9727

[Введите текст]

h > b Сечение поверхности плоскостями z = c или z = −c даёт точку, так

.

отражаем рисунком 28.2. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

Эллипсоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то, эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Если a = b = c , то уравнение (28.1) определяет сферу.

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу– эллипсы. В целом поверхность выглядит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 28.3).

Рис. 28.3

Однополостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a = b , то однополостный гиперболоид становится поверхностью

200

[Введите текст]

Но если рассмотреть сечение координатной плоскостью xOу, то по-

поверхность не пересекается с координатной плоскостью xOу, также как со всеми плоскостями z = h при h < c . Следовательно, она состоит из двух

отдельных «полостей», имеющих вид бесконечных выпуклых чаш (рис. 28.4).

Двуполостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a = b , то двуполостный гиперболоид становится поверхностью вра-

определяемой этим уравнением, получаются пересекающиеся прямые, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы (рис.28.5). Эта поверхность называется конусом.

Рис. 28.5

203

[Введите текст]

Если a =b, то конус становится поверхностью вращения (в этом случае он называется круговым конусом) и может быть получен вращением

Особенностью конуса является то, что любое его сечение плоскостью, не проходящей через вершину, есть эллипс, гипербола или парабола (в зависимости от наклона секущей плоскости). Поэтому эти классические линии со времён Древней Греции называют коническими сечениями. Часто встречаясь в явлениях природы и деятельности человека, эти линии приобрели особое значение после открытия, сделанного из наблюдений И.Кеплером в 1609 году и теоретически обоснованного И.Ньютоном в 1687 году: планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце.

28.4. Параболоиды. Рассмотрим уравнение эллиптического пара-

болоида

2z = x2 + y2 , p q

где параметры p и q положительны. В сечениях координатными плос-

костями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются параболы, а в сечениях z = h при h > 0 – эллипсы (рис. 28.6).

Рис. 28.6

204

[Введите текст]

Эллиптический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ). При p = q параболоид становится поверхностью вращения (в этом случае он называется параболоидом вращения) и может быть получен вращением параболы вокруг своей оси.

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида

где параметры p и q положительны. В сечении координатной плоскостью xOz поверхности, определяемой этим уравнением, получается «восходящая» парабола с уравнением x2 = 2 pz . В сечении координатной плос-

костью yOz получается «нисходящая» парабола с уравнением y2 = −2qz . Аналогично, каждая плоскость y = h пересекает поверхность по «восходящей» параболе, а каждая плоскость x = h – по «нисходящей» параболе. В сечениях, параллельных координатной плоскости xOy , получаются гиперболы. Гиперболический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ) и имеет вид «седла» (рис. 28.7).

Поверхность гиперболического параболоида можно также получить

скользящая парабола и образует гиперболический параболоид.

Рис. 28.7

205

[Введите текст]

Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью – его можно сформировать из прямых (рис. 28.8).

Рис. 28.8

Гиперболический параболоид с уравнением (28.6) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями

206

[Введите текст]

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

Наряду с задачей дифференцирования функции, в которой для заданной функции f ( x) требуется найти ее производную f ′(x) , часто приходится решать обратную задачу, называемую интегрированием функции: для заданной функции f ( x) найти такую функцию F ( x) , производная которой совпадает с функцией f ( x) , т.е. F′(x) = f (x) . Например, предполагая, что известно уравнение движения S = S (t) , т.е. закон изменения пути с течени-

ем времени, можно найти скорость v(t) = S′(t) . Если, напротив, задана скорость как функция времени v = v(t) , то возникает задача об определении пройденного пути S в зависимости от времени, т.е. по функции v = v(t) «восстановить» функцию S (t ) , для которой v = v(t) является производной

S′(t) = v(t) . В данной лекции рассмотрим решение этой обратной задачи. Происхождение термина интегрирование связано с именем Я. Бернулли (1654-1705). Вероятно, он произвёл термин от латинского integro – приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл. Функ-

ция F ( x) называется первообразной функции f ( x) на промежутке (a, b) , если для любого x (a,b) выполняется равенство

dF(x) =

f (x).

dx

К сожалению, это определение не даёт способа нахождения первообразной F ( x) данной функции f ( x) . Однако для основных элементарных функций эта задача разрешима, поскольку известны их производные. Например, легко видеть, что первообразной функции f ( x) = cos x будет функция F ( x) = sin x , так как (sin x)'= cosx . Но для функции f ( x) = cos x есть и другие первообразные. Например, F ( x) = sin x + 1, F ( x) = sin x + 2 и, вообще, F ( x) = sin x + C , где C – любое число.

Из этого примера следует, что одна и та же функция имеет множество первообразных. Возникает вопрос – как найти всё это множество? Покажем, что множество функций F ( x) + C , где F ( x) – некоторая первообразная

207

[Введите текст]

функции f ( x) , а C – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные функции f ( x) .

ϕ (x) = F1(x) − F2 (x) = f (x) − f (x) = 0 ,

то по формуле Лагранжа конечных приращений получаем, что ϕ(x) ≡ C , и,

следовательно, F1 ( x) − F2 (x) = C .

Таким образом, достаточно найти одну первообразную F ( x) данной функции f ( x) , чтобы знать всё множество её первообразных { F (x) + C} .

Для обозначения рассматриваемой операции – нахождения функции F ( x) из равенства

dF ( x) = f ( x)dx ,

был введён символ ∫ , применение которого к указанному равенству восстанавливает множество всех первообразных данной функции f ( x) (по-

добно тому, как знак обозначает операцию нахождения квадратного корня). Для краткости совокупность всех первообразных функции f ( x) называется её неопределенным интегралом и обозначается так

∫ f (x) dx = F(x) + C ,

где C – некоторая постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием. При этом функция f ( x) называется

подынтегральной функцией, f ( x) dx – подынтегральным выражением, а

знак ∫ – знаком интеграла.

Поставим вопрос: для всякой ли функции f ( x) существует первообразная, а, следовательно, и неопределенный интеграл? Сформулируем без

Ниже будем говорить об интегралах непрерывных функций, которые заведомо существуют.

208

[Введите текст]

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)

Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись

( na )n = a, nan = a, a > 0 .

Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

∫k × f (x) dx = k × ∫ f (x)dx (k = const ) ,

инеопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .

Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде: