9922

2.59. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного

на векторах

a k j и b i j k.

2.60. Найти

площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 2n

и n – единичные векторы, образующие угол 300 .

и b 2m n , где m

a

3,

72. Вычислить a

.

2.61. Дано:

b

26,

a

b

b

b 1;2; 1

2.62. Даны векторы

a 3; 1; 2

и

. Найти координаты

вектора 2a b 2a b.

2.63. Дано: | a | 10, |

b

| 2 , a b 12. Вычислить

a b

.

2.64. Какому условию должны удовлетворять векторы

a и b , чтобы вектора

a b и a b были коллинеарны?

2.67. Три силы

F 2;4;6

F 1; 2;3

F 1;1; 7

1

,

2

,

3

приложены к

точке A3; 4;8.

Найти величину и

направляющие косинусы момента

равнодействующей этих сил относительно точки

B4; 2;6.

c 2j 5k и

вычислить его объем.

Правой или левой будет тройка векторов

a, b, c ?

2.69. Построить пирамиду с вершинами O0;0;0 ,

A 5;2;0 , B 2;5;0

и C1; 2; 4

и вычислить ее объем,

площадь грани

ABC и высоту пирамиды,

3 , вычислить a

c .

a

4,

b

2,

c

перпендикулярны. Зная, что

b

a 1; 1;3

с 3; 2;5

2.75. Даны

три вектора:

b 2;2;1

,

,

.

a

c .

Вычислить

b

2.76. Даны

вершины тетраэдра: A 2;3;1 ,

B 4;1; 2 ,

C 6;3;7 и

2.78.

Объем тетраэдра

V 5 .

Три

его

вершины находятся

в

точках

A 2;1; 1 , B 3;0;1

и

C 2; 1;3 . Найти координаты четвертой вершины

D , если известно, что она лежит на оси y.

2.79. Дана пирамида с вершинами в точках

A 1;2;3

A 2;4;1

A 7;6;3

1

,

2

,

3

,

A 4; 3;1

4

.

Найти: 1) длины рёбер

A A

,

A A

A A

2) площадь грани

A A A

1 2

1

3 ,

1

4 ;

1

2 3;3)

угол между рёбрами

A A

и

A A

;

4) объём пирамиды

AA A A

;

1

2

1

3

1

2

3

4

5) длину высоты пирамиды на грань

A A A

1

2

3.

1)

2x 3y 6

3x 2y 4

3y 4x 12

y 6 4x

; 2)

; 3)

; 4)

.

3.7. Прямые

y 2

и

y 4

пересекают

прямую

3x 4y 5 0

соответственно в точках A

и

B . Построить вектор AB , определить его длину

и проекции на оси координат.

1) y 2 x, x 2 , y 2 ;

2) y 2 x, x 4 , y 0 ;

x/4 y/2 1 y x 2

x 4

2 x y 2 x

2 x 4

3)

,

,

; 4)

,

.

3.10. Найти точку пересечения двух прямых

3x 4y 2902x 5y 190

,

3.11. Стороны

треугольника

ABC заданы уравнениями:

AB :

4x 3y 5 0

,

BC:

x 3y 100 AC

x 2 0

, :

. Определить координаты его вершин.

3.14. Даны середины сторон треугольника

M

2;1

M

5;3

M 3; 4

1

,

2

,

3

.

3.17. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

5x 2y 7 0

,

5x 2y 360

и уравнение одной из его диагоналей

3x 7y 100

.

3.18. Даны уравнения двух

сторон

прямоугольника

2x 3y 5 0

,

3x 2y 7 0и одна из его вершин A 2; 3 . Составить уравнения двух

других сторон этого прямоугольника и его диагоналей.

3.19. Найти проекцию точки

M 6;4

на прямую

4x 5y 3 0

.

3.20. Найти координаты точки

Q ,

симметричной точке

P 5;13

относительно прямой

2x 3y 3 0

.

3.23. Найти точку

M

1

, симметричную точке

M 5;3

относительно прямой,

2

проходящей через точки

A 3; 4 и B 1; 2 .

1)

3x y 5 0 x 3y 1 0

2)

3x 4y 1 0 4x 3y 7 0

,

;

,

;

3)

6x 15y 7 0 10x 4y 3 0

4)

9x 12y 5 0 8x 6y 130

,

;

,

.

3.25.

Определить, при каких значениях a и b две прямые

ax2y 1 0 и

6x 4y b 0

:

1) имеют одну общую точку;

2) параллельны;

3) совпадают.

3.26. Определить, при каком значении

a

три прямые

2x y 3 0 x y 3 0

,

,

axy 130будут пересекаться в одной точке.

3.27. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой

3x 4y 120

от

координатного угла.

3.28.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P 8; 6

и

отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

3.29.

Точка A 2; 5 является вершиной квадрата, одна из сторон которого

лежит на прямой

x 2y 7 0

. Вычислить площадь этого квадрата.

3.31. Доказать,

что прямая

2x y 3 0

пересекает отрезок, ограниченный

точками

M 5;1 M

3;7

1

,

2 .

3.32. Доказать, что прямая

2x 3y 6 0

не пересекает отрезок, ограниченный

точками

M 2; 3

M 1; 2

1

,

2 .

3.33. Вычислить расстояние

d между параллельными прямыми в каждом из

следующих случаев:

1)

3x 4y 100 6x 8y 5 0 5x 12y 260 5x 12y 130

,

; 2)

,

;

3)

4x 3y 150 8x 6y 250 24x 10y 39012x 5y 260

,

; 4)

,

.

