9776
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.А. Протасова, П.В. Столбов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.А. Протасова, П.В. Столбов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
1
ББК 85.15 П 83 Б 93
Протасова Л.А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Л.А. Протасова, П.В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 92 с.– 1 электрон. опт. диск (CDRW)
Изложены вопросы аналитической геометрии, способствующие развитию пространственного воображения и освоению аналитического подхода к изучению геометрических объектов. Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала. Подробно разобраны примеры построения тел, ограниченных заданными поверхностями.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».
© Л.А. Протасова, П.В. Столбов, 2016
© ННГАСУ, 2016
2
§ 1. Линейная алгебра
Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m × n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита, таблицу чисел при этом заключают в
круглые скобки. |
|
|
|
|
|
Пример. 1. |
1 |
2 |
3 |
|
матрица порядка 2 × 3. |
A = |
|
|
– |
||
|
|
5 |
6 |
|
|
|
4 |
|
|
||
2. |
B = (1 |
2 |
3) – матрица– строка порядка 1× 3. |
||
= 1
3. C – матрица– столбец порядка 2 ×1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной.
|
1 |
2 |
|
квадратная матрица порядка 2 × 2. |
Пример. D = |
|
|
– |
|
3 |
4 |
|
|
|
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы обозначаются строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами.
Первый индекс обозначает номер строки, в которой рассматриваемый элемент матрицы находится, а второй индекс – номер соответствующего столбца.
|
1 |
2 |
3 |
|
a2 3 = 6 – |
|
Пример. A = |
|
5 |
6 |
. |
элемент матрицы A, |
|
4 |
|
|
|
|||
находящийся во второй строке и в третьем столбце.
Заметим, что матрицу |
A порядка m × n можно записать |
||||
следующим образом: A = (ai j |
), i = |
|
; j = |
|
. |
1, m |
1, n |
||||
Две матрицы порядка m × n считаются равными, если
все соответствующие элементы этих матриц равны.
3
То есть A = B , если ar s |
= br s для любых возможных r и s . |
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. A = |
2 |
, B = |
|
2 |
. Матрицы A и B равны, так как |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
a11 = b11 = 1, a21 = b21 = 2, a31 = b31 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Произведением |
матрицы |
|
|
A |
|
порядка |
m × n |
|
на |
||||||||||||||
действительное число λ называется матрица B = λ × A того же |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m × n , каждый элемент |
|
|
j , |
i = |
|
, |
j = |
|
|
|
|
|
|||||||||
порядка |
bi |
1, m |
1, n |
которой |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai j , |
i = |
|
, |
|||||||||||
получен |
умножением |
соответствующего |
элемента |
1, m |
||||||||||||||||||||
j = |
|
исходной матрицы A на число λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример. Найти B = 2 A |
, если |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. B = |
|
|
1 |
2 |
2 ×1 |
2 × 2 |
|
|
2 4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 A = 2 |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
2 × 4 |
|
|
6 8 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: B = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Суммой двух матриц |
A = (ai j ) |
и |
B = (bi j ) |
одного порядка |
|||||||||||||||||||
m × n называется |
матрица |
C = A + B |
того |
же |
порядка |
m × n , |
||||||||||||||||||
каждый элемент ci |
j , i = |
|
, |
j = |
|
которой получен сложением |
||||||||||||||||||
1, m |
1, n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
j , i = |
|
, |
j = |
|
. |
|||||
соответствующих элементов ai |
j |
и bi |
1, m |
1, n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
и |
|
4 |
|||
Пример. Найти C = A + B , если A = |
|
B = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
2 |
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 3 |
|
1 + 4 |
|
2 + 3 |
|
5 5 |
|||||
C = A + B = |
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 1 |
|
3 |
|
4 +1 |
|
5 5 |
|||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
.
1
4
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того
же порядка можно определить через сумму и умножение на число
(-1), то есть A - B = A + (-1)× B .
Пример. Найти A - B , если |
1 |
2 |
4 |
3 |
|
|
A = |
|
и B = |
|
. |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
3 |
= |
|
Решение. A - B = A + (-1)× B = |
|
+ (-1)× |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
-4 -3 |
|
1+ (-4) |
2 + (-3) |
|
-3 -1 |
|
||||||||||
|
= |
4 3 |
+ |
-2 -1 |
= |
3 + (-2) |
4 + (-1) |
= |
1 3 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: A - B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведением матрицы A порядка m × n на матрицу B |
||||||||||||||||||||
порядка |
n × p называется |
матрица C = A × B |
порядка |
m × p , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
i = |
|
, |
j = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
каждый |
элемент |
ci |
j , |
1, m |
1, p |
|
которой |
получен |
как |
|||||||||||
произведение элементов i -ой строки матрицы |
A |
на |
||||||||||||||||||
соответствующие элементы |
j -го столбца матрицы B , |
то есть |
||||||||||||||||||
ci j = ai1 ×b1 j + ai 2 ×b2 j +K+ ai n ×bnj , i = |
|
, j = |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
1, m |
1, p |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример. Найти C = A × B , если A = |
|
1 |
2 |
|
5 |
6 |
|
|||||||||||||
|
|
и |
B = |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
7 |
8 |
|
||
Решение.
c11 = a11 ×b11 + a12 ×b21 =1×5 + 2 × 7 = 5 +14 = 19 c12 = a11 ×b12 + a12 ×b22 = 1× 6 + 2 ×8 = 6 +16 = 22 c21 = a21 ×b11 + a22 ×b21 = 3 ×5 + 4 × 7 = 15 + 28 = 43 c22 = a21 ×b12 + a22 ×b22 = 3 × 6 + 4 ×8 = 18 + 32 = 50 .
|
C = |
c |
c |
|
19 |
22 |
|
Следовательно, |
A × B = |
12 |
|
= |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
. |
||
|
|
c21 |
c22 |
|
43 |
50 |
|
19 |
22 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: C = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
Следует обратить внимание на тот факт, что
1) произведение |
A × B матриц |
A |
и B получается |
умножением элементов строк матрицы A – |
первого сомножителя |
||
– на элементы столбцов |
матрицы B – |
второго сомножителя. |
|
Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;
2) число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и
Bне определено;
3)порядок матрицы-произведения определяется порядком
сомножителей, то есть |
Am×n × Bn× p = Cm× p . |
Следовательно, если |
||
A × B = A ×C , то нельзя считать, что B = C . |
|
|
||
Транспонированной матрицей любой матрицы A порядка |
||||
m × n называется матрица |
AT порядка n × m , которая получается |
|||
из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
Пример. Найти AT , если A = |
|
|
. |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
4 |
|
||
Решение. Элементы первой строки матрицы A запишем в первый столбец матрицы AT , а элементы второй строки матрицы
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
A – во второй столбец матрицы AT , получаем: AT = 2 |
5 |
. |
|
|
3 |
6 |
|
|
|
||
|
|
|
Определители |
||
Определителем второго порядка квадратной матрицы |
|||||
называется число = |
|
a11 |
a12 |
|
, которое вычисляется по формуле: |
|
|
||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
D = a11 × a22 - a12 × a21 .
6
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
. |
|
|
||||||||
- 3 4 |
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
1 |
2 |
|
= 1× 4 - 2 × (- 3) = 4 + 6 = 10. |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
- 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем третьего |
порядка квадратной матрицы |
||||||||||||
|
|
|
D = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
, которое вычисляется по |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
называется число |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
||
формуле
D= a11 × a22 × a33 + a21 × a32 × a13 + a12 × a23 × a31 -
-a13 ×a22 ×a31 -a21 ×a12 ×a33 -a32 ×a23 ×a11.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. Вычислить |
|
-1 |
2 |
- 3 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
- 4 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
- 2 |
3 |
|
= 1× 2(× -4) + (-1)× 4 ×3 + (- 2)×(- 3)× 0 - 3 × 2 × 0 - |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
-1 |
2 |
- 3 |
|
|||||||
|
|
0 |
4 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- (-1)×(- 2)×(- 4)- 4 ×(- 3)×1 = -8 -12 + 0 - 0 + 8 +12 = 0 .
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными вида
a × x + a × x |
2 |
+ a × x = b |
||||||
|
11 |
1 |
12 |
|
13 |
3 |
1 |
|
a21 × x1 + a22 × x2 + a23 × x3 = b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ a33 × x3 = b3 , |
||
a31 × x1 + a32 × x2 |
||||||||
где ai j Î Z, bi Î Z, |
i, j = |
|
|
|
|
|
|
|
1, 3 . |
|
|
|
|
||||
алгебраических
(1.1)
7
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1)
a11 a12 a13 = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
тогда если D ¹ 0 , то система (1.1) имеет единственное решение
(x10 ; x20 ; x30 ), которое находим по правилу Крамера. Для этого составим и вычислим вспомогательные определители x1 , x2 ,
x3 системы (1.1):
x = |
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
= |
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
= |
a11 |
a12 |
b1 |
|
||
b2 |
a22 |
a23 |
, |
x |
a21 |
b2 |
a23 |
, |
x |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
Далее по формулам Крамера находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x0 = |
|
x1 |
, x0 = |
x2 |
, |
x0 |
= |
|
x3 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
Пример. Решить по правилу Крамера систему
x − x |
2 |
+ x = 2 |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
2x1 − x3 = −1 . |
|||||
|
3x + x |
2 |
= 5 |
||
|
1 |
|
|
|
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель
данной системы
1 −1 1
= 2 0 −1 = 1×0×0 + 2×1×1+ (-1)×(-1)×3 -1×0×3 -
3 1 0
- 2×(-1)×0 -1×(-1)×1 = 0 + 2 +3 -0 + 0 + 0 +1 = 6.
Так как D = 6 ¹ 0, то данная система имеет единственное
решение.
8
Составим и вычислим вспомогательные определители
данной системы
|
|
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
1 |
|
= 2 × 0 × 0 + (-1)×1×1 + (-1)× (-1)×5 -1× 0 ×5 - |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Dx |
= |
|
-1 0 -1 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
- (-1)×(-1)× 0 -1×(-1)× 2 = 0 -1 + 5 - 0 - 0 + 2 = 6 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
= 1×(-1)× 0 + 2 ×5 ×1 + 2 × (-1)×3 -1×(-1)×3 - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Dx2 = |
|
|
2 -1 -1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
- 2 × 2 × 0 - 5 ×(-1)×1 = -0 +10 - 6 + 3 - 0 + 5 = 12; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
2 |
|
|
= 1× 0 ×5 + 2 ×1× 2 + (-1)× (-1)×3 - 2 × 0 ×3 - |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Dx |
= |
|
2 0 -1 |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
-1×(-1)×1 - 2 ×(-1)×5 = 0 + 4 + 3 - 0 +1 +10 = 18 . |
|||||||||||||||||||||
Далее, по формулам Крамера, находим |
|||||||||||||||||||||||
x0 |
= |
|
|
|
|
|
|
x1 |
= |
6 |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 = |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
= |
|
12 |
= 2 , |
|
|
||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x0 |
= |
Dx |
|
= |
18 |
|
= 3. |
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
D |
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем проверку найденного решения (1; 2;3)
1 - 2 + 3 = 2 - верно,
× - = - -
2 1 3 1 верно,
3 ×1 + 2 = 5 - верно.
Ответ: (1; 2;3).
9