Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9916

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

12.36.				12.37.
y				y
		.		.
		.		.
		.		.
x .	x .
		.		.
12.38.				12.39.
		Y				y
		.		.
		.		.
		.		.
		.		.
x .	x .
		.		.
12.40.				12.41.
yy
		.		.
		.		.
x .x .		.		.
		.		.

12.42.				12.43.
yy
		.		.
		.			.
		.			.
		.			.
x.x .
		.		.
		.		.
В задачах 12.44 – 12.75изменить порядок интегрирования.
3		3 x	0	x 1		0	0	x , y dx .
12.44. dx		f x, y dy .12.45.	dx	f x, y dy .12.46.		dy	f	x , y dx .
0		0	1	0		1	y 1

0	2 y 2		5	25 y 2
12.47. dy	f	x, y dx .12.48.	dy	f x, y dx . 12.49.
1	0		0	0

2	4
dx f x, y dy .
2	x 2

100

						π
							cos x
1	x		1	y	2		cos x
12.50. dx		f x, y dy .12.51.	dy		f x, y dx .12.52. dx		f x, y dy .
0	x 2		0	y	0		0

2	y 2		2
12.53. dy		f x , y dx .12.54. dy
0	0		0
0	3 y 3		x, y dx .12.57.
12.56.	dy	f	x, y dx .12.57.
1	2 y 2

4	f x , y dx .		1	2 2x
	f x , y dx .		12.55. dx	f
y 2			0	2x 2
1		2 x
	dx	f x, y dy .12.58.
2		x 2

x, y dy .

1 1 x

f x, y dy .

x 2

	2	cos x	2	2 x
12.59. dx		f x, y dy .12.60.	dx		f		x , y dy .
0		1 x	6	x	2	1
				x
				4
				4

1	1 x	f x ,
dx		f x ,
0
0	1 x		2
	1 x

2 x

12.65.dx

11 x

4	25 y2
y dy .12.63. dy		f x ,		y dx .12.64.
0	0
f x, y dy . 12.66.	1		2 y
f x, y dy . 12.66.	dy f ( x, y)dx .
	2		y 2

	1					1 x 2
12.61. dx						f x, y dy 12.62.
	0			1	x 1 2
				2	x 1 2
				2
2		2 y
dy		f x, y dx .
6	1	y 2	1
	4	y 2	1
	4

			0	2 1 y 2
12.67.			dy			f ( x, y)dx .
			1				y

	4			25 x 2			2		2 y				1		2 y y 2
12.68.	dx				f ( x, y)dy .12.69.		dy			f ( x, y)dx .12.70.			2dy			f ( x, y)dx .
	0				3		0			4 y	2		0	1		1 y		2
					4 x
	1	1 x					3		25 y 2				1		2 x				x, y dy .
12.71.	dx f (x, y)dy .12.72.						dy			f ( x, y)dx .12.73.			dx			f			x, y dy .
										4			2			x	2
	0		x 1				0			3							2

											1 y
	3			4 x				1			1 y
12.74.	dx			f ( x, y)dy .		12.75.		dy				f (x, y)dx .
	0		0					0				y 2

В задачах 12.76–12.77, изменив порядок интегрирования, записать данное выражение ввиде одного повторного интеграла.

1	x	2	2 x
12.76. dx		f x, y dy + dx	f x, y dy .
0	0	1	0

			3 x
	x 2	3
1	x 2	3	2
12.77. dx		f x, y dy + dx	f x, y dy .
0	0	1	0

§2. Вычисление кратных интегралов

В задачах 12.78 – 12.95 вычислить повторные интегралы.

101

4		2	4	x2	2	2 x
12.78. dx			x 2 ydy . 12.79. dx x y dy .12.80.		dx	x 2 dy .
1	0		0	0	2	0

3	9 x2
12.81. dx	x y dy .12.82.

1y 3

12.84.dy xy2dx . 12.85.

1	2 y2 1		1 y 2 dx .12.83.
dy
0		y2
2	2 y	x 2	y 2 dx .12.86.
dy
0	0

3	5	x 2 y dx .
dy
3	y2 4

0,5			y
	dy 4xy x dx 12.87.
0		y

x2 1

2 y

dx .12.88.

xe y dy .12.89. dy sin 2x 3y dx .

1 4 x2

ln 4

12.90. dx

xe3 y dy .12.91.

dy 4 ye2xy dx .12.92. dy 2 y 2e xy dx .

ln 3 0,5

π xy

12.93. dy 4 y 3 sin xy 2 dx .12.94. dy y

2 cos

dx .12.95. dy y cos xy dx .