3.34. Доказать, что прямая

5x 2y 1 0

5x 2y 7 0

параллельна прямым

и

5x 2y 9 0и делит расстояние между ними пополам.

3.35. Составить

уравнение прямой,

проходящей через точку пересечения

прямых

3x 2y 5 0 4x 3y 1 0

и отсекающей на оси ординат

,

отрезок b 3.

3.36. Составить

уравнение

прямой, которая проходит через точку

пересечения прямых

2x y 2 0 x 5y 230

,

и делит пополам отрезок,

ограниченный точками M 5; 6 и

N 1; 4 .

2x 3y 5z 70 4x 3y z 0

2x 3z 6

2y 3z 12

1)

;

2)

; 3)

;

; 4)

2y 3x 4

2x 5z 0

3x 2y 0

y z 0

2z 7 0

5)

;

6)

; 8)

;

9)

;

; 7)

10) 3y 5 0;

11) 3x 6 0; 12)

2z 0; 13)

3y 0 ;

14)

x 0 .

3.41.

Составить

уравнение

плоскости, которая

проходит через точки

M 1;4; 1

M 13;2; 10

осях абсцисс и аппликат

1

,

2

и отсекает на

3)

x 3z 2 0

и

2x 6z 7 0

.

3.50.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M2; 1;3 и

N 3;1;2

параллельно вектору

a 3; 1;4

.

3.51.

Написать

уравнение плоскости, проходящей через точку 0;0; 2 и

перпендикулярной к плоскостям

x y z 0 и

2 y x .

3.52. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

M 3; 1;2

M 4; 1; 1

M 2;0;2

1

,

2

и

3

.

2)

2x 3y z 30 x y z 5 0

,

;

2x 5y z 0

x 2z 3 0

3)

,

;

4)

x y z 1

2x 3y z 7 0

,

.

координат перпендикулярно

к двум плоскостям:

2x y 3z 1 0 и

x 2y z 0

.

3.55. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M2; 1;1

перпендикулярно плоскости

2x z 1 0 и

параллельно вектору

b 1; 2;1

.

1)

точки

M 0;1;3

и

M 2;4;5

параллельно оси x;

1

2

1)

точки

M 3;1;0

и

M 1;3;0

параллельно оси z;

1

2

2)

точки

M 3;0;3

и

M 5;0;0

параллельно оси y.

1

2

1) через точку

M2; 3;3

параллельно плоскости xy;

2)через точку N1; 2;4

параллельно плоскости xz;

3) через точку

P 5;2; 1 параллельно плоскостиyz.

3.60. Вычислить расстояние d

от

точки M

от плоскости в

каждом из

следующих случаев:

1)

M 2; 4;3 2x y 2z 3 0

2)

M2; 1; 1

16x12y 15z 0

,

;

,

;

3) M1;2; 3,

5y 4 0;

4) M3; 6;7 ,

4x 3z 1 0.

3.61. Вычислить расстояние d

от точки

P 1;1; 2 до плоскости,

проходящей через три точки:

M1; 1;1

M 2;1;3

M4; 5; 2

1

,

2

,

3

.

2)

2x3y 6z 140 4x6y12z 210

и

.

3.63. На оси y найти точку, отстоящую от плоскости

x 2y 2z 2 0

на

расстояние d 4 .

3.64. На оси z найти точку, равноудаленную от точки

M1; 2;0 и от

плоскости

3x 2y 6z 90

.

65. На оси x найти

точку,

равноудаленную

от двух

плоскостей:

12x16y15z10 2x 2y z 1 0

,

.

§3. Прямая в пространстве

y 3

y 2

x 4

3.66. Построить прямые: 1)

;

2)

;

3)

. Определить их

z

3

z x 1

z

y

направляющие векторы.

3.67. Написать уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

A4;3;0

параллельно вектору

u 1;1;1

.

x z 5

x3 y2 z 3

3.68. Построить прямые

и

и указать их

y 4 2z

1 2 1

x1 y 2 z 1

1) вектору

a 2; 3;5

прямой

; 3) оси x;

; 2)

5 2 1

2x 5y z 30

x 3t 1

4) оси y; 5) прямой

;

6) прямой y 2t 3.

x 2y z 20

z 5t 2

1)

1; 2;1 и

3;1; 1 ;

2) 3; 1;0 и

1;0; 3 ;

3)

2; 1; 3 и

2; 15 ;

4) 4;4;4 и

4;4; 2.

1) 3; 1;2

и

2;1;1 ;

2) 1;1; 2 и

3; 1;0 ;

3)(2; −1; −3)

и

(2; −1; 5);

4) 2; 1; 1 и

2;1;1 .

27

3.72. Написать уравнения траектории точки

M x; y;z , которая,

выйдя из

точки

A4; 3;1

, движется со скоростью = (2, 3, 1).

3.73.

Через точки

M 6;6;5

и

M 12;6;1

проведена

прямая.

1

2

3x y 2z 70

M2;3; 5 параллельно прямой

.

x 3y 2z 30

3.77. Написать уравнения прямой, проходящей

через точку

M1;4; 1

x y 2

параллельно прямой

.

x 2y 3z 40

x 0

y 3 0

1)

;

2)

;

3)

.

3x 2y5z 40

3y 2z 1 0

z 1 0

2x 3y z 40

x 2y z 6 0

1)

;

2)

.

3x 5y 2z 10

2x y z 10

x 2 y 1 z

x y z 0

1)

и

;

3

2 1

x y 5z 8 0

x y 3z 0

x 2y 5z 10

2)

и

;

x y z 0

x 2y 3z 90

x 2t 5

x 3y z 2 0

3) y t 2 и

.

x y 3z 2 0

7

z t