9869

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В.Бесклубная

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная

информатика,

направленность (профиль) Прикладная информатика в экономике

Нижний Новгород

2018

2

УДК 517.9

Бесклубная А.В. Математика [Электронный ресурс]: учеб. -метод. пос. /А.В.Бесклубная; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун-т.- Н. Новгород: ННГАСУ, 2018. – 202 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-R).

Содержит методические рекомендации по подготовке к лекциям и практическим занятиям по основным разделам дисциплины «Математика»

Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, направленность (профиль) Прикладная информатика в экономике.

© А.В. бесклубная, 2018 © ННГАСУ, 2018

3

ГЛАВА 1 § 1. Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Пример.

1

3.C – матрица – строка порядка 2 1.

2

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной.

1 2

Пример. D – квадратная матрица порядка 2 2.

3 4

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.

a2 3 6 –элемент матрицы A, находящийся во второй строке и в третьем столбце.

Заметим, что матрицу A порядка m n можно записать так:

A ai j , i 1, m; j 1, n .

4

Две матрицы порядка m n считаются равными, если все

i 1, m, j 1, n которой получен сложением соответствующих элементов

Произведением матрицы A порядка m n на матрицу B порядка

Решение.

c11 a11 b11 a12 b21 1 5 2 7 5 14 19

6

c12 a11 b12 a12 b22 1 6 2 8 6 16 22 c21 a21 b11 a22 b21 3 5 4 7 15 28 43 c22 a21 b12 a22 b22 3 6 4 8 18 32 50 .

Следует обратить внимание на тот факт, что:

1)произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;

2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и B не определено;

3)порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-

7

Решение. Элементы первой строки матрицы A запишем в первый столбец матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй

Определители

Определителем второго порядка квадратной матрицы называется

a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31

a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .

1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .

Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число,

вычисляемое по определенному правилу.

Системы линейных уравнений

Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:

Далее, по формулам Крамера, находим:

Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.

9

2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.

Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.

Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:

1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.

Далее, по формулам Крамера, находим: