9710

[Введите текст]

y

f (x) = 1

x

1

ε

Рис. 35.6

Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода

В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу

Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.

Если в промежутке [ a, b ] функция f ( x) непрерывна, за исключением крайней точки (пусть для определённости это будет точка b ), то несоб-

ственный интеграл с бесконечными разрывами определяется как пре-

дел

В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не

существует или расходится.

Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточ-

250

[Введите текст]

но быстро» поясним на следующем примере. Рассмотрим несобственные

Таким образом, при p < 1 интеграл сходится, а при p ³ 1 – расходится. Этот пример показывает, что несобственный интеграл с бесконечным разрывом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция «уходит» в бесконечность не медленнее, чем функция x− p с p < 1 .

Следующее важное обобщение понятия определённого интеграла заключается в том, что один или оба из пределов интегрирования являются бесконечными. Такие несобственные интегралы с бесконечными преде-

лами интегрирования определяются с помощью предельных переходов следующим образом

[Введите текст]

Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Лекция 36. Функции многих переменных

36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.

Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству

D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действи-

тельное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .

В символической записи это выглядит следующим образом:

z = f ( x, y), ( x, y) D .

Множество D называется областью определения этой функции, а множество соответствующих значений z называется областью значений функции.

Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции

253

[Введите текст]

z = 1 − x2 − y2 .

Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 + y2 + z2 = 1, поэтому её геометрический образ – полусфера радиуса R = 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy .

Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те точки, в которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой

f ( x, y) = C, C = const .

Эта кривая есть проекция на плоскость xOy точек пересечения поверхности z = f ( x, y) и плоскости z = C . По картине линий уровня можно получить представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).

10

5

0

-5

-10 4

вокупность точек M ( x, y) , удовлетворяющих неравенству

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < ε2 .

Будем говорить, что последовательность точек

(x1, y1 ),(x2 , y2 ),K,(xn , yn ),K

254

[Введите текст]

стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние

dn = (xn − x0 )2 + ( yn − y0 )2

между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю при n → ∞ .

Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей

Определение предела функции двух переменных по форме ничем не отличается от определения предела функции одной переменной: число A называется пределом функции z = f ( x, y) если для любой последова-

существует предела в начале координат.

Рис. 36.2

255

[Введите текст]

Действительно, пусть точка ( x, y) движется к началу координат по прямой y = kx, 0 < k < +∞ . Тогда

т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным направлениям получаются различные «предельные» значения функции (см. рис. 36.2).

Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что

∙функция определена в данной точке и некоторой её окрестности;

∙существует предел функции в этой точке;

∙предел функции равен значению функции в этой точке.

При нарушении хотя бы одного из этих условий, говорят, что функция имеет разрыв в данной точке. Свойство непрерывности через приращения выражается так

т.е. непрерывность означает, что «малым» изменениям аргументов соответствуют «малые» изменения функции. Ясно, что эти понятия легко распространить на функции многих переменных.

Если функция непрерывна в любой точке некоторой области, то говорят, что она непрерывна в этой области. Убедитесь, пользуясь определением непрерывности, что функция z = x2 + y2 непрерывна в любой точке плоскости.

36.3. Частные производные, производная по направлению. Для функции одной переменной производная в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В случае функции двух переменных приращения аргументов (Dx, Dy) из данной точки M 0 (x0 , y0 ) в точку M (x0 + x, y0 + y) могут быть сделаны в любом направлении на плоскости. Это приводит к понятию производной функции по направлению, которая характеризует скорость изменения функции в выбранном направлении.

Начнем с простейшего случая, когда приращения происходят в направлении оси абсцисс, т.е. когда Dx ¹ 0, Dy = 0 . В этом случае предел

256

называется частной производной функции f ( x, y) по переменной x в

точке M 0 (x0 , y0 ) . Аналогично можно определить частную производную по переменной y

Из этих определений непосредственно следует, что для нахождения частной производной по данной переменной остальные переменные фиксируются и по обычным правилам дифференцирования отыскивается производная функции этой переменной. Например,

рой в этой точке существуют частные производные. Зафиксируем одну из переменных, например, переменную x .

z( y) = f (x0 , y)

M 0

y

(x0 , y0 )

α

Рис. 36.3

257

[Введите текст]

Тогда в плоскости x = x0 (см. рис. 36.3) мы получаем функцию одной пе-

значению частной производной по y функции f ( x, y) в точке M 0 (x0 , y0 )

где β – угол между касательной BM 0 к кривой z( y) = f (x0 , y) в точке M 0 и плоскостью xOy . Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

Нас интересует, как быстро меняется значение функции при движении

M0 ( x0 , y0 ) α

x

Рис. 1.5

Тогда координаты точки M ( x, y) равны: x = x0 + Dx = x0 + Ds × cosα , y = y0 + Dy = y0 + Ds ×sinα , а приращение функции в этом направлении

258

[Введите текст]

Ds z = f (x0 + Ds ×cosα , y0 + Ds ×sinα ) - f (x0 , y0 ) .

259