9631

Лекция 44. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Ранее мы рассмотрели несколько типов дифференциальных уравнений второго порядка, которые путем соответствующей замены переменной приводились к дифференциальным уравнениям первого порядка. Теперь мы перейдём к изучению важного класса линейных дифференциальных уравнений второго порядка, в которые неизвестная функция и ее производные входят линейно, т.е. имеющих вид

где функции ai (x) , i 1,2,3 называют коэффициентами этого уравнения. Не умаляя общности, будем считать, что a0 (x) 1, т.к. к такому виду можно привести уравнение (44.1) после деления на a0 (x) 0 . Если правая часть этого уравнения равна нулю

то такое уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.

Будем предполагать, что функции a1 (x), a2 (x) и f (x) непрерывны в интервале (a,b) . Записав уравнение следующим образом

y a1 (x) y a2 (x) y f (x) ,

замечаем, что оно является частным случаем уравнения

и, следовательно, условия теоремы Коши выполнены. Поэтому при любых начальных условиях

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y1, x0 (a,b) (44.3)

уравнение (44.2) имеет единственное решение.

44.1. Линейный осциллятор. Уравнение вида (44.1) служит математической моделью разнообразных колебательных физических процессов. Например, рассмотрим движение груза массы m , подвешенного на пружине, массой которой пренебрегаем (см. рис. 44.1).

Рис. 44.1

Предполагаем, что взаимодействие груза и пружины описывается законом Гука (сила пропорциональна удлинению). Вес груза mg ,

вызвавший удлинение l пружины, уравновешивается силой упругости, т.е. k l mg . Введём систему координат, приняв за начало точку O –

положение равновесия груза на пружине. Выведем груз из положения

Предположим также, что среда, в которой движется груз, оказывает сопротивление движению, пропорциональное (с коэффициентом пропорциональности h ) скорости движения. Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим

mx hx k( l x) mg ,

откуда следует уравнение вида (44.2) mx hx kx 0 .

Другой пример относится к электрическому контуру с конденсатором ёмкости C , самоиндукцией L и сопротивлением R (см. рис. 44.2). Пусть q – заряд конденсатора и, следовательно, I q – сила тока в контуре. На

обкладках конденсатора возникает напряжение q / C , в самоиндукции – ЭДС, равная L dI / dt , а падение напряжения на сопротивлении равно RI

. В силу закона Кирхгофа получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

q RL q LC1 q 0 ,

описывающее изменение заряда в этом контуре.

Рис. 44.2

Рассмотренные в этом пункте математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.

44.2. Структура общего решения дифференциального уравнения второго порядка. Прежде, чем находить решения, отметим важные свойства однородного уравнения (44.2). Пусть y1 (x) и y2 (x) – два каких-

также будет его решением. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой

(C1 y1 C2 y2 ) a1 (x)(C1 y1 C2 y2 ) a2 (x)(C1 y1 C2 y2 )

C1 ( y1 a1 (x) y1 a2 (x) y1 ) C2 ( y2 a1(x) y2 a2 (x) y2 ) 0 .

Теперь возникает вопрос: «не исчерпывают» ли линейные комбинации двух линейно независимых решений дифференциального уравнения (44.2) множество всех решений этого уравнения? Ответ на этот вопрос утвердителен.

В самом деле, пусть y* (x) – некоторое решение, удовлетворяющее

начальным условиям

y* (x0 ) y0 , y* (x0 ) y1 .

Покажем, что при некоторых значениях C1 и C2 линейная комбинация (44.4) совпадает с y* (x) . Для этого в силу единственности решения задачи Коши требуется, чтобы при некоторых C1 и C2 совпадали начальные условия этой

линейной комбинации и выбранного решения, т.е. система линейных алгебраических уравнений

имела единственное решение. Убедимся, что определитель этой системы,

называемый определителем Вронского

отличен от нуля.

Действительно, если предположить от противного, что этот определитель равен нулю, то соответствующая система однородных уравнений

которая также является решением дифференциального уравнения (44.2). Согласно (44.6) эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям. В силу теоремы единственности решения задачи Коши отсюда будет следовать, что она тождественно равна нулю, т.е.

определитель Вронского не равен нулю. Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка представляет собой линейную комбинацию любых двух его непропорциональных (линейно независимых) решений.

Перейдем теперь к неоднородному уравнению

Пусть y(x) – какое-нибудь его решение. Покажем, что общее решение уравнения (44.7) имеет вид

где y1 (x) и y2 (x) – два каких-либо линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения. В самом деле,

(C1 y1 C2 y2 y ) a1 (C1 y1 C2 y2 y ) a2 (C1 y1 C2 y2 y )

C1 ( y1 a1 y1 a2 y1 ) C2 ( y2 a1 y2 a2 y2 )

( y a1 y a2 y) f (x) ,

т.е. функция (44.8) будет решением уравнения (44.7) при любых значениях C1 и C2 . Очевидно, что для произвольного решения неоднородного

уравнения с заданными начальными условиями, решая линейную систему алгебраических уравнений, можно найти значения C1 и C2 , при которых

выбранное решение будет совпадать с функцией (44.8). Таким образом, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Лекция 45. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Особенно просто находятся решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

которое называют характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения.

Возможны следующие варианты. Если уравнение (45.2) имеет два различных действительных корня 1 и 2 , то функции y1 e 1x и y2 e 2 x –

непропорциональные решения уравнения (45.1) (их отношение, очевидно, не равно постоянной величине). В этом случае общее решение уравнения (45.1) имеет вид

yC1e 1x C2e 2 x .

Вкачестве иллюстрации рассмотрим движение груза на пружинке. Напомним, что отклонение y(t) груза массы m от положения равновесия

под действием внешней силы f1 (t) приводит к уравнению

my hy ky f1 (t) ,

где второй член уравнения характеризует силу сопротивления среды, а третий «отвечает» за упругую силу пружины. По смыслу задачи коэффициенты h и k положительны. Введя очевидные обозначения, перепишем это уравнение следующим образом

заданию в начальный момент t0 0 положения груза и его начальной скорости. Рассмотрим сначала однородное уравнение

Это означает, что внешняя сила отсутствует. Корни характеристического уравнения определяются формулой

Положение груза в момент времени t определяется формулой

y(t) C1*e 1t C2*e 2 t ,

где конкретные значения постоянных C1*, C2* находим с помощью начальных условий. Поскольку корни характеристического уравнения

Начальные условия означают, что пружину растянули и груз «толкнули» в

y(t)=(1+2t)exp(-t)

0.8

0.6

0.4y"+7y'+6y=0

y(0)=1,y'(0)=1

0.2

y(t)=1.4exp(-t)-0.4exp(-6t)

случае говорят, что 1 – корень кратности два). Из предыдущего следует, что функция y1 e 1x будет решением дифференциального уравнения (45.1). Убедимся непосредственной подстановкой, что функция y2 xe 1x также будет решением этого уравнения

(xy1) a1(xy1) a2 (xy1) ( y1 xy1 ) a1( y1 xy1 ) a2 (xy1)

x( y1 a1 y1 a2 y1) 2y1 a1 y1 0 (2 1 a1)e 1x 0 .

Так как функции y1 e 1x и y2 xe 1x непропорциональны, то в этом случае общее решение уравнения (45.1) имеет вид

yC1e 1x C2 xe 1x e 1x (C1 C2 x) .

Вмодели движения груза на пружинке рассматриваемому случаю

соответствует равенство a12 / 4 a2 0 , когда корни характеристического уравнения равны 1,2 a1 / 2 . В физическом плане это означает, что сила

сопротивления и сила упругости пружины «уравновешены» в смысле указанного равенства. Тогда положение груза в момент времени t определяется формулой

график решения y(t) (1 2t)e t также приведён на рис. 45.1. Сначала груз

движется под действием начального «толчка», а потом стремится к положению равновесия.

Остался последний случай – уравнение (45.2) имеет комплексные

дифференциальное уравнение будет иметь решением комплекснозначные функции вида e( i) x . Выделим из них вещественные решения.

Применяя знаменитую формулу Эйлера

e( i) x e x (cos x i sin x) ,

можно убедиться, что в этом случае действительная и мнимая части этой

непропорциональных вещественных решений уравнения (45.1), а его общее решение имеет вид

ye x (C1 cos x C2 sin x) .

Вмодели движения груза на пружине этот случай характеризуется неравенством a12 / 4 a2 0 , физический смысл которого состоит в том, что

упругая сила пружины превосходит силу сопротивления среды. Обозначим, для краткости, корни характеристического уравнения

Вещественное решение уравнения, как мы показали ранее, имеет вид

y(t) e t (C1 cos t C2 sin t) .

Из школьного курса физики известно, что сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой снова гармоническое колебание с той же частотой. Действительно,

С12 С22 sin 0 cos t cos 0 sin t С12 С22 sin( t 0 ) .

Таким образом, груз будет совершать затухающие колебания с частотой по закону, описываемому функцией

Это так называемые собственные колебания изучаемой физической системы. Напомним, что рассмотренные модели вида (45.1), которые описывают движение груза на пружине или изменения заряда в электрическом контуре, мы называли линейным осциллятором.

Рассмотрим конкретный пример

Рис. 45.2

В идеальном случае, когда сопротивление среды отсутствует, уравнение y a2 y 0 удобно записать в виде y 2 y 0 . Его решение

представляет собой гармонические незатухающие колебания с частотой .

Лекция 46. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами