dx		. 8.63.			dx		8.64.
						2.
		2				2.
4x 3 x						1 2x x

§3. Интегрирование по частям

В задачах 8.65 - 8.92 вычислить интегралы:

8.65. x sinxdx.

8.68. exx dx.

8.71. 2 dx. sinx

8.74. x sinxdx.

8.77. lnxx dx.

8.80. arcsinxdx.

8.66. x cos2xdx.

8.69. 3 x e dx.

8.72. x2 dx. cosx

8.75.ln xdx.

8.78.lnx3xdx.

arcsinx 8.81. dx.

1 x

8.67.5x 6sin3xdx.

8.70.x 2 dx.

x cosx 8.73. 2 dx.

sinx

8.76.xlnx 1dx.

8.79.lnx 1dx.

8.82.arctgxdx.

8.83. xarcctgxdx.

8.86. x sinxdx.

2 x

8.89. x 2 dx.

8.92. Вычислить разность функции x ln x .

8.93. Вычислить разность функции x 6cos3x.


		arctgx											arcsinx
8.84.				x			dx				8.85.			1 x		dx
							dx									dx
								.									.
			2											2	x
8.87.		ln xdx									8.88.			x	e dx
8.87.					.						8.88.					.
			x											x
8.90.	e sinxdx									8.91.		e cosxdx
8.90.						.				8.91.						.
F2 F1, если									F x - первообразная для

										F x
F2 F										F x	- первообразная для
			, если								- первообразная для

			3

§4. Интегрирование рациональных функций

В задачах 8.94 - 8.113 вычислить интегралы:

8.94. x 2dx.

8.97. x 2x 3.

2x 7dx

8.100. 2 . x x 2

x3 1

8.103. 3 dx. x x


8.106.	x3 1			dx

		3	.
	x		x

8.109. x x2 1 .

8.95.x2 dx.

8.98. x 12x 3.

xdx

8.101. 2 .

2x 3x 2

			dx
8.104.						.
8.104.		x x 12				.
			2
			x x 1
					dx
8.107.			4		dx
8.107.			4				.
			x x
8.110.			dx	.
8.110.			3	.
	x 1


8.112.		x 2	dx		8.113.		x 2	dx
			dx					dx
	4			.		3 2			.
		x 1					x 2x x

8.96.

8.99.

8.102.

8.105.

8.108.

8.111.

2 dx. x 2

x 4dx

x 2 x 3

3x 2x 3

3 dx. x x


		x 2		dx

3			x		.
		x
		x 1			dx

4			2 .
	x		x

xx3dx1 .

§5. Интегрирование тригонометрических функций

В задачах 8.114 - 8.131вычислить интегралы:

sin3xsin7xdx		sin2xcos6xdx			x	x
sin3xsin7xdx		sin2xcos6xdx		coscodxs
8.114.	. 8.115.		.	8.116.	3	2 .

8.117.

8.120.

8.123.

8.126.

8.129.

sinxdx.

cosx

2 dx. sin x

tg4xdx.

4 cosxdx.

5cosx 3

8.118.

8.121.

8.124.

8.127.

8.130.

cosxdx .

sincosxxdx.


	2 x			.
sin			dx
		2

3sindxx .

1 sinx.

2 3

8.119. sinxcosxdx.

8.122. ctg xdx.

2 x

8.125. cos2dx.

8.128. 5cos2x.

8.131. . 1 sinx cosx

§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

В задачах 8.132 - 8.148 вычислить интегралы

8.132.

8.135.

8.138.

8.141.

8.144.

8.147.

x x 5dx.

x1 xdx.

x 1 dx

2x 1 .

1 dx

4x x .

3 2

x1 xdx.

		1
		2 .
			dx

x x 1

	1	dx


8.133.	1 x .			8.134.
	1		dx


8.136.	1 x 1 .			8.137.

8.139. dx. 8.140. x x 1

			1		dx

8.142.									8.143.
8.142.			3 2 .						8.143.
		x x
							3
							3
8.145.	x1 x dx.								8.146.
			1			dx

8.148.
8.148.			2					.
		x x		1

dx x 1 .

x 2dx. x

x2 dx. x 1

1 3x 2 .

9 x dx.

§7. Смешанные примеры

cosx

8.149. Найти ту первообразную от функции

x , которая принимает значение 3

при x 2 .

График первообразной F x

x 3

8.150.

для функции

проходит через

x 4 x 4

точку

A 5; 0 . Найти F 8 .

В задачах 8.151 - 8.198 вычислить интегралы:

2 4x

4 4

8.151.

x1 x 2xdx. 8.152.

x 1 6xdx. 8.153.

7x 1

2x 3dx
8.154.	2	.
	x 4

xdx

8.157. x4 1.

8.160. x 2x. e 1 e


	1 xdx
8.163.		.
8.163.	x	.
	x

x 1 8.166. dx.

