9742

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.А. Протасова, П.В. Столбов

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»

для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Маркетинг

Нижний Новгород

2016

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.А. Протасова, П.В. Столбов

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»

для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Маркетинг

Нижний Новгород ННГАСУ

2016

1

ББК 85.15 П 83 Б 93

Протасова Л.А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Л.А. Протасова, П.В. Столбов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 88 с.– 1 электрон. опт. диск (CDRW)

Изложены вопросы аналитической геометрии, способствующие развитию пространственного воображения и освоению аналитического подхода к изучению геометрических объектов. Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала. Подробно разобраны примеры построения тел, ограниченных заданными поверхностями.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, профиль Маркетинг для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».

© Л.А. Протасова, П.В. Столбов, 2016

© ННГАСУ, 2016

2

Составим и вычислим главный определитель системы (1.1)

a11 a12 a13 = a21 a22 a23 ,

a31 a32 a33

тогда если D ¹ 0 , то система (1.1) имеет единственное решение

(x10 ; x20 ; x30 ), которое находим по правилу Крамера. Для этого составим и вычислим вспомогательные определители x1 , x2 ,

x3 системы (1.1):

Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.

Пример. Решить по правилу Крамера систему

Решение. Составим и вычислим главный определитель

данной системы

1 −1 1

= 2 0 −1 = 1×0×0 + 2×1×1+ (-1)×(-1)×3 -1×0×3 -

3 1 0

- 2×(-1)×0 -1×(-1)×1 = 0 + 2 +3 -0 + 0 + 0 +1 = 6.

Так как D = 6 ¹ 0, то данная система имеет единственное

решение.

4

Составим и вычислим вспомогательные определители

данной системы

Делаем проверку найденного решения (1; 2;3)

1 - 2 + 3 = 2 - верно,

× - = - -

2 1 3 1 верно,

3 ×1 + 2 = 5 - верно.

Ответ: (1; 2;3).

5

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Закрепленным вектором AB (или AB ) называется направленный отрезок, у которого выделено начало A и конец

B . Длиной вектора AB называется длина отрезка,

изображающего данный вектор.

Два закрепленных вектора называются эквивалентными,

если у них совпадают длина и направление. Множество эквивалентных закрепленных векторов называется свободным вектором. Свободные векторы обозначают маленькими буквами латинского алфавита (например, a или со стрелкой a ).

Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, и его началом можно считать любую точку пространства.

Тем самым, запись a = AB означает, что свободный вектор a

откладывается от точки A (рис. 2.1).

B

a

A

Рис. 2.1

В векторной алгебре всегда имеют дело со свободными векторами (далее – просто векторами).

Назовем вектор ортом, если его длина в заданном масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов,

чаще используют буквы e, i , j , k ( e = i = j = 1).

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .

6

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец

– с концом вектора b , если конец вектора a и начало вектора b

совмещаются (рис. 2.2).

b

Рис. 2.2

Противоположным вектору a называется такой вектор

(− a), который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (- a)+ a = 0 .

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора (− b), противоположного вектору b , то есть a − b = a + (− b).

Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa , направление которого совпадает с вектором a , если

λ > 0 и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 ;

длина же вектора λa равна произведению λ на длину вектора a :

λ a = λ × a .

Пусть дан вектор a (рис. 2.3). Изобразим для примера векторы b = 2a и c = -3a :

7

b = 2a

a

Свойства линейных операций над векторами

1.(a + b)+ c = a + (b + c)

2.a + b = b + a

3.a + 0 = a

4.a + (- a)= 0

5.α × (β a)= (α β )a

6.λ(a + b)= λ a + λ b

7.(λ + μ )a = λ a + μ a

8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k

пространства называются базисными векторами или

декартовым базисом пространства. Любой вектор a

пространства может быть единственным образом разложен по

векторам базиса i , j , k (рис. 2.4):

a = a1 ×i + a2 × j + a3 × k .

8

Коэффициенты {a1 , a2 , a3} разложения вектора по базису называются его координатами. Коротко это записывают равенством a = {a1 , a2 , a3 }.

a3

a

k

i

a1

Рис.2.4

Если два вектора a и b в декартовом базисе заданы своими координатами a = { a1, a2 , a3} и b = {b1 , b2 , b3 }, то

1)λ a = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };

2)a + b = {a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3}.

Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , если a = {1; 2;3}, b = {−1; 0;1}.

Решение:

2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6}.

c = 2a + b = {2; 4; 6}+ {−1; 0;1}= {2 + (−1); 4 + 0; 6 +1} = {1; 4; 7}.

Ответ: c = {1; 4; 7}.

Прямоугольной декартовой системой координат в

пространстве называется совокупность точки O и базиса (i, j, k ).

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz ,

проходящие через начало координат в направлении базисных

9