9904
.pdf10
газов. До этого они были получены экспериментальным путем.
Так, если температура газа не изменяется (Т = const), то давление газа и его удельный объем связаны следующей зависимостью (закон Бойля-
Мариотта);
(9)
Если давление газа остается постоянным (р = const), то соотношение между удельным объемом газа и его абсолютной температурой подчиняется за-
кону Гей-Люссака;
|
v |
|
const |
(10) |
||||
T |
||||||||
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
||||
ρT const. |
(11) |
|||||||
Для газов, взятых при одинаковых температурах и давлениях, имеет ме- |
||||||||
сто следующая зависимость, полученная на основе закона Авогадро: |
|
|||||||
|
|
μ |
const, |
(12) |
||||
|
|
ρ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где μ – молекулярная масса газа. |
|
|
|
|
||||
Так как |
|
|
|
|
||||
|
|
ρ |
1 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v |
|
||
то |
|
|
|
|
||||
|
μv const. |
(13) |
Величина μv представляет собой объем килограмм-молекулы или кило-
моля (кмоль) газа.
Так как в 1 м3 газа могут содержаться, в зависимости от параметров его состояния, разные количества газа, принято относить 1 м3 газа к так называе-
мым нормальным условиям, при которых рабочее вещество находится под дав-
лением р = 101325 Па и Т = 273,15 К (760 мм рт. ст. и 0 °С).
Объем 1 кмоля всех идеальных газов равен 22,4136 м3/кмоль при нор-
мальных условиях.
11
Плотность газа при нормальных условиях определяется из равенства
ρ μ , кг/ м3 . (14)
н |
22, 4 |
|
Пользуясь этой формулой, можно найти удельный объем любого газа при нормальных условиях:
v |
22,4 |
, м3 / кг. |
(15) |
н μ
Характеристическое уравнение идеального газа или уравнение состояния связывает между собой основные параметры состояния – давление, объем и температуру – и может быть представлено следующими уравнениями:
pV MRT ; |
(16) |
pv RT; |
(17) |
pVμ μRT , |
(18) |
где p – давление газа в Па; V – объем газа в м3; М – масса газа в кг; v – удельный объем газа в м3/кг; Vμ – объем 1 кмоля газа в м3/кмоль; R – газовая постоянная для 1 кг газа в Дж/(кг∙К); μR – универсальная газовая постоянная 1 кмоля газа в Дж/(кмоль∙К).
Каждое из этих уравнений отличается от другого тем, что относится к различным массам газа: первое – к Мкг; второе – к 1 кг, третье – к 1 кмолю газа.
Численное значение универсальной газовой постоянной легко получить из уравнения (18) при подстановке значений входящих в него величин при
нормальных условиях:
μR |
pVμ |
|
101325 22, 4136 |
8314 |
Дж/ (кмоль К). |
|
T |
273,15 |
|||||
|
|
|
|
Газовую постоянную, отнесенную к 1 кг газа, определяют из уравнения:
R |
8314 |
, Дж/ (кг К), |
(19) |
|
μ |
||||
|
|
|
где μ – масса 1 кмоля газа в кг (численно равная молекулярной массе газа).
Пользуясь характеристическим уравнением для двух различных состоя-
ний какого-либо газа, можно получить выражение для определения любого па-
12
раметра при переходе от одного состояния к другому, если значения остальных параметров известны:
p1v1 |
|
|
p2v2 |
; |
(20) |
||
|
|
||||||
T1 |
T2 |
|
|||||
p1V1 |
|
|
p2V2 |
. |
(21) |
||
|
|
|
|||||
T1 |
T2 |
|
Уравнение (21) часто применяют для «приведения объема к нормальным условиям», т. е. для определения объема, занимаемого газом, при р = 101325Па и Т = 273,15 К (р = 760 мм рт. ст. и t = 0 °С), если объем его при каких-либо значениях p и t известен. Для этого случая уравнение (21) обычно представляют в виде
pV |
|
pнVн |
. |
(22) |
|
|
|||
T |
|
Tн |
|
В правой части уравнения все величины взяты при нормальных условиях,
в левой – при произвольных значениях давления и температуры.
Уравнение (20) можно переписать следующим образом:
p1 p2 ,
ρ1T1 ρ2T2
следовательно,
ρ |
|
ρ |
p2 |
|
T1 |
. |
(23) |
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
p |
|
T |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Уравнение (23) позволяет найти плотность газа при любых условиях, если значение его для определенных условий известно.
13
Задача
Найти массу 5 м3 водорода, 5 м3 кислорода и 5 м3 углекислоты при давле-
нии 0,6 МПа и температуре 100 °С.
Решение
Воспользуемся характеристическим уравнением для произвольного коли-
чества газа
pV MRT .