2 y

В задачах 12.96–12.115

вычислить двойной интеграл

f x , y dxdy по

заданной

области

в прямоугольных

координатах, рационально

выбрав

порядок интегрирования.

у x 2 ,

12.96.

xdxdy , где

D :

12.97. xydxdy ,где D :

x y 2.

y x.

y 2,

y 2

x 0,

12.98.

dxdy ,где

D : xy

12.99. cos y

dxdy ,где D :

x y,

D x

y 0,

y 12x,

dxdy

12.100. e

dxdy , где D : x

12.101.

где

D :

102

		y 0,
				12.103. x 2 y dxdy , где D :
12.102.	(x y)dxdy ,где D : x 0,			12.103. x 2 y dxdy , где D :
	D			D
	D		x 4.	D
		y	x 4.

y x2 ,				12.104. xydxdy ,
				12.104. xydxdy ,
y		x.		D

y x,
				12.106. ydxdy , где
x 2,				12.106. ydxdy , где
	1			D
y			.
y			.
	x

		y x,				x 2
		x 0,				x 2
где	D :				12.105.			dxdy , где D :
где	D :				12.105.	y	2	dxdy , где D :
			2	.	D	y
	y 2 x			.
x2	y2	4,
D :
x y 2.

y x3

y cos xy dxdy , где

12.107.

15 y 2 dxdy ,где D : x 1,

12.108.

D :

y 3 x.

0 x 1,

x 2

4 y 2 dxdy ,где

D : y x

12.109.

0 y

x y 2 .

x2 y2 4,

12.111. sin y

dxdy , где

2x,

12.110.

xdxdy , где

D :

D : x

y x 2.

x 0,

y e,

12.112. x sin xy dxdy , где

12.113.

ex dxdy ,

где

D :

y e x .

x 2 y 2 4,

y x,

12.114. ydxdy , где

12.115. (x y)dxdy , где

D :

D : x 1,

x y 2.

2x y

В задачах 12.116 –12.137вычислить двойные интегралы f x , y dxdy по

заданной области D ,перейдя к полярным координатам.

103

x 2

y 2

12.116.

dxdy ,

где

D :

x 2

y 2

12.117.

dxdy ,

где

D :

x 2

y 2

12.118.

dxdy ,

где

D :

0, y 0.

x 2

y 2

12.119.

dxdy ,

где

D :

0, y 0.

y x,

12.120.

y 2 dxdy ,

где

D : y x,

1 y

y 1,

где

x 0,

12.121. x2 y 2

2 dxdy ,

2 y.

x 2

y 2

3y,

12.122.

dxdy ,

где

D :

y 2

D : x 2 y 2 π 2 .

12.123.

dxdy

где

dxdy

x 2

y 2

12.124.

где

D: x 2

y 2

D x

x y x.

ln x 2

y 2 dxdy

x 2

y 2

12.125.

где D:

12.126.

4 x dxdy ,

где

D : x2 y 2

4x .

y 0,

dxdy

12.127.

где

D: x 0,

D 1

x2 y 2

104

x 2 y 2 3x,

12.128.

dxdy ,

где

12.129. x2

где D : x2 y 2 2x 0 .

y 2

2 dxdy ,

12.130. x2

y 2 dxdy ,

гдеD: x 2

y 2 2x,

y 0,

12.131.

1 x

dxdy ,

где D: x 0,

12.132.

R2 x2 y 2 dxdy ,

где

D : x2

y 2

Rx .

12.133. x2

D: x

y 2

2 dxdy ,

где

2x,

x 1.

y x,

dxdy

D 1 x 2 y 2

12.134.

где

D: y

1 y 2 .

y 1,

12.135.

dxdy , где D:

x 0,

2 y.

ydxdy

1 x 2 y 2

12.136.

,где D:

0 y x.

y 2

x2 y2 π2 ,

12.137.

dxdy . где

0 y

§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей

иобъёмов фигур

Взадачах 12.138 – 12.151вычислить площади фигур, ограниченных кривыми.

105

12.138.

xy 4,

x y 5 0 . 12.139. x 4 y y 2 ,

x y 6 .

y 4 x 1 2 , x 0 . 12.141. x 4,

12.140.

x , y 2 x .

12.142.

xy 1,

x y ,

x 2 . 12.143. y x2 ,4 y x2 , y 4 .

12.144.

xy 1,

x 4,

y 2 . 12.145. x y 1, y 2

x 1 .

12.146.

4x y 2

4, 16x y 2 64 . 12.147. x y 2

2 y ,

x y 0 .

12.148. 2 y x2 , y 0, xy 4, x 4 . 12.149. x y 2 , y 2 x , y 2, y 2 . 12.150. y sin x, y cos x, x 0, x 0 . 12.151. y 2x, x y 2 0, y 0 .

В задачах 12.152 – 12.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).


12.152. x2 y 2 x, x2 y 2 2x, ( y 0) . 12.153.					x 2 y 2
12.152. x2 y 2 x, x2 y 2 2x, ( y 0) . 12.153.					x 2 y 2	3x ,
x 2 y 2 3y . 12.154. x2 y 2 3y, y					12.155. x 2 y 2
x 2 y 2 3y . 12.154. x2 y 2 3y, y			3x, x 0 .		12.155. x 2 y 2		4x ,
						2 1 cos .
( y x) . 12.156. x 0, x		4 y y 2 , y 2 .		12.157.		2 1 cos .
12.158. 2 1 cos ,	2 cos .

12.159. Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью 2 из кардиоиды

2 1 sin и расположенную вне круга.

Взадачах 12.160 – 12.172 вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями.

12.160. x y 2z 4 , x 0 ,

y 0 ,

z 0.

12.161. z x2 3y 2 ,

x y 1 , x 0 ,

y 0 ,

z 0.

12.162.

z 4 x2 ,

y 0 ,

y 5 ,

z 0 .

12.163.

z y 2

, x y 2

, x 0 ,

y 0 ,

z 0.

12.164.

z 0 ,

x z 6 ,

x ,

y 2 x .

12.165.

z 9 y 2 , x 2 y 6

x 0 , y 0 , z 0 .

11.166.

x 2

, 2x y 6 0 ,

x 0 ,

y 0 ,

z 0

z 2

106

12.167.	z x2		y 2 2,	x y 3 , x 0 ,		y 0 ,	z 0 , x 3 , y 3.
12.168.	z x2		y 2 1 ,	y 6 x , z 0 , y 1 , y 2x .
12.169.	z	x3	, x2 y 2 9 , x 0 , z 0

	3
12.170. x2 y2			16 , y 0 ,		z y , z 0.
12.171.	x y z 4, x2 y 2				4 , z 0 .
12.172.	x y z 10 ,			2x y 4 , x 2y 8 , z 0 .

§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин

12.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми:						x 1,	x 2 ,
	x	y	1,	y 0 , если плотность	x, y в каждой	точкеравна квадрату
2		3

абсциссы, умноженному на ординату этой точки.

12.174.	Найти массу однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями:
y x2 ,	y 3x2 ,	y 3x .
	Найти массу пластины, ограниченной кривыми y x2
12.175.	Найти массу пластины, ограниченной кривыми y x2		, y x , если

плотность еёρ в каждой точке x , y равна x , y x 2 y .

12.176. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её x, y в каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности.

12.177.	Найти координаты		центра тяжести		однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: y x2			1,	y 2 .
12.178.	Найти координаты		центра тяжести		однородной	пластинки (ρ 1) ,

ограниченной линиями: y		4 x , y 0 , (x 0) .
12.179.Найти координаты центра тяжести					однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: y x2			, y x 2 , y 0 .
12.180.Найти координаты центра тяжести					однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: x y 2 , 4x y 2 , x 4 ,					y 0 .
12.181.Найти координаты центра тяжести					однородной	пластинки (ρ 1) ,
ограниченной линиями: y 2x2 , y 4x2 , x 4 .
				107

12.182.Найти статический					момент относительно		оси		ОХ однородной
пластинки (ρ 1) ,		ограниченной линиями: xy 4 , xy 1 , x 2 , x 4 .
12.183. Найти статические моменты относительно осей координат меньшей
части эллипса	x2		y 2		,отсекаемой прямой	x	y		1 .
				1				1
	4		9			2	3

12.184. Вычислить моменты инерции относительно осей координат однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной прямыми: y 2 x , y 1, x 2 .


12.185.	Найти момент инерции однородной пластинки (ρ 1) относительно оси
OX , ограниченной линиями: y2 x ,		y2 4x ,	y 1,		y 3 .
12.186.Найти момент инерции относительно оси				ОУ	однородной пластинки
(ρ 1) , ограниченной линиями: y2 x ,		y2 4x ,	y 1,		y 3 .
12.187.	Найти момент инерции относительно оси			ОХ однородной пластинки
(ρ 1) ,	ограниченной линиями: x2 4 y , y 0 .

Глава 13

РЯДЫ

§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость

Взадачах 13.1 - 13.20 написать общий член ряда.

13.1.23 + 45 + 67 + … . 13.2. 23 + 49 + 276 + … . 13.3. 2 + 2!4 + 3!6 + … .

13.4.

+ … . 13.5. 1 +

1∙2

1∙2∙3

+ … .

1∙3

1∙3∙5

3∙5

5∙7

1∙3

13.6.

+ … .13.7.

1 −

− … .13.8. .1 −

− …

2∙4

2∙4∙6

√2

√3

13.9.

1 – 1 + 1 – … .

12.10. 1 −

− … . 13.11.−

−

+ … . 13.12.

125

−

+ … . 13.13. (

) + (

) + ….

ln2

ln3

ln4

13.14. 1 + +

+ … .

13.15. −

−

+ … .

13.16.

1 −

−

++… . 13.17.

+ … .

13.18.

+ 2 +

+ 3

2+4

3+9

….13.19.

1 − 32 + 52 2 − 72 3

+ . 13.20. ( + 1) +

( +1)2

( +1)3

+ … .

3∙42

2∙4

В задачах 13.21 - 13.26 выписать три первых члена ряда.

108

	3n 1					2n 1
13.21.			.	13.23.				.
	3				3
n 1		n		n 1			n3 1

	xn			x 2 n		x 2 n 1
13.24.		.	13.25.		. 13.26.			.

n 1 n2			n 0	n!	n 1		n

В задачах 13.27 - 13.34написать формулу частичной суммы S n , и вычислить её предел при n .Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

13.27.		1		+					1				+							1			+ … 13.28.				1				+						1				+				1	+ … 13.29.							1			+			1		+		1		+ + ….
13.27.				+				2∙3					+						3∙4				+ … 13.28.				1∙3				+						3∙5				+				5∙7	+ … 13.29.						1∙4				+					+				+ + ….
	1∙2							2∙3											3∙4								1∙3										3∙5								5∙7							1∙4							4∙7				7∙10
13.30.		1+			1				+					1				+				1	+ … . 13.2.			2	+					4			+				6			+ … . 13.3. 2 +									4			+				6	+ … .
13.30.		1+			2				+				4					+				8	+ … . 13.2.		3		+				9				+				27			+ … . 13.3. 2 +								2!				+			3!		+ … .
					2								4									8			3						9								27											2!							3!
13.31.		1 −							1			+				1				−			1	+ … . 13.32.									3n 2n													. 13.33.				2							1			.

																																									6n
									3 9 27																						n 1										6n						n 1			3					2n 1
																			1
																			1
13.34.			ln 1																			.
13.34.			ln 1																n			.
		n 1																	n
В задачах 13.35 - 13.45 проверить, выполняется ли необходимое условие
сходимости ряда.
																																																												3
		1	+			3					+						5				+ …. 13.36.1 +						1				+					1			+					1		+ .13.37.													n
13.35.		1				3											5										1									1								1															n			.
13.35.		2				2											3										2									2								2																		.
		2			2											2											4				7												10								n 1 3n								3	2
																																																			n 1 3n									2
							3								4															n																		n	4
13.38. 2 +							3			+					4			+ … . 13.39.												n										.				13.40.				n								.
13.38. 2 +					2					+								+ … . 13.39.																						.				13.40.									4			.
					2								3															n2 1																									4
																								n 1				n2 1																		n 1 2n 1
												n	2																							n																				2n 1
13.41.												n								.				13.42.												n							.			13.43.										2n 1								.
13.41.																				.				13.42.																			.			13.43.																		.
			n 1 n2															1							n 1 3 n9 1																						n 1 n n									1 n 4
																																																					2				n
					2!											3!													√2									√3																			n

13.44.1 +												+									+ …. 13.44. +													+									+ … . 13.45.																	.
13.44.1 +												+									+ …. 13.44. +													+									+ … . 13.45.																	.
		22														33													√2											√3								n 1n 1

§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов

В задачах 13.46 - 13.61 исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения (при необходимости использовать эквивалентность

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.49 Mб09911.pdf
#
25.11.20233.49 Mб09912.pdf
#
25.11.20233.49 Mб09913.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09914.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09915.pdf
#
25.11.20233.5 Mб19916.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09917.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09918.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09919.pdf
#
21.11.2023168.07 Кб1992.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09920.pdf