9774

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Закрепленным вектором AB (или AB ) называется направленный отрезок, у которого выделено начало A и конец

B . Длиной вектора AB называется длина отрезка,

изображающего данный вектор.

Два закрепленных вектора называются эквивалентными,

если у них совпадают длина и направление. Множество эквивалентных закрепленных векторов называется свободным вектором. Свободные векторы обозначают маленькими буквами латинского алфавита (например, a или со стрелкой a ).

Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, и его началом можно считать любую точку пространства.

Тем самым, запись a = AB означает, что свободный вектор a

откладывается от точки A (рис. 2.1).

B

a

A

Рис. 2.1

В векторной алгебре всегда имеют дело со свободными векторами (далее – просто векторами).

Назовем вектор ортом, если его длина в заданном масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов,

чаще используют буквы e, i , j , k ( e = i = j = 1).

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .

10

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец

– с концом вектора b , если конец вектора a и начало вектора b

совмещаются (рис. 2.2).

b

Рис. 2.2

Противоположным вектору a называется такой вектор

(− a), который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (- a)+ a = 0 .

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора (− b), противоположного вектору b , то есть a − b = a + (− b).

Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa , направление которого совпадает с вектором a , если

λ > 0 и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 ;

длина же вектора λa равна произведению λ на длину вектора a :

λ a = λ × a .

Пусть дан вектор a (рис. 2.3). Изобразим для примера векторы b = 2a и c = -3a :

11

b = 2a

a

Свойства линейных операций над векторами

1.(a + b)+ c = a + (b + c)

2.a + b = b + a

3.a + 0 = a

4.a + (- a)= 0

5.α × (β a)= (α β )a

6.λ(a + b)= λ a + λ b

7.(λ + μ )a = λ a + μ a

8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k

пространства называются базисными векторами или

декартовым базисом пространства. Любой вектор a

пространства может быть единственным образом разложен по

векторам базиса i , j , k (рис. 2.4):

a = a1 ×i + a2 × j + a3 × k .

12

Коэффициенты {a1 , a2 , a3} разложения вектора по базису называются его координатами. Коротко это записывают равенством a = {a1 , a2 , a3 }.

a3

a

k

i

a1

Рис.2.4

Если два вектора a и b в декартовом базисе заданы своими координатами a = { a1, a2 , a3} и b = {b1 , b2 , b3 }, то

1)λ a = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };

2)a + b = {a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3}.

Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , если a = {1; 2;3}, b = {−1; 0;1}.

Решение:

2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6}.

c = 2a + b = {2; 4; 6}+ {−1; 0;1}= {2 + (−1); 4 + 0; 6 +1} = {1; 4; 7}.

Ответ: c = {1; 4; 7}.

Прямоугольной декартовой системой координат в

пространстве называется совокупность точки O и базиса (i, j, k ).

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz ,

проходящие через начало координат в направлении базисных

13

AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1} .

Пример. Найти координаты вектора AB , если A(1;2;3) ,

B(−1;0;1) .

Решение:

AB = {-1-1;0 - 2;1- 3} = {-2;- 2;- 2} .

Ответ: AB = {−2;− 2;− 2}.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a ×b двух ненулевых векторов

a и b называется число, равное произведению длин этих

векторов на косинус угла между ними: a ×b = a × b × cos (a b) .

Свойства скалярного произведения

1)a ×b = b × a ;

2)(λ a)×b = λ(a ×b), λ R ;

3)a × (b + c)= a ×b + a × c ;

b =1, a b = 60O .

15

Решение. По формуле (2.1), находим

c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b) = a 2 + 4a b + 4 b 2 =

= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60O + 4 =

=8 + 8 × 1 = 12 = 23 .

2

Ответ: c = 23 .

(- 3b), если a = {1; 2;3} и b = {0;-1;1}.

Решение. Координаты векторов 2a и (- 3b)

2a = 2{1; 2;3} = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3} = {2; 4; 6};

(- 3b)= -3{0;-1;1} = {- 3 × 0;-3 ×(-1);-3 ×1} = {0;3;-3}.

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно

2a × (- 3b)= 2 × 0 + 4 ×3 + 6 × (- 3) = 0 +12 -18 = -6.

Ответ: − 6 .

Некоторые приложения скалярного произведения

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1; a2 ; a3 } и b = {b1 ; b2 ; b3 } из определения скалярного произведения вычисляется по формуле

16

b = - j + k .

Решение. Координаты векторов a и b : a = {1; 2; 2} и b = {0;-1;1}.

Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:

Тогда

17

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости)

вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c кратчайший

поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против хода часовой стрелки (и левую, если по часовой) (рис. 2.6)

Векторным произведением a ´ b = c вектора a на вектор b

называется такой вектор c , что

Из определения векторного произведения непосредственно

вытекают следующие соотношения между ортами i , j , и k :

18

Свойства векторного произведения

1)a × b = −(b × a);

2)c × (a + b)= c × a + c × b ;

3)λ(a ´ b)= (λ a)´ b = a ´ (λb), λ R ;

4)a ´ b = 0 a || b .

a = {1; 2;3} и b = {0;1;-1}.

= (- 2 - 3)×i - (-1 - 0)× j + (1 - 0)× k = - 5i + j + k .

Ответ: a ´ b = - 5i + j + k .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах

a и b (рис. 2.7) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как

a ´b = a × b ×sin α = Sпарал. .

b

α

a Рис. 2.7

19