9808

Вернемся к формуле (10.1) и получим условия перпендикулярности и параллельности двух прямых y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , выраженные через их угловые коэффициенты:

Сведём вычисление угла α между прямыми к вычислению угла ϕ между нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми может быть только острым, а угол между векторами может быть и тупым. Поэтому, если угол ϕ между векторами N1 = { A1, B 1} и N2 = { A2 , B 2}

острый, то α = ϕ (см. рис.10.3).

Если же угол ϕ между нормальными векторами тупой, то α = π − ϕ (см.

70

αN2 L1

то эти прямые совпадают.

Обратим внимание на связь полученных условий взаимного расположения прямых с условиями разрешимости системы (10.2) двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель этой системы

то выполнено условие параллельности этих прямых. При этом возможны два случая. В первом, когда выполнено условие (10.3), прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (координаты любой точки прямой дают решение системы). Отметим, что условие (10.3) означает, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы, т.е.

и согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна. Во втором случае, когда в условии (10.3) не выполнено второе равенство, прямые параллельны, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, и система несовместна.

10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми. Иногда при решении задач не следует спешить с нахождением точки пересечения двух прямых, решая систему уравнений (10.2), а лучше воспользоваться понятием пучка прямых, проходящих через точку пе-

ресечения этих прямых (в частности, когда нужно найти прямую, проходящую через точку пересечения данных прямых, и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию). Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых

пересечения этих прямых M 0 ( x0 , y0 ) принадлежит каждой из этих прямых, то ее координаты обращают в ноль обе скобки в (10.4), а, значит, при любом λ прямая (10.4) проходит через точку M 0 .

10.3. Расстояние от точки до прямой. Пусть требуется вычислить расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 .

2

x

Рис. 10.5

Пусть M 1 ( x1, y1 ) – проекция точки M 0 на прямую (см. рис. 10.5). Ис-

комое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M0 на направление нормального вектора N = { A, B } .

72

Отсюда, приравнивая координаты векторов, получаем координаты точки

M1(4, 4) (см. рис. 10.6).

73

M 0 (1, 8)

Рис. 10.6

10.4. Линейные неравенства. В заключение этой лекции выясним геометрический смысл неравенства

мём на прямой (10.8) произвольную, но фиксированную точку M 0 ( x0 , y0 ) .

N

ϕ

M ( x, y )

M 0

Рис. 10.7

Поскольку Ax0 + By0 + C = 0 , то, выражая отсюда C и подставляя в (10.7), получим, что левая часть этого неравенства (10.7) равна скалярному про-

изведению вектора N = { A, B } на вектор M 0M

74

< N , M 0 M > = A(x − x0 ) + B( y − y0 ) > 0 .

Итак, неравенству (10.7) удовлетворяют все точки плоскости, для ко-

торых угол между векторами N и M 0M – острый. Из рисунка 10.7 видно, что все такие точки принадлежат одной полуплоскости. Чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей «отвечает» неравенству (10.7), достаточно проверить его выполнение для какой-нибудь одной точки из любой полуплоскости. Если координаты этой точки ему удовлетворяют, то и координаты всех точек полуплоскости, в которой выбрана «пробная» точка, будут его решениями, если нет – то нужная полуплоскость – другая.

75

Лекция 11. Плоскость

11.1. Различные виды уравнения плоскости. Перейдем теперь к изучению уравнений плоскости в пространстве. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем плоскость П , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.

N

M 0 900

M

возьмем вектор, перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой плоскости. Пусть это будет вектор N = { A, B,C} . Очевидно, что для про-

извольной точки M (x, y, z) П векторы M 0M = { x − x0 ; y − y0 ; z − z0 } и N перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю

< N , M0M > = 0

или в координатах

Это и есть уравнение плоскости П , проходящей через заданную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно заданному вектору N = { A, B,C} .

где для краткости обозначено D = − Ax0 − By0 − Cz0 . Уравнение (11.2) называют общим уравнением плоскости. Обратим внимание, что уравнение

Обратно, покажем, что уравнение вида (11.2) определяет плоскость и построим её. По данным числам A, B,C построим вектор N = { A, B,C}

и введем радиус-вектор r = { x, y, z} . Тогда уравнение (11.2) можно пред-

ставить в виде

Отсюда следует алгоритм построения плоскости по заданному уравнению (11.2). Через начало координат проведем прямую в направлении

проводим перпендикулярно ему требуемую плоскость.

z

P N

O r

x

Рис. 11.2

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Пусть один из коэффициентов перед переменными в уравнении (11.2) равен нулю (например, C = 0 ). Тогда нормальный вектор этой плоскости

77

N = {A, B,0}. Это значит, что он перпендикулярен оси O z , а плоскость параллельна этой оси

z

Рис. 11.3

Теперь пусть два каких-нибудь коэффициента перед переменными в уравнении (11.2) равны нулю (например, A = B = 0 ). Тогда нормальный

вектор N = {0,0,C} перпендикулярен плоскости xO y , а плоскость параллельна этой координатной плоскости

z N = {0,0,C}

O

y

x

Рис. 11.4

Рассмотрим ещё случай, когда в уравнении (11.2) D = 0 . Это означает, что точка (0,0,0) принадлежит плоскости

Ax + By + Cz = 0

или, другими словами, эта плоскость проходит через начало координат. Для наглядного представления расположения этой плоскости найдем

её следы, т.е. линии пересечения с координатными плоскостями (см. рис. 11.5).

78

z

y

x

Рис. 11.5

Из общего уравнения плоскости легко получить так называемое

уравнение плоскости в отрезках

ными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax + By + Cz = −D и далее, предполагая, что D ¹ 0 (т.е. плоскость не проходит через начало координат) и разделив обе части этого уравнения на − D , получим уравнение

плоскость «отрезает» от осей координат (см. рис. 11.6).

z

c

b

y

Рис. 11.6

79