9804
.pdfДля знакомого по школьной программе уравнения параболы y = x2
выполним тот же поворот на угол ϕ=900 (рис. 26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение x′= y′2 .
Рис. 26.7
Для приведения уравнения xy = 3 к каноническому виду рассмотрим
поворот на угол ϕ=45 |
0 |
. Подставив в формулы (26.5) cos 450 |
= sin 450 = |
2 |
|
2 |
и проделав соответствующие преобразования, получим в новой системе ко-
ординат каноническое уравнение равносторонней гиперболы |
x′2 |
− |
y′ |
2 |
=1. |
|
6 |
|
|||
6 |
|
|
|
Её асимптотами являются исходные оси координат O x и Oy (рис. 26.8). Итак, преобразования поворота и (или) параллельного переноса осей
координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произве-
дение. Для канонического уравнения эллипса |
A = |
1 |
, C = |
1 |
, т.е. произве- |
||||||
a2 |
b2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дение AC > 0 ; для гиперболы A = |
1 |
, |
C = − |
1 |
|
, т.е. |
AC < 0; для параболы |
||||
a2 |
b2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 0 , C = 1, т.е. AC = 0 . Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.
190
Рис. 26.8
Тогда получаем классификацию: |
|
||||||||||||||||||||||
I. Эллиптический тип |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
x2 |
|
|
+ |
|
|
y |
2 |
|
=1 (эллипс), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
|
x2 |
|
+ |
|
y |
2 |
|
=0 (точка), |
||||||||||||||
|
a2 |
|
|
b2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
x2 |
|
|
+ |
|
|
y |
2 |
|
=−1 (пустое множество). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
II. Гиперболический тип |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
x2 |
− |
|
|
y2 |
|
|
|
=1 |
(гипербола), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5) |
x2 |
− |
|
y2 |
=0 |
(пара пересекающихся прямых). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III.Параболический тип
6)y2 =2 px (парабола),
7)y2 =a2 (пара параллельных прямых),
8)y2 =0 (прямая),
9)y2 =−a2 (пустое множество).
191
Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:
I. |
Если |
AC − B2 > 0 , то уравнение задаёт линию, |
относящуюся к |
||
эллиптическому типу. |
|
|
|
||
II. |
Если |
AC − B2 < 0 , то уравнение задаёт линию, |
относящуюся к |
||
гиперболическому типу. |
|
|
|
||
III. |
Если |
AC − B2 = 0 , то уравнение задаёт линию, |
относящуюся к |
||
параболическому типу. |
|
|
|
||
Например, уравнение xy = 3 , в котором A = C = 0, 2B =1, |
задаёт ли- |
||||
нию гиперболического типа, так как в этом случае AC − B2 = − |
1 |
< 0 . |
|||
|
|||||
|
|
|
4 |
|
Итак, мы проделали необходимую работу, чтобы полностью разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.
192
Лекция 27. Поверхности второго порядка
Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 , |
(27.1) |
где коэффициенты A, B,C , D, E ,F ,G , H ,K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.
A2 + B2 + C 2 ¹ 0 ), называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.
27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из па-
раллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 27.1).
В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая задаётся уравнением F(x, y) = 0. Пусть M 0 (x0 , y0 ,0) – произвольная точка направляющей (рис. 27.1). Тогда F (x0 , y0 ) = 0 . Если рассматривать цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ,0) , примет вид
x = x0 .y = y0
193
Рассмотрим произвольную точку M ( x0 , y0 , z0 ) этой образующей. Её координаты удовлетворяют уравнению F ( x, y) = 0 при любом значении переменной z . Точка M 0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F ( x, y) = 0 .
Рис. 27.1
Ясно, что уравнение вида F ( x, z) = 0 задаёт цилиндрическую поверх-
ность с |
образующими, параллельными оси Oy , а уравнение вида |
F ( y, z) = 0 |
задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, парал- |
лельными оси O x .
Рис. 27.2
Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхно-
194
стью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .
Например, уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 задаёт в пространстве цилиндриче- |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
скую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .
Уравнение вида |
x2 = −2 py определяет в пространстве параболиче- |
||||
ский цилиндр (рис. 27.2). |
|
||||
Уравнение вида |
y2 |
− |
x2 |
= 1 определяет в пространстве гиперболиче- |
|
b2 |
a2 |
||||
|
|
|
ский цилиндр (рис. 27.3).
Рис. 27.3
27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности враще-
ния), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).
195
Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с уравнени-
ем |
y2 |
+ |
z2 |
= 1 вокруг координатной оси Oz . Полученную поверхность |
|
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
рассечём плоскостью, параллельной координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O′(0, 0, z) (рис. 27.4).
Рис. 27.4
Пусть M (x, y, z) – произвольная точка поверхности вращения, лежащая в плоскости сечения. Рассмотрим в плоскости yOz точку поверхности M ′(0, y′, z) . Её ордината по абсолютной величине равна радиусу окружно-
сти, на которой лежит точка M (x, y, z) , |
т.е. |
O′M ′ = O′M , поэтому |
x2 + y2 = y′2 . Находящаяся в плоскости yOz |
точка |
M ′(0, y′, z) принадле- |
жит и плоскости сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её коор-
динаты удовлетворяют уравнению |
y′2 |
+ |
z2 |
|
=1. |
Подставляя в это уравне- |
|||||
b2 |
c2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ние выражение y′ через x и y , получим |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1. Это и есть ис- |
|||||
b2 |
b2 |
c2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
комое уравнение поверхности вращения, называемой эллипсоидом вра-
щения.
Если вращать эллипс |
y2 |
+ |
z2 |
= 1 вокруг оси Oy , получится другой |
|||||||
b2 |
c2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эллипсоид вращения (рис. 27.5) с уравнением |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1. |
|||||
с2 |
b2 |
c2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
196
Рис. 27.5
От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной заменяется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.
197
Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка, определяемым общим уравнением
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0.
Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.
28.1. Эллипсоиды. Начнём с уравнения эллипсоида
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1. |
(28.1) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz по-
лучается, если в исходном уравнении (28.1) принять y = 0 : |
x2 |
+ |
z2 |
= 1. По |
|
a2 |
c2 |
||||
|
|
|
виду уравнения мы узнаём эллипс и можем изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 28.1).
Рис. 28.1
При x = 0 из (28.1) получаем уравнение другого эллипса, располагающегося в плоскости yOz и имеющего те же точки пересечения с осью
198
Oz , что и первый эллипс: |
y2 |
+ |
z2 |
= 1. Рисунок дополняется эллипсом в |
|
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
плоскости xOy (рис. 28.2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 28.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим произвольную плоскость z = h |
(где h |
– любое число), |
|||||||||||||||||||||||||||||||
параллельную xOy . Сечение исходной поверхности (28.1) |
этой плоско- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
стью задаётся уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1 − |
h2 |
|
или |
|
x2 |
|
|
+ |
|
y2 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 (1 − |
) b2 (1 − |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h |
|
< c в сечении эллипсоида (28.1) плоскостями z = h по- |
||||||||||||||||||||||||||||||
То есть при всех |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
лучаются эллипсы с полуосями a |
= a 1− h2 |
и b |
= b 1− |
h2 |
|
. Если |
|
h |
|
< c , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
то ah < a , bh < b . |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
h |
|
|
c2 |
|
|
h |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При уменьшении |
полуоси ah |
и bh |
|
|
увеличиваются, |
||||||||||||||||||||||||||||
достигая наибольших значений |
ah = a и bh = b , |
если |
h = 0 . Таким обра- |
зом, «самый крупный» эллипс образуется в сечении координатной плоскостью xOy . Аналогичная картина получается в сечениях поверхности (28.1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz .
Отметим, что на плоскости нет точек, отвечающих условию z > c .
Т.е. у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с плоскостями z = h при h > c , как и с плоскостями x = h при h > a или y = h при
199