Следовательно,
|
|
M |
pV |
|
0,6 106 5 |
|
8042,8 |
. |
|
|
|
|
RT |
R 373 |
R |
|
|||
Значения газовых постоянных принимаем из справочной литературы |
|||||||||
RН2 4124 |
Дж/ (кг К); |
RO2 259,8 |
Дж/ (кг К); |
RCO2 188,9 |
Дж/ (кг К). |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MH2 8042,84124 1,95 кг;
MO2 8042,8259,8 30,9 кг;
8042,8
MCO2 188,9 42,6 кг.
14
3. ГАЗОВЫЕ СМЕСИ
Состав газовой смеси определяется количеством каждого из газов, вхо-
дящих в смесь, и может быть задан массовыми или объемными долями.
Массовая доля определяется отношением массы отдельного газа, входя-
щего в смесь, к массе всей смеси:
m1 MM1 , m2 MM2 , m3 MM3 , …, mn MMn ,
где М1, М 2, М3, …, Мп – массы отдельных газов и М – масса всей смеси.
Объемной долей газа называют отношение объема каждого компонента,
входящего в смесь, к объему всей газовой смеси при условии, что объем каждо-
го компонента отнесен к давлению и температуре смеси (приведенный объем):
r1 VV1 , r2 VV2 , r3 VV3 , …, rn VVn ,
где V1, V2, V3, …, Vn – приведенные объемы компонентов газов, входящих в смесь; V – общий объем газовой смеси.
Очевидно, что
M1 M 2 M3 ... M n M ; m1 m2 m3 ... mn 1,
а также
V1 V2 V3 ... Vn V ; r1 r2 r3 ... rn 1.
Для перевода массовых долей в объемные пользуются формулой
mi
r |
|
μi |
. |
(24) |
||
|
|
|||||
i |
n |
|
m |
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
μi |
|
||||
|
1 |
|
|
Объемные доли переводят в массовые по формуле
m |
riμi |
. |
(25) |
|
|||
i |
n |
|
|
|
riμi |
|
|
|
1 |
|
|
15
Плотность смеси определяют из выражения
ρ |
см |
rρ |
, кг/ м3 |
(26) |
|
i i |
|
|
или, если известен массовый состав, по формуле
ρсм |
1 |
|
, кг/ м3 . |
(27) |
|
|
|
|
|||
n |
m |
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
ρi |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Удельный объем смеси представляет величину, обратную ρсм, поэтому,
если дан объемный состав смеси, то
v |
1 |
, м3 |
/ кг. |
(28) |
|
|
|||||
n |
|||||
см |
|
|
|
||
|
r i ρi |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Если же известен массовый состав, то
|
n |
m |
|
|
v |
|
i |
, м3 / кг. |
(29) |
|
||||
cм |
1 |
ρi |
|
|
|
|
Из уравнения (26) легко получить значение так называемой кажущейся молекулярной массы газовой смеси
n |
|
μсм riμi |
(30) |
1 |
|
или через массовый состав |
|
μсм |
1 |
. |
(31) |
|
|||
n |
|||
|
r i μi |
|
|
|
1 |
|
|
Газовую постоянную смеси газов (Rcм) можно выразить или через газовые постоянные отдельных компонентов, входящих в смесь, или через кажущуюся молекулярную массу смеси
n |
|
Rсм mi Ri , Дж/ (кг К) |
(32) |
1 |
|
или |
|
R |
|
8314 |
|
8314 |
, Дж/ (кг К). |
(33) |
|
n |
|||||
см |
|
μсм |
|
|
||
|
|
riμi |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
16
Связь между давлением газовой смеси и парциальными давлениями от-
дельных компонентов, входящих в смесь, устанавливается следующей зависи-
мостью (закон Дальтона), легко получаемой из основного уравнения кинетиче-
ской теории газов:
p p1 p2 p3 ... pn , |
(34) |
где р – общее давление газовой смеси; p1, p2, …, рn – парциальные давления от-
дельных компонентов, входящих в смесь.
Парциальные давления определяются проще всего, если известны объем-
ные доли отдельных компонентов, входящих в смесь; |
|
p1 pr1, p2 pr2 , ..., pi pri , |
(35) |
где рi – парциальное давление любого газа, входящего в смесь.
Если известны массовые доли, то парциальное давление любого газа,
входящего в смесь
pi mi Ri p.
Rсм
Задача
Атмосферный воздух имеет примерно следующий массовый состав: mO2 23,2 %; mN2 76,8 %.
Определить объемный состав воздуха, его газовую постоянную, кажущу-
юся молекулярную массу и парциальные давления кислорода и азота, если дав-
ление воздуха по барометру В = 101325 Па.
