9759

Пример. Привести к каноническому виду уравнение:

x2 +2x +4 y2 −16 y =8 .

Получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a =5

и b = 52 , центр которого находится в новом начале координат

O′(−1;2). Отражаем это рисунком 6.3.

x′2 y′2

Ответ: 25 + 25 =1.

4

y′ y

O′ 2

x′

−1 O

x

Рис. 6.3

60

Классификация кривых второго порядка

Если исходное уравнение кривой второго порядка вида (5.1)

содержит произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ), то для приведения его к каноническому виду используется поворот системы координат (мы его здесь не рассматриваем).

Если же в уравнении (5.1) присутствуют переменные x и y

без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ), то выполняется параллельный перенос осей координат для того, чтобы уравнение в новой системе координат приобрело канонический вид. Этих преобразований достаточно для решения поставленных задач.

Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произведение.

Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно,

отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Тогда получаем классификацию:

61

I. Эллиптический тип:

III. Параболический тип:

6)y2 =2 px (парабола),

7)y2 =a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 =0 (прямая),

9)y2 =−a2 (пустое множество).

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если,

например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным

коэффициентам уравнения (5.1), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:

этом случае для построения можно пользоваться привычной записью уравнения гиперболы в виде y = 3x (x ¹ 0) .

Ответ: уравнение задает кривую гиперболического типа.

Итак, чтобы разобраться с построением линий по уравнению второго порядка (5.1), нужно сначала определить тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводят уравнение к каноническому виду, выполняя соответствующие преобразования координат.

§7. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат

(теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так

называемых образующих), проходящих через каждую точку

заданной линии L (направляющей), называется

цилиндрической поверхностью. Образно можно представить,

что цилиндрические поверхности образуются движением прямой,

которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 7.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz . Если такая образующая проходит через M0 (x0 , y0 , 0) , то абсциссы всех её точек равны x0 , а ординаты равны y0 . Поэтому координаты произвольной точки M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей тоже удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 при любом значении z0 .

64

z

y

x

Рис. 7.1

Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно

утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 .

поверхность с образующими, параллельными оси O x .

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их

названия соответствуют названиям направляющих линий L .

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными

цилиндром (рис. 7.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 =R2 .

Уравнение вида x2 = −2 py определяет в пространстве

параболический цилиндр (рис. 7.2).

гиперболический цилиндр (рис. 7.3).

Рис. 7.3

66

Поверхности вращения

Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей

(лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей,

расположенных в той же плоскости).

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с

Полученную поверхность рассечём плоскостью, параллельной координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O′(0, 0, z) (рис. 7.4).

z

y

x

Рис. 7.4

67

сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её координаты

z

y

x

Рис. 7.5

68

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей.

В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной меняется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

§8. Канонические уравнения поверхностей

второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка,

определяемым общим уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz +

+2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 .

Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.

Эллипсоиды

Начнём с уравнения эллипсоида

Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz получается, если в исходном уравнении (8.1) принять y = 0 :

изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 8.1).

69