1 x

8.169. xsinxdx.

8.172. x 1dx.

3 2

x x

8.175. sinxcos3xdx.

8.155. 1 9x2 .

				x
8.158.			e dx				.
8.158.				2x			.
	e				4
8.161.						dx
									.

		x				2
		x				3 lnx
8.164.					dx

				x 1 x .

				arccosx
8.167.								dx
								dx
					2 .
				1 x

8.170. x tg xdx.

8.173. x 1dx.

3 2

x x

8.156. 2x2 9.

x x

8.159. e 1 e dx.

lnxdx

8.162. 2 . x 1 lnx

3 5 4

8.165. x 1 5xdx.

		1
			2
	sin			dx
8.168.		x			.
8.168.		3			.
		x
8.171.	arctgxdx
				.
		2		.
	x

sin2x 8.174. dx.

5 cos2x


	4	5		cos5xcosxdx
sinxcosxdx				cos5xcosxdx
8.176.			. 8.177.		.

8.178.	lnx			dx.				8.179.
8.178.	3			dx.				8.179.
		x
				x
		2				dx
8.181.						dx		8.182.
8.181.					x	.		8.182.
		1 2
		2
				x			dx
8.184.							dx	8.185.
8.184.		3				.		8.185.
			8x		27

tgx dx

cosx

1 tg xdx.

x		dx

2 x
2 x
2	3 .


8.180.		lnx	dx.
8.180.		x2	dx.
8.183.		2x		dx.
8.183.				dx.
1 4x
		2
	lnx 2
8.186.					dx.
8.186.		x			dx.
		x

		dx							x	dx

8.1887			.			8.188.
8.1887			.			8.188.			2 2 .
		x 1 x						cosx
		x		x					2
		2	2						2
	sincosdx						tg 4xdx.
8.190.		2	2		.	8.191.	tg 4xdx.
		2	2

8.193.

8.196.

x x .

e 3 e

	dx

	2 .
	1 2x x

		dx
8.194.		2.
	2 6x 9x
		x 2	dx
8.197.
		2 .
		2x x

8.189. cosx x.


8.192.		sin5x		dx
				dx
	5 cos5x				.
	5 cos5x
		x 1	dx
8.1965			dx
8.1965		2x 1 .

8.198. tg7xdx.

Глава 9

Определенный интеграл

§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и внесение функции под знак дифференциала

В задачах 9.1 - 9.12 вычислить интегралы:

	3						4	dx
9.1. 5x2dx.						9.2.		dx			.
9.1. 5x2dx.						9.2.		cos	2 x		.
	2							cos	2 x
							6
	7			dt			5	dx
9.5.				dt	.	9.6.		dx			.
								3x 2
			3t 4
	1		3t 4				1
	2			dx			2 x 3			dx

9.9.		2				. 9.10.		2
9.9.		2				. 9.10.		2	4			.
	1x			5x 4			0 x		4

			x					4
	4		x
	4									x2
9.3. 1 e4				dx .			9.4.			x2		dx.
9.3. 1 e4				dx .			9.4.		xe			dx.
								0
	0							0
	1	dx						2		dx
9.7.		dx				.	9.8.			dx			.
9.7.				3		.	9.8.			2			.
	0 2x 1								1 x		x
	e ln2 xdx							3			dx
	e ln2 xdx						e				dx
9.11.					.		9.12.				1 lnx.
9.11.		x			.		9.12.		x		1 lnx.
	1							1

§2. Замена переменной в определённом интеграле

В задачах 9.13 - 9.24 вычислить интегралы:

4 1

9.13. dx.

01 x

4	1
	1	dx


9.14. 1 2x 1 .
0

1xdx

9.15.15 4x .

13 x 1

9.16. 3 dx.

0 2x 1


2 3			dx
9.19.			dx
						.

		2		2
	2 x x 4

e41 lnx
					dx
9.22.					dx
9.22.		x	.
1		x
1

0		dx
9.17.		dx
9.17.	1 3		x 1.
1
ln2
ln2		x		1dx
		x
9.20.		e
9.20.				.
0

9.23. 4 2tgx 7dx.

2 2

0cosx 9sinx

1
1	2
	2
9.18.	4 x dx
9.18.				.
0
ln8		dx
9.21.		dx	.

		x
ln3	1 e

3 x

9.24.0 6 xdx.

§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле

В задачах 9.25 - 9.36 вычислить интегралы:

9.25. xe x dx.

9.28. arctgxdx.

4	xdx
9.31.	xdx
		.
	sin 2 3 x	.
6

2	x cos xdx
9.34.			.
9.34.	sin 3 x		.
4

9.26. . x 1cosxdx

e lnxdx

9.29. x3 .

9.32. x2e 2xdx.

9.35. x22 xdx.

9.27. xsinxdx.

0

	4	xdx
9.30.	0		.
		cos 2 x

9.33. x arctgxdx.

9.36. 1 lnx2dx.

§4. Несобственные интегралы

В задачах 9.37 - 9.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами интегрирования (1 рода) или установить их расходимость:

	dx							dx							dx
9.37.				.			9.38.			.			9.39.						.
			2						x
		x	2															x
	1	x						1						1				x
			dx					1 x2								xdx
9.40.						.	9.41.				dx.		9.42.								.
9.40.			5			.	9.41.			5	dx.		9.42.				2				.
			5							5				0 x			2	1
	2 x 1							1	x					0 x				1
			dx							dx				lnxdx
9.43.					.		9.44.					.	9.45.							.
9.43.			2		.		9.44.		2			.	9.45.				x			.
	x 1							2x		2x 3				2			x

9.46. e 4xdx.

9.49. e x3 x2dx.

0
	xdx
9.52. 2

		.
	x2 33


		2x					e x
		2x					e x
9.47.	xe		dx			9.48.					dx.


	0						1			x
									dx
	arctgxdx
	arctgxdx
9.50.					.	9.51.						.

		2							3
	0	x	1				e x ln x
		dx							dx
9.53.		dx		.		9.54.			dx				.
9.53.			2	.		9.54.			2				.
	0 x 1							x 2x 2

В задачах 9.55 - 9.63 вычислить интегралы от разрывных функций (2 рода) или установить их расходимость:

3dx

9.55.9 x2 .

1

9.58. 4	dx	.

0	x ln x

2 dx

9.61.03 x 12 .

	2		xdx
9.56.						.

			x 1
	1		x 1

	4			dx
9.59.				dx			.


	01 cos2x
		1
	0
9.62.	0	e x dx			.
9.62.					.
			x 3
	1		x 3

9.57. ln xdx.

2 dx

9.60.x 1 2 .0

		1
	1
9.63.	1	e x dx		.

			x 2
	0		x 2

§5. Приложения определённого интеграла

В задачах 9.64 - 9.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	y x2 x
9.64.			.
	y x 1
	y sinx 0

		y 2x .
9.67.		y 2x .



		2
		y x
9.70.		2 .
	y x 2x

9.65.y 4x x .

y x 0

y x 12

9.68..y x 1

y cosx

9.71. x y .

2 2

y x2 1 9.66. y 3 x2 .

y x2

9.69. .

y 22x

	y
	y	x 3
		x 3
9.72.		x 3	.
9.72.		y 0	.
		y 0

	y tg x
	y tg x
	y	0 .
9.73.	y	0 .
	x
	x		3
			3

y x

9.76.y 4 3x .

y 0

	y x 2

lg x lg y 0
9.79.	y 0	.
	y 0

	x 2
	x 2

		y x 3						y 2 x
		y	1
9.74.				.		9.75. x 2y 2 0.
9.74.			x	.		9.75. x 2y 2 0.
			x					x 2 0
		x 2
		x 2

	y x2 3x							y e 2 x

9.77.	y 6 2x .					9.78.	y e 2 x .
		x 0					x 3 0

	y x 1 2						y 4 x x 2
		x 0						x 0
9.80.		x 0			.	9.81.		x 0	.
9.80.		y		0	.	9.81.		y 1	.
		y		0				y 1

		x 5						y 3
		x 5						y 3

В задачах 9.82 - 9.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями в полярных координатах:

9.82.	3,0 2				9.83.	2cos			9.84.		2sin
9.82.				.	9.83.		.		9.84.			.
9.85. cos2 .					9.86. 2sin2 .				9.87. 4cos3 .
						21 sin
9.88.	1 sin				9.89.	21 sin			9.90. 21 cos.
9.88.			.		9.89.		.		9.90. 21 cos.
						2					2
9.91. 21 sin.					9.92.	2			9.93.		2
9.91. 21 sin.					9.92.	2cos.			9.93.		2sin.
	В задачах 9.94 - 9.102 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	x 3cost					x 2 2cost				x 2cost
9.94.			.	9.95.			.		9.96.			.
	y 3sint					y 3 2sint				y 4sint

	x 2 3cost							3
							x cost
9.97.				.	9.98. астроидой			3 , t 0;2 .
	y 3 2sint						y sin t
							y sin t

					x t sint
9.99. Одной аркой циклоиды							и осью x.
					y t cost

						x t sint				1	( 0 x 2 ). 9.101.
9.100. Первой аркой циклоиды							и прямой y			1
9.100. Первой аркой циклоиды							и прямой y
					y t cost				2
x 2cost							3
						x 8cost
		, y 3 y 3 .			9.102.		3 , x 1 x 1 .
y 6sint						y 8sint

В задачах 9.103 - 9.111 вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси x фигур, ограниченных линиями:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.5 Mб19922.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09923.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09924.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09925.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09926.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09927.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09928.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09929.pdf
#
21.11.2023168.26 Кб0993.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09930.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19931.pdf