9778

Поверхность гиперболического параболоида можно также

получить «механическим» образом. Пусть одна парабола

нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе,

перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая

парабола и образует гиперболический параболоид.

Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью

– его можно сформировать из прямых (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Гиперболический параболоид с уравнением (8.6) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями

Завершим обзор поверхностей второго порядка полной их классификацией. Всякое уравнение второго порядка в пространстве с помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат может быть приведено к одному из видов, соответствующих рассмотренным поверхностям:

2 2

8)2z = p q (гиперболический параболоид)

9)- 17) уравнения кривых второго порядка задают в пространстве девять видов цилиндров второго порядка.− yx

Построение тел, ограниченных

несколькими поверхностями

Наиболее интересные задачи, связанные с разобранными вопросами, - это получение формы тел, ограниченных несколькими поверхностями.

81

Пример. Построить тело, сформированное двумя поверхностями, заданными уравнениями

эллипсоид вращения с полуосями a = 3, b = c = 2 . Его общий вид

изображен на рисунке 7.5. Уравнение (8.8) задаёт параболоид вращения, который, в отличие от изображённого на рисунке 8.6,

симметричен относительно оси Ox . Здесь параболы получаются в сечениях координатными плоскостями xOz и xOy (рис. 8.9), а

в сечениях плоскостями x = h , если h > 0 - окружности (рис. 8.10).

эллипсоида, то его сечение плоскостями x = h , если h > 0 , тоже являются окружностями. Можно найти значение h , при котором

82

радиусы окружностей параболоида и эллипсоида совпадут, то есть поверхности пересекутся. Для этого выразим из (8.8)

решений квадратного уравнения оставляем положительное x = 2 .

Итак, эллипсоид и параболоид пересекутся при x = 2 по

Рис. 8.11

Обе поверхности можно теперь построить в одних координатных осях (рис. 8.12) и изобразить вид тела, ими ограниченного (рис. 8.13).

83

Рис. 8.12

Рис. 8.13

84

цилиндром с уравнением y = 0,5x2 , координатной плоскостью xOy , а также плоскостью y = 2 .

Решение. Как обычно, формируем сечениями указанные поверхности: рис. 8.14, рис. 8.15.

Рис. 8.14

Рис. 8.15

85

Рис. 8.16

При стыковке поверхностей прорисовывается тело (рис.

8.16), форму которого можно уточнить, рассмотрев сечение

параболоиду (рис. 8.17).

Рис. 8.17

86

y = x2 , срезанными координатной плоскостью xOy .

2

Решение. Образующие первого цилиндра параллельны оси

Ox , второго – оси Oz . Изобразим для начала параболы,

получающиеся в сечениях цилиндров координатными плоскостями (рис. 8.18).

Окончательную форму тела изображаем рисунком 8.19.

Рис. 8.19

Рассмотрение примеров построения тел, ограниченных заданными поверхностями, синтезирует изложенные теоретические вопросы аналитической геометрии с умением их использовать для получения требуемых пространственных форм.

88

Библиографический список

1. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Е. Кожевникова. –

Москва : Мир и образование, 2008. – 368 с.

2. Протасова, Л. А. От геометрии – к дизайн-проекту, или Как я полюбил математику : учеб. пособие для вузов / Л. А.

Протасова, А. А. Бутысин ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-

т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2013. – 137 с.

3. Пучков, Н. П. Математика в архитектуре : учеб.-метод.

рекомендации к изучению теорет. части курса «Математика» студентам специальности 290100 / Н. П. Пучков, Т. В.

Четвертнова ; Тамб. гос. техн. ун-т. – Тамбов : ТГТУ, 2001. – 40 с. 4. 64 лекции по математике : учеб. пособие. Кн. 1 : (лекции

1-39) / В. П. Важдаев, М. М. Коган, М. И. Лиогонький Л. А.

Протасова ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2012. – 286 с. : ил.

89