9845

Б. А. Гордеев, Л. В. Филатов, Р. М. Айнбиндер

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ

Нижний Новгород

2018

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Б. А. Гордеев, Л. В. Филатов, Р. М. Айнбиндер

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ

Монография

Нижний Новгород ННГАСУ

2018

ББК 22.172 М 34 УДК 534.1

Рецензенты:

Д. В. Баландин – д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный ун-т им. Н. И. Лобачевского»

А. А. Хлыбов – д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой материаловедения, технологий материалов и термической обработки металлов ФГБОУ ВО «Нижегород ский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева»

Гордеев Б. А. Математические модели виброзащитных систем [Текст]: монография / Б. А. Гордеев, Л. В. Филатов, Р. М. Айнбиндер; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т. –

Н. Новгород: ННГАСУ, 2018. – 168 с. ISBN 978-5-528-00324-5

Создание эффективных средств защиты от вибраций и ударов является одной из важнейших проблем современной техники. Применение упругих амортизаторов является одним из наиболее распространенных способов виброзащиты. В настоящее время существует большое число конструктивных разновидностей виброзащитных устройств, предназначенных как для защиты приборов и оборудования, устанавливаемых на вибрирующих основаниях, так и для защиты оснований и фундаментов от динамических воздействий. Создание амортизирующих устройств, способных защитить объекты от вибраций и ударов и, вместе с тем, обладающих ограниченными размерами, является сложной технической проблемой. В связи с этим первостепенное значение приобретают вопросы теории и расчета адаптивных виброзащитных систем. Все материалы, используемые в данной монографии, получены в основном в Институте проблем машиностроения РАН.

Предназначается для студентов старших курсов общетехнических специальностей, магистрантов, аспирантов и научных работников, занимающихся исследованием и проектированием виброзащитных систем.

ББК 22.172

2.2. Присоединенные матрицы системы с двумя степенями свободы.................24

3.2.3.Метод состояния пространства………………………..................................34

3.2.4.Базовое рассогласование гармоник при нелинейном демпфировании…..36 ГЛАВА 4. ВОЛНОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ГАШЕНИЯ

5.1. Необходимость борьбы с вибрацией транспортных и стационарных энерге-

5.6. Эквивалентная схема интегральной виброопоры с разделением упругого

5.8. Применение теории четырехполюсников к расчету гидроопор……............67

8.3. Каноническое представление случайных процессов и их разложение..…133

8.5. Статистическая модель линейной системы по наблюдениям входных и

ВВЕДЕНИЕ

Одна из главных проблем современного градостроительства связана с разработкой эффективных методов и средств уменьшения уровней вибраций и шума, а также динамических нагрузок в элементах строительных конструкций.

Исследования в этом направлении носят главным образом конструктор- ско-экспериментальный характер. Они не подкреплены более глубокими теоретическими представлениями о характере динамических процессов в строительных конструкциях, не исследованы процессы возбуждения и распространения вибрационных токов по элементам строительных конструкций.

С позиций физической природы динамических процессов любую строительную конструкцию можно рассматривать как сложную колебательную систему, состоящую из панелей, балок, стержней, оболочек, на которую действуют различные источники колебаний - внешние и внутренние. От источников колебаний потоки вибраций растекаются по конструкции здания, отражаясь на стыках, неоднородностях, поглощаясь и излучаясь, создавая звуковые шумы, спектр которых расширяется при перекачке энергии на нелинейных элементах конструкции в область высоких частот. Наличие многократных переотражений создает условия для возникновения резонансов и концентрации энергии колебаний на отдельных участках конструкции.

Борьба с вредными проявлениями вибрации (виброзащита) ведется в трех направлениях:

-применительно к источнику вибровозбуждения;

-в отношении виброзащищаемого объекта – строительной конструкции, сооружения;

-в отношении человека.

Впоследнем случае проблемы полностью или частично решаются всегда, когда тем или иным способом удается снизить вибрацию в первых двух направлениях.

Виброзащита осуществляется разными путями. Если объект подвержен

5

действию периодических сил, то стремятся прежде всего к снижению их действия в самом источнике. В частности, если в двигателе внутреннего сгорания вращаются недостаточно сбалансированные детали, то уменьшения вибрационного возбуждения можно добиться проведением соответствующей балансировки. В двигателях внутреннего сгорания снижение вибрационного возбуждения можно достичь, изменяя порядок зажигания в цилиндрах. Также можно и значительно снизить возбуждение за счет применения в двигателях силовых агрегатов уравновешивающих механизмов (валов), вращающихся в противофазе.

Более сложная задача возникает в тех случаях, когда несколько источников вибрации (электродвигателей) установлены на одном вязкоупругом основании. Тогда при работе электродвигателей могут возникнуть режимы синхронизации или неполной синхронизации. В этих случаях всегда усиливаются вибрационные процессы. В первом случае основная гармоника вибросигнала соответствует частоте вращения роторов двигателей, во втором возникает дополнительная низкочастотная гармоника, соответствующая частоте биений нескольких источников вибрации.

Однако устранить вибрационное возбуждение полностью не удается, в результате чего возникает необходимость виброзащиты самого объекта.

Задача борьбы с вибрациями и шумами включает в себя следующие составляющие:

-выявление основных источников вибраций и шума;

-знания о каналах распространении вибропотоков по строительной конструкции;

-использование виброгасящих устройств в областях генерирования вибрации и шума;

-вооруженность методами и средствами измерения вибрации и шума. Эти составляющие позволяют выработать рекомендации по проектированию строительных конструкций с минимальным уровнем вибраций и шумов.

6

ГЛАВА 1. ПРОСТЕЙШИЕ СИСТЕМЫ ВИБРОЗАЩИТЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1.1. Поглощение энергии колебаний при вязком демпфировании

Для аналитического описания вибронагрузок сложную строительную конструкцию можно рассматривать как систему масс, соединенных с помощью пружин и демпфирующих элементов. Поскольку силы демпфирования для реальной конструкции промышленного здания нельзя оценить с такой же точностью, как упругие силы и силы инерции, то строгое математическое моделирование явлений демпфирования невозможно. Тем не менее для объяснения диссипативных сил, присутствующих в любой конструкции, следует сделать предположение о виде демпфирования, что позволяет оценить демпфирующие силы на практике. Кроме того, вид демпфирования должен способствовать простым математическим операциям, специально применяемым к линейным уравнениям движения - это означает, что при гармоническом возбуждении силы демпфирования также изменяются по гармоническому закону. Двумя такими подходящими формами демпфирования являются вязкое и гистерезисное демпфирование. В любой виброзащитной системе присутствуют обе формы демпфирования, но в различных соотношениях. Реакция системы с одной степенью свободы для вязкого демпфирования описывается в этом разделе, а для гистерезисного демпфирования - в следующем. Будут также проиллюстрированы различия в характеристиках.

7

Рис.1.1. Система с одной степенью свободы

На рис. 1.1 показана система с одной степенью свободы, в которой между массой m и фиксированной стенкой расположен безмассовый демпфер с коэффициентом вязкого демпфирования c и пружина жесткостью k. Демпфер создает силу демпфирования - cx′ , пропорциональную мгновенной скорости и положительную в выбранном направлении. Уравнение движения для вынужденного гармонического возбуждения можно записать в виде:

Разделив уравнение (1.1) на m и умножив числитель и знаменатель в правой части на k, получим:

для установившегося колебания, можно показать после дифференцирования и подстановки в уравнение (1.2), что:

8

Видно, что смещение x пропорционально приложенной силе, а коэффициент пропорциональности равен:

и называется комплексной частотной характеристикой. Равенство (1.4) показывает, что смещение является комплексной величиной и может быть представлено в виде вещественной и мнимой частей умножением числителя и знаменателя в квадратных скобка на комплексно сопряженную величину к знаменателю. Таким о6разом:

Это равенство показывает, что смещение имеет одну компоненту

находящуюся в фазе с приложенной силой, и вторую компоненту

9