9781

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного

произведения, построенного на векторах a и b :

b

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на

= (0 - (-1))×i - (- 2 - 0)× j + (2 - 0)× k = i + 2 j + 2k ;

Ответ: 1,5 кв. ед.

Смешанное произведение векторов

составленное следующим образом: (a ´ b)× c , то есть первые два

вектора a и b умножаются векторно, а их результат - скалярно на

третий вектор c . Такое произведение векторов называется

смешанным и обозначается a b c , то есть (a ´ b)× c = abc .

20

Смешанное произведение трех векторов a , b и c

представляет собой число, равное объему параллелепипеда,

построенного на этих векторах (рис. 2.9), взятое со знаком

«плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

c

b

Свойства смешанного произведения

1)(a ´b)× c = (b ´ c)× a = (c ´ a)×b ;

2)(a ´b)× c = a × (b ´ c);

3) a b c = −a c b ; a b c = −b a c , a b c = −c b a ;

4) Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.

Смешанное произведение трех векторов a , b и c , заданных своими координатами a = {a1; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } и c = {c1; c2 ; c3 }, вычисляется по формуле

a = 2i - j , b = j - k , c = i + j + k .

Решение. a = {2;−1; 0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда

21

Ответ: a b c = 5.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (рис. 2.9) вычисляется по формуле

Vnap. = a bc .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (рис. 2.10) вычисляется по формуле

Vnup. = 1 a b c .

6

b

Рис. 2.10

Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1; 0}.

Решение.

§ 3. Прямая линия на плоскости

Переходим к изучению прямой линии на плоскости. В

аналитической геометрии фигуры описывают формулами.

Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости

заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на

плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства,

связывающего координаты точек прямой.

Исследование уравнения прямой позволяет аналитически проводить изучение геометрических свойств прямой. Так, для

того, чтобы установить, лежит ли точка на прямой

F (x, y) = 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки M 0

3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Общее уравнение прямой

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}.

Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (рис. 3.1)

23

Выберем произвольную точку M (x; y) на прямой l . Тогда вектор M 0 M = {x - x0 ; y - y0 } лежит на прямой l . Так как прямая l

нормали прямой l .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1) и

Q(-1; 2).

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали прямой l : N = PQ = {−1;1} .

Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 (1; 2) и

Ответ: - x + y -1 = 0 .

Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:

Исследуем уравнение (3.2):

1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид

Ax + By = -C .

Разделив обе части последнего уравнения на (− C )

где a и b - величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (рис. 3.2).

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и отсекающей от осей координат равные отрезки

(рис. 3.3).

25

y

l

b

2 M 0

Рис. 3.3

еекоординаты в последнее уравнение, находим a = 3.

Следовательно, l : x + y = 3 – уравнение искомой прямой.

Ответ: x + y = 3 .

Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0.

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида

(3.3):

2x − 3y − 6 = 0 ; 2x − 3y = 6 ;

Отметим на оси Ox точку x = 3 , а на оси Oy точку y = −2 и

через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая

(рис. 3.4).

26

y

Рис.3.4

Если B ¹ 0 , то уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

прямой l к положительному направлению оси Ox (рис. 3.5), то есть k = tg α .

y

Рис.3.5

Из рисунка 3.5 следует, что для любой точки M (x; y) l

выполняется равенство y − b = tgα = k . x

27

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и образующей с положительным направлением

оси Ox угол 45O .

Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в

Ответ: y = x + 1.

Пусть прямая l проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

l : y = kx + b ,

также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ).

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую,

параллельную оси Oy , так как tg90O = +∞ .

28

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x - y + 2 = 0 и l2 : 2x + y - 5 = 0 и

образующей с положительным направлением оси Ox угол 135O .

Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2

находим из системы уравнений этих прямых

x − y + 2 = 02x + y − 5 = 0

Получаем координаты точки M 0 (1;3).

По условию α = 135O , значит k = tg135O = −1. Подставляя в уравнение (3.5) k = −1 и x0 = 1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой

l : y - 3 = -1×(x -1) или

l : x + y − 4 = 0 .

Ответ: x + y - 4 = 0 .

2. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид

Ax + By = 0.

Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат –