9775
.pdfСледовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного
произведения, построенного на векторах a и b :
S = |
1 |
|
= |
1 |
|
|
|
´ |
|
|
. |
|
Sпарал. |
|
|
a |
b |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b
a |
Рис. 2.8 |
Пример. Найти площадь треугольника, построенного на
векторах |
|
= 2 |
|
- |
|
|
|
|
|
и |
|
|
= |
|
- |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
i |
k |
b |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
= {2; 0 −1} и |
|
|
= {0;1;−1}. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a ´ b = |
|
×i - |
|
× j |
+ |
× k = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
-1 |
|
|
|
0 |
|
-1 |
|
0 |
1 |
= (0 - (-1))×i - (- 2 - 0)× j + (2 - 0)× k = i + 2 j + 2k ;
|
´ |
|
|
= |
|
|
|
12 + 22 + 22 |
= 3 , следовательно |
|||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||
S = |
1 |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
= |
1 |
×3 = 1,5(кв. ед.). |
||||||
|
|
|
a |
b |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ответ: 1,5 кв. ед.
Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведение трех векторов |
a , b и c , |
составленное следующим образом: (a ´ b)× c , то есть первые два
вектора a и b умножаются векторно, а их результат - скалярно на
третий вектор c . Такое произведение векторов называется
смешанным и обозначается a b c , то есть (a ´ b)× c = abc .
20
Смешанное произведение трех векторов a , b и c
представляет собой число, равное объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах (рис. 2.9), взятое со знаком
«плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.
c
b
a |
Рис. 2.9 |
Свойства смешанного произведения
1)(a ´b)× c = (b ´ c)× a = (c ´ a)×b ;
2)(a ´b)× c = a × (b ´ c);
3) a b c = −a c b ; a b c = −b a c , a b c = −c b a ;
4) Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.
Смешанное произведение трех векторов a , b и c , заданных своими координатами a = {a1; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } и c = {c1; c2 ; c3 }, вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
b1 |
b2 |
b3 |
. |
|
a |
b |
c |
(2.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|
Пример. Вычислить смешанное произведение |
векторов |
a = 2i - j , b = j - k , c = i + j + k .
Решение. a = {2;−1; 0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда
21
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
1 |
−1 |
|
= 2 + 0 +1 − 0 + 2 + 0 = 5. |
a |
b |
c |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: a b c = 5.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (рис. 2.9) вычисляется по формуле
Vnap. = a bc .
Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (рис. 2.10) вычисляется по формуле
Vnup. = 1 a b c .
6
a |
c |
b
Рис. 2.10
Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1; 0}.
Решение.
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
1 −1 |
|
= 0 − 0 − 0 − 0 −1 − 0 = −1. |
|||||||||||||||||||||
a |
b |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
-1 |
|
= |
1 |
(куб. ед.). |
|||||||||||
Тогда V |
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nup. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
V |
|
|
= |
(куб. ед.). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nup . |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
§ 3. Прямая линия на плоскости
Переходим к изучению прямой линии на плоскости. В
аналитической геометрии фигуры описывают формулами.
Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости
заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на
плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства,
связывающего координаты точек прямой.
Исследование уравнения прямой позволяет аналитически проводить изучение геометрических свойств прямой. Так, для
того, чтобы установить, лежит ли точка на прямой
F (x, y) = 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки M 0
уравнению |
F (x, y) = 0 |
этой |
прямой, |
то |
есть, |
выполняется ли |
|
равенство F ( x0 , y0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Лежит ли точка M 0 (1; 2) на прямой l : 3x − y +1 = 0? |
|||||||
Решение. Подставив в уравнение |
прямой |
3x - y +1 = 0 |
|||||
координаты |
точки |
M 0 |
вместо |
x |
и |
y |
получаем: |
3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .
Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .
Общее уравнение прямой
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}.
Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (рис. 3.1)
23
y |
|
|
l |
N |
|
M 0 |
M |
|
0 |
|
x |
|
|
Рис. 3.1 |
Выберем произвольную точку M (x; y) на прямой l . Тогда вектор M 0 M = {x - x0 ; y - y0 } лежит на прямой l . Так как прямая l
перпендикулярна вектору N по условию, то и вектор |
M 0 M |
||||||
|
|
, а значит |
|
× |
|
= 0 , откуда |
|
перпендикулярен вектору |
N |
M 0 M |
N |
|
|||
A ×(x - x0 ) + B ×(y - y0 ) = 0 . |
(3.1) |
||||||
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, |
проходящей через точку (x0 ; y0 ) и |
перпендикулярной вектору |
||||
|
|
{A; B}. |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется |
|||
вектором нормали прямой. Вектор |
|
|
{A; B} является вектором |
||
|
N |
нормали прямой l .
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1) и
Q(-1; 2).
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали прямой l : N = PQ = {−1;1} .
Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 (1; 2) и
координаты вектора |
|
= {−1;1}, |
|
|
N |
находим искомое уравнение |
|||
прямой |
l : |
|
||
l : |
-1×(x -1) +1× (y - 2) = 0 |
или − x + y −1 = 0 |
||
|
24 |
Ответ: - x + y -1 = 0 .
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:
Ax − Ax0 + By − By0 = 0 |
или |
Ax + By + (− Ax0 − By0 ) = 0 . |
|
Обозначив C = − Ax0 |
− By0 , |
получаем общее |
уравнение |
прямой на плоскости вида |
|
|
|
Ax + By + C = 0. |
(3.2) |
Исследуем уравнение (3.2):
1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид
Ax + By = -C .
Разделив обе части последнего уравнения на (− C )
|
|
|
x |
+ |
y |
|
= 1, |
|||
|
|
|
− C |
|
− C |
|
||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
||
обозначив a = − C |
, b = − C |
B |
получаем уравнение прямой на |
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости в «отрезках» вида |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
+ |
y |
= 1, |
(3.3) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
a b |
|
|
|
|
где a и b - величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (рис. 3.2).
|
y |
l |
|
|
b |
a |
0 |
x |
|
|
Рис.3.2 |
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и отсекающей от осей координат равные отрезки
(рис. 3.3).
25
y
l
b
2 M 0
0 |
1 |
a |
x |
Рис. 3.3
Решение. Используем уравнение (3.3). |
Так |
как a = b |
по |
|||
условию, то его можно переписать в виде |
l : |
x |
+ |
y |
= 1 |
или |
|
|
|||||
|
|
a a |
|
|||
l : x + y = a . |
|
|
|
|
|
|
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой l , |
то, подставляя |
еекоординаты в последнее уравнение, находим a = 3.
Следовательно, l : x + y = 3 – уравнение искомой прямой.
Ответ: x + y = 3 .
Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0.
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида
(3.3):
2x − 3y − 6 = 0 ; 2x − 3y = 6 ;
2x |
− |
3y |
= 1; |
x |
+ |
y |
= 1. |
|
|
|
|
||||
6 6 |
3 |
|
− 2 |
Отметим на оси Ox точку x = 3 , а на оси Oy точку y = −2 и
через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая
(рис. 3.4).
26
y
0 |
|
|
3 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
Рис.3.4
Если B ¹ 0 , то уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
By = -Ax - C |
или |
y = − |
A |
x − |
C |
. |
||||
B |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||
Обозначив k = − |
A |
, b = − |
C |
, |
получим уравнение прямой с |
|||||
|
|
|||||||||
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
||
угловым коэффициентом k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l : y = kx + b |
|
|
|
|
|
(3.4) |
||||
Угловой коэффициент |
k равен тангенсу угла α наклона |
прямой l к положительному направлению оси Ox (рис. 3.5), то есть k = tg α .
y
|
y |
M |
y − b |
|
α |
||
|
b |
||
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
α |
x |
x |
l |
0 |
Рис.3.5
Из рисунка 3.5 следует, что для любой точки M (x; y) l
выполняется равенство y − b = tgα = k . x
27
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и образующей с положительным направлением
оси Ox угол 45O .
Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в
виде (3.4) |
l : y = kx + b . По условию |
α = 45O , значит |
k = tgα = tg 45O = 1, следовательно l : y = x + b . |
|
|
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой, то подставляя в |
||
последнее уравнение ее координаты, находим |
l : 2 = 1+ b , откуда |
|
b = 1. |
|
|
Таким |
образом, искомое уравнение прямой l имеет вид |
|
y = x + 1. |
|
|
Ответ: y = x + 1.
Пусть прямая l проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
l : y = kx + b ,
где b – пока неизвестная величина. |
|
|
|
|
|
||
Так как точка |
M 0 (x0 ; y0 ) лежит |
на |
прямой |
l , |
то |
ее |
|
координаты удовлетворяют уравнению прямой l , то есть |
имеет |
||||||
место равенство: y0 = k × x0 + b , откуда |
b = y0 − kx0 . |
Подставляя |
|||||
значение b в уравнение y = kx + b , получаем: |
y = kx + y0 − kx0 |
или |
|||||
y − y0 |
= k(x − x0 ) |
|
|
|
(3.5) |
||
Уравнение (3.5) |
с |
различными значениями k |
называется |
также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ).
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую,
параллельную оси Oy , так как tg90O = +∞ .
28
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x - y + 2 = 0 и l2 : 2x + y - 5 = 0 и
образующей с положительным направлением оси Ox угол 135O .
Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2
находим из системы уравнений этих прямых
x − y + 2 = 02x + y − 5 = 0
Получаем координаты точки M 0 (1;3).
По условию α = 135O , значит k = tg135O = −1. Подставляя в уравнение (3.5) k = −1 и x0 = 1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой
l : y - 3 = -1×(x -1) или
l : x + y − 4 = 0 .
Ответ: x + y - 4 = 0 .
2. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид
Ax + By = 0.
Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат –
|
|
|
|
A |
|
||
точку O( 0; 0) и точку M |
|
1;− |
|
|
(рис. 3.6). |
||
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
B |
|
||
|
|
y |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
A |
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
Рис.3.6 |
|
|
|
|
29 |
|