Решение
По уравнению (24) получаем
|
|
|
|
|
mO2 |
|
|
|
|
|
23, 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
μO2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rO2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
0, 21; |
|||||
|
mO |
|
|
|
mN |
|
|
|
23, 2 |
76,8 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
28,02 |
|
|
||||||
|
|
|
μO |
2 |
μN |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
mN2 |
|
|
|
76,8 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
μN2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rN2 |
|
|
|
|
|
|
|
28,02 |
|
|
0,79. |
|
||||||||
|
mO |
|
|
|
mN |
|
|
23, 2 |
|
76,8 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
32 |
|
|
28,02 |
|
|
|
|||||
|
|
|
μO |
|
μN |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Газовую постоянную воздуха находим по уравнению (32) |
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rсм mi Ri mO2 RO2 mN2 RN2 |
|
0, 232 260 0,768 295 287 |
Дж/ (кг К). |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кажущуюся молекулярную массу смеси определяем из уравнения (30)
n |
|
|
|
μсм riμi rO2 |
μO2 |
rN2 μN2 |
0, 21 32 0,79 28,02 28,9 |
1 |
|
|
|
или из уравнения (33)
8314
Rсм μсм .
Отсюда
8314 8314
μсм Rсм 287 28,9.
Парциальные давления получим из уравнения (35) pi ri p,
следовательно,
pO2 rO2 p 0,21 101325 21278,5 Па; pN2 rN2 p 0,79 101325 80047 Па.
18
4. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ
Теплоемкостью называют количество теплоты, которое необходимо со-
общить телу (газу), чтобы повысить температуру какой-либо количественной
единицы на 1 °С.
За единицу количества энергии в системе СИ применяют джоуль (Дж). В
системе СИ джоуль является универсальной единицей, применяемой для изме-
рения всех видов энергии: тепловой, механической, лучистой и пр. В качестве тепловой единицы 1 Дж представляет собой такое ее количество, которое появ-
ляется в результате превращения механической работы 1 Дж в теплоту. В каче-
стве единицы механической энергии джоуль представляет собой работу, со-
вершаемую силой, равной 1 ньютону при перемещении ею тела на расстояние
1 м в направлении действия силы (1 Дж = Н∙м = 1 кг∙м2/с2).
В зависимости от выбранной количественной единицы вещества разли-
чают мольную теплоемкость μс – кДж/(кмоль∙К), массовую теплоемкость
с – кДж/(кг∙К) и объемную теплоемкость с' – кДж/(м3∙К).
Как было указано выше, 1 м3 газа в зависимости от параметров его состо-
яния имеет разные массы. В связи с этим объемную теплоемкость всегда отно-
сят к массе газа, заключенной в 1 м3 его при нормальных условиях
рн = 101325 Па (760 мм рт. ст.) и Тн= 273 К (tн= 0 °С).
Для определения значений перечисленных выше теплоемкостей доста-
точно знать величину одной какой-либо из них. Удобнее всего иметь величину
мольной теплоемкости. Тогда массовая теплоемкость |
|
|||||
c |
|
μc |
, |
|
(36) |
|
|
|
|||||
|
|
μ |
|
|||
а объемная теплоемкость |
|
|
|
|
|
|
c |
|
μc |
. |
(37) |
||
22, 4 |
||||||
|
|
|
19
Объемная и массовая теплоемкости связаны между собой зависимостью c cρн ,
где ρн – плотность газа при нормальных условиях.
Теплоемкость газа зависит от его температуры. По этому признаку разли-
чают среднюю и истинную теплоемкость.
Если q – количество теплоты, сообщаемой единице количества газа (или отнимаемого от него) при изменении температуры газа от t1до t2 (или, что то же, от T1 до Т2), то
c |
|
q |
(38) |
|
|
||
m |
t2 |
t1 |
|
|
|
представляет собой среднюю теплоемкость в пределах t1 – t2. Предел этого от-
ношения, когда разность температур стремится к нулю, называют истинной теплоемкостью. Аналитически последняя определяется как
c dqdt .
Теплоемкость идеальных газов зависит не только от их температуры, но и от их атомности и характера процесса. Теплоемкость реальных газов зависит от их природных свойств, характера процесса, температуры и давления.
Для газов особо важное значение имеют следующие два случая нагрева-
ния (охлаждения):
1)изменение состояния при постоянном объеме;
2)изменение состояния при постоянном давлении.
Обоим этим случаям соответствуют различные значения теплоемкостей.
Таким образом, различают истинную и среднюю теплоемкости:
а) мольную – при постоянном объеме (μсv и μсvm) и постоянном давлении
(μср и μсрm);
б) массовую – при постоянном объеме (сv и сvm) и постоянном давлении
(ср и срт)
в) объемную – при постоянном объеме (с'v и с'vm) и постоянном давлении
(с'р и с'рт).