9701

Интегрируем по частям u = ln x, du = 1 dx, dv = dx, v = x x

Формула Ньютона – Лейбница даёт возможность установить правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычис-

лить интеграл

b

∫ f (x)d x ,

a

Рис. 34.2

При этих условиях имеют место формулы

Приведём доказательство первой из них. Пусть F ( x) – одна из пер-

a

другой

β

∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)d t = F (ϕ(t) βα = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) = F (b) − F (a) .

α

Аналогично можно убедиться в справедливости второго равенства в (34.1). Следует заметить, что, в отличие от замены переменной в неопределённом интеграле, здесь нет необходимости возвращаться к «старой» переменной. Если вычислены правые из интегралов (34.1), то, тем самым, вычислены и левые интегралы. Излишне упоминать, что не каждая подстановка ведёт к упрощению: какую замену переменной следует применять –

это может подсказать лишь опыт.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, заданным

Опыт вычисления неопределённых интегралов «подсказывает» замену пе-

Переходя к пределу при n → ∞ , причём так, что длина максимального из

частичных отрезков λ = max(Δϕk ) стремится к нулю, получаем

k

Замечание. Если начало координат находится внутри области, ограниченной замкнутой кривой ρ = ρ(ϕ) , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , то площадь вычисляется по формуле

2π

S = 1 ∫ ρ2 (ϕ )dϕ .

2 0

Пример 1. Вычислить площадь круга, граница которого задана уравнением x2 + y2 = R2 . Ясно, что достаточно найти площадь четверти круга

(см. рис. 34.4).

y

y = R2 − x2

x

O R

Рис. 34.4

Если вычисления проводить в декартовой системе координат, то получается «плохой» интеграл

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную одним витком спирали Архимеда и полярной осью. Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущуюся по лучу, исходящему из

243

полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. В полярной системе координат её уравнение имеет вид ρ = aϕ , a > 0, a = const . Один виток спирали получается при повороте луча на угол ϕ = 2π . Искомая площадь выражается интегралом

ϕ P

O

Рис. 34.5

34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, за-

данными параметрически. Интерпретируя определённый интеграл площадью криволинейной трапеции, мы предполагали, что кривая y = f ( x) задана в явном виде. А как быть, если границы фигуры заданы параметрическими уравнениями? Заметим, что задание кривой в явном виде – это частный случай её параметрического задания, когда в качестве параметра избрана переменная x :

В выборе параметра мы располагаем большой свободой. Например, при вычислении площади эллипса мы представляли его уравнение в параметрическом виде следующим образом:

Таким образом, замена переменной в определённом интеграле – это, по сути, переход к другой параметризации кривой y = f ( x) . Поэтому, если часть кривой, площадь под которой нас интересует, задана параметрически, то применяется формула

244

Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла

В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.

35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [ a, b ] . Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей и через точки деления проводим плоскости P , перпендикулярные оси Ox . Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.

«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S (xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен сумме объёмов таких цилиндров

n

V ≈ ∑ S (xk ) xk

k =1

Точное значение объёма получим, увеличивая число n точек деления от-

z

лярно оси Ox . Сечение тела представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого

35.2. Вычисление объёмов тел вращения. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f ( x) , a ≤ x ≤ b , вращается относительно оси Ox . Найдём объём полученного тела вращения.

y = f (x)

Рис. 35.3

Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого

247

Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вра-

y1 = a − r 2 − x2

a

r

x

Рис. 35.4

Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при вра-

мы предполагали, что подынтегральная функция f ( x) непрерывна, а промежуток интегрирования [ a, b ] конечной длины. Распространим понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть функция имеет в промежутке [ a, b ] разрывы первого рода. В этом случае под интегралом функции следует понимать сумму интегралов

b c b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,

a a c

взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерыв-

ной (см. рис. 35.5).

f (x)

Рис. 35.5

При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.

Иначе обстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл

не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6). Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x = ε и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу