9719

[Введите текст]

Для знакомого по школьной программе уравнения параболы y = x2

выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение xў= yў2 .

Рис. 26.7

Для приведения уравнения xy = 3 к каноническому виду рассмотрим

и проделав соответствующие преобразования, получим в новой системе ко-

ординат каноническое уравнение равносторонней гиперболы xў2 - yў2 = 1.

6 6

Её асимптотами являются исходные оси координат O x и Oy (рис. 26.8). Итак, преобразования поворота и (или) параллельного переноса осей

координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произве-

A = 0 , C = 1, т.е. AC = 0 . Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.

190

[Введите текст]

Рис. 26.8

III.Параболический тип

6)y2 = 2 px (парабола),

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

191

[Введите текст]

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:

Итак, мы проделали необходимую работу, чтобы полностью разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.

192

[Введите текст]

Лекция 27. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида

где коэффициенты A, B,C , D, E ,F ,G , H ,K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.

A2 + B2 + C 2 ¹ 0 ), называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из па-

раллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 27.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая задаётся уравнением

F(x, y) = 0. Пусть M 0 (x0 , y0 ,0) – произвольная точка направляющей (рис. 27.1). Тогда F (x0 , y0 ) = 0 . Если рассматривать цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ,0) , примет вид

x = x0 .y = y0

193

[Введите текст]

Рассмотрим произвольную точку M ( x0 , y0 , z0 ) этой образующей. Её координаты удовлетворяют уравнению F ( x, y) = 0 при любом значении переменной z . Точка M 0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F ( x, y) = 0 .

Рис. 27.1

Ясно, что уравнение вида F ( x, z) = 0 задаёт цилиндрическую поверх-

лельными оси O x .

Рис. 27.2

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхно-

194

[Введите текст]

стью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

скую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .

ский цилиндр (рис. 27.3).

Рис. 27.3

27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности враще-

ния), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).

195

[Введите текст]

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с уравнени-

рассечём плоскостью, параллельной координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O′(0, 0, z) (рис. 27.4).

Рис. 27.4

Пусть M (x, y, z) – произвольная точка поверхности вращения, лежащая в плоскости сечения. Рассмотрим в плоскости yOz точку поверхности M ′(0, y′, z) . Её ордината по абсолютной величине равна радиусу окружно-

жит и плоскости сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её коор-

комое уравнение поверхности вращения, называемой эллипсоидом вра-

щения.

196

[Введите текст]

Рис. 27.5

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной заменяется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

197

[Введите текст]

Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка, определяемым общим уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0.

Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.

28.1. Эллипсоиды. Начнём с уравнения эллипсоида

Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz по-

виду уравнения мы узнаём эллипс и можем изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 28.1).

Рис. 28.1

При x = 0 из (28.1) получаем уравнение другого эллипса, располагающегося в плоскости yOz и имеющего те же точки пересечения с осью

198

плоскости xOy (рис. 28.2).

зом, «самый крупный» эллипс образуется в сечении координатной плоскостью xOy . Аналогичная картина получается в сечениях поверхности (28.1)

плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz .

Отметим, что на плоскости нет точек, отвечающих условию z > c .

Т.е. у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с плоскостями z = h при h > c , как и с плоскостями x = h при h > a или y = h при

199