9627
.pdfисходного линейного дифференциального уравнения в виде
y u(x,C)v (x) .
В качестве примера вернемся к уравнению m |
dy |
mg ky , которое |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
||
описывает |
изменение скорости y(t) падающего |
|
тела. |
Приведем это |
||||
уравнение к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ay g , |
|
|
|
|
|
|
|
где для краткости a k / m . Подстановка |
y uv |
|
приводит сначала к |
|||||
уравнению |
v av 0 , решение которого |
v (t) e at . |
Далее получим |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение |
u geat , откуда найдем |
u |
g |
eat |
C . Наконец, |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
a |
|
получим общее решение исходного уравнения
y(t) (g a Ce at ) .
Отметим, что так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид
y p(x) y q(x) y 0 ,
сводится к линейному уравнению следующим образом. Будем считать, что0 и 1, т.к. оба эти случая соответствуют линейным уравнениям.
Поделим обе части уравнения на y
yy p(x) y1 q(x) 0
и введем новую переменную z y1 . В новых переменных исходное уравнение будет линейным
1z p(x)z q(x) 0 .
42.2.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Теперь остановимся на приближенных методах. Сначала рассмотрим метод Пикара (метод последовательных приближений). Представим задачу Коши
y f (x, y), |
y(x0 ) y0 |
в следующем эквивалентном виде: найти функцию y(x) такую, что
y(x) y0 x f (x, y(x))dx .
x0
Фактически, мы заменили дифференциальное уравнение интегральным
уравнением, в котором неизвестная функция |
y(x) входит ещё и под знак |
||||||||
интеграла. Если |
под знаком интеграла |
функцию |
y(x) заменить её |
||||||
значением y0 , получим так называемое первое приближение |
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y1(x) y0 |
|
|
f (x, y0 )dx . |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
Затем заменяем |
y(x) найденной функцией |
y1 (x) |
и получаем второе |
||||||
приближение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y2 (x) y0 |
|
f (x, y1(x))dx . |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
Продолжая процесс далее, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
yn (x) y0 |
|
|
f (x, yn 1(x))dx . |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем последовательность функций |
|
||||||||
|
y1 (x), y2 (x), |
|
, yn (x), |
(42.2) |
Оказывается, что при определенных условиях эта последовательность сходится к решению исходной задачи Коши. Под этим понимается, что для каждого x из рассматриваемого интервала числовая последовательность (42.2) имеет пределом соответствующее значение решения y(x) .
Справедлива следующая теорема, которую приведём без доказательства. Теорема. Пусть в окрестности точки (x0 , y0 ) функция f (x, y) и ее
частная производная fy (x, y) непрерывны. Тогда в некотором интервале, содержащем точку x0 , последовательность функций (42.2) сходится к функции y(x) , являющейся решением задачи Коши для данного уравнения.
Пример. Решим этим методом следующую задачу
|
|
y x y, |
y(0) |
1, y(x) |
? |
|
|||
Запишем |
уравнение |
в |
интегральной |
форме |
|
|
y(x) 1 x (x y)dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Подставив |
под знаком |
интеграла вместо неизвестной функции y(x) |
|||||||
начальное значение |
y0 1 , получим первое приближение |
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) 1 |
|
(x 1)dx 1 x |
|
. |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе приближение получаем, вычисляя интеграл |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
(x) 1 x |
(x y (x))dx 1 x x2 |
x3 . |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2=1-x+x2-x3/6 |
|
|
|
||
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=2exp(-x)+x-1 |
|
|
||
|
0.6 |
|
|
|
y1=1-x+0.5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.50 |
|
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 42.1 |
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 42.1 приведены графики точного решения |
y(x) 2e x x 1 и два |
|||||||||||
полученных приближения. Существуют оценки погрешности метода |
||||||||||||
Пикара, которые мы здесь рассматривать не будем. Важно знать, что они |
||||||||||||
существуют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь перейдем к численным методам приближенного решения |
||||||||||||
дифференциального уравнения первого порядка. Численно решить |
||||||||||||
дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y f (x, y), |
y(x0 ) y0 |
|
|
|
|
|
||
это значит, |
что |
для заданной последовательности аргументов |
x1, x2 , , xn |
|||||||||
найти такие значения |
y1, y2 , |
, yn , что |
yk |
y(xk ) , |
k 1, 2, |
, n , |
где |
y(x) |
||||
искомое решение уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим один из самых простых численных методов – метод |
||||||||||||
Эйлера. Идеи, положенные в его основу, являются исходными для ряда |
||||||||||||
других, более точных методов. Пусть требуется найти решение уравнения |
||||||||||||
на отрезке |
[x0 , x0 H |
]. Разобьём отрезок на n равных частей и получим |
||||||||||
последовательность точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
xk x0 kh, |
k 0,1, |
, n 1, |
h H / n . |
В точке (x0 , y0 ) известно направление поля f (x0 , y0 ) , т.е. угловой коэффициент касательной к неизвестной интегральной кривой. Поэтому из
уравнения касательной в этой точке y y0 |
f (x0 , y0 )(x x0 ) |
мы можем |
||
получить приближённое значение ординаты |
y1 y(x1 ) |
искомой |
кривой |
|
(см. рис. 42.2) |
|
|
|
|
y1 y0 f (x0 , y0 )(x1 x0 ) y0 f (x0 , y0 )h . |
|
|
||
В точке (x1, y1) нам опять известно направление поля |
f (x1, y1 ) |
и |
можно |
|
вычислить y2 y(x2 ) |
|
|
|
|
y2 y1 f (x1, y1 )h .
Таким образом, приближённо искомая интегральная кривая заменяется ломаной и приближённые значения искомого решения вычисляются по формуле
yk yk 1 f (xk 1, yk 1 )h .
Решение уравнения представляется в виде таблицы с шагом аргумента h
График прибл. реш.
Точное
реш.
Рис. 42.2
Пример. Методом Эйлера на отрезке [ 0;0,8 ] получить решение
уравнения y |
y x |
, |
y(0) 1. |
|
|
y x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На рис. 42.3 |
приведен график точного решения y(x) x |
2x2 1 , |
которое можно получить, решив уравнение как однородное (решите!), а
также графики приближённых решений, |
вычисленные с шагом h 0,2 |
(нижняя ломаная) и h 0,1 (средняя |
кривая) соответственно. Для |
сравнения приведены также значения точного и приближённых решений в соответствующих точках.
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.8 |
X: 0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
Y: 2.31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y: 2.269 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.7 |
X: 0.7 |
|
|
|
y=x+sqrt(2x2+1) |
|
Y: 2.107 |
|
|||
|
|
|
Y: 2.066 |
X: 0.8 |
||||
|
|
|
|
|
X: 0.6 |
|
|
Y: 2.224 |
2 |
|
|
|
|
X: 0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
Y: 1.911 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Y: 1.872 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y: 1.725 |
|
X: 0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h=0.1 |
X: 0.4 |
X: 0.4 |
|
Y: 1.828 |
|
|
|
|
|
|
Y: 1.549 |
X: 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
Y: 1.516 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Y: 1.688 |
|
|
|
|
|
|
X: 0.3 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y: 1.386 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.2 |
|
|
X: 0.4 |
|
h=0.2 |
|
|
|
X: 0.2 |
|
Y: 1.48 |
|
|
|
|
|
|
Y: 1.239 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Y: 1.22 |
X: 0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
X: 0.1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Y: 1.359 |
|
|
|
|
|
|
|
Y: 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X:0.2
Y:1.2
10 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
Рис. 42.3
Лекция 43. Дифференциальные уравнения второго порядка
43.1. Задача Коши. Перейдем теперь к изучению дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид этого уравнения следующий
F (x, y, y , y ) 0 . |
(43.1) |
Если из этого уравнения можно выразить старшую производную как функцию остальных переменных
y |
|
|
(43.2) |
|
f (x, y, y ) , |
то такое его представление называют формой Коши.
Общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Например, уравнение y x легко решается
путем повторного интегрирования
y x C1 , y x2 C1x C2 . 2
Для выделения частного решения требуется задать два условия. Один из возможных вариантов их задания представляет собой задачу Коши, состоящую в нахождении решения y(x) , удовлетворяющего заданным
начальным условиям |
|
|
y(x0 ) y0 , |
y (x0 ) y1 . |
(43.3) |
Геометрически они означают, что интегральная кривая проходит через заданную точку (x0 , y0 ) и касательная к интегральной кривой в этой точке
имеет заданный угловой коэффициент y1 . Условия существования и
единственности решения задачи Коши формулируются в следующей теореме.
Теорема Коши. Пусть функции f (x, y, y ) , f y (x, y, y ) и f y (x, y, y ) непрерывны в некоторой окрестности точки (x0 , y0 , y1 ) трехмерного
пространства. Тогда существует и единственно решение уравнения (43.2), удовлетворяющее начальным условиям (43.3).
В отличие от дифференциального уравнения первого порядка, для которого при выполнении условий теоремы Коши интегральные кривые не пересекались на плоскости (x, y) , для дифференциального уравнения
второго |
порядка |
они, вообще |
говоря, |
пересекаются в |
этой |
плоскости. |
Однако, |
если |
рассмотреть |
кривые |
|
в |
трехмерном |
(x, y(x), y (x)) |
пространстве (x, y, y ) , то согласно теореме Коши они не пересекаются.
43.2. Задача о цепной линии. Прежде, чем перейти к изложению некоторых методов решения дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрим задачу о так называемой цепной линии: какую форму
принимает под действием силы тяжести однородная гибкая нерастяжимая тяжёлая нить с закреплёнными концами?
Эта задача возникла очень давно. Леонардо да Винчи (1452-1519) считал, что нить примет форму дуги окружности (если стрела прогиба нити невелика), а голландский математик Альбер Жирар (1595-1633) высказал предположение, что нить примет форму параболы. Получим дифференциальное уравнение, решением которого и будет функция, описывающая форму цепной линии. Выберем систему координат как на рис.
43.1.
|
Рис. 43.1 |
|
|
|
Рассмотрим часть кривой |
AB |
так, что касательная в точке |
A |
|
горизонтальна. На неё действуют следующие силы: в точке |
A |
– |
||
горизонтальное натяжение H , в точке |
B – направленное по касательной |
|||
натяжение T и вес части нити |
AB , |
пропорциональный её длине. Вес |
участка AB равен ∙ , где p – вес единицы длины нити, а s – длина дуги
AB . Согласно условиям равновесия сумма проекций вертикальных и горизонтальных составляющих всех сил должна быть равной нулю. Поэтому получаем
T cos HT sin p s .
Разделив второе равенство на первое, находим
tg yx dy p s . dx H
Наша задача свелась к решению этого дифференциального уравнения. Для того чтобы исключить переменную s , продифференцируем его по переменной x . В итоге получаем
y |
|
p |
|
d s |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xx |
|
H d x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как дифференциал дуги равен |
|
|
|
ds |
1 y 2 dx , |
то получим |
||
дифференциальное уравнение второго порядка |
|
|
|
y Hp 1 y 2 .
Решим его, понизив порядок уравнения. |
|
|
|
Введем новую переменную z , |
||||||||||||||||||||||||||||||
обозначив |
y (x) z(x) , и пусть, для краткости, |
|
p |
|
1 |
. Тогда уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
a |
|
|
||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
«Разделим» переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Интегрируя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
C . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
z 1 z2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из условия, что при x |
|
|
|
|
|
|
|
0 (см. рис. 43.1), следует C 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
0 y (0) z(0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
1 z2 ex a . |
|
|
|
|
|
(43.4) |
|||||||||||||||||||||
|
Для того чтобы выразить z , умножим обе части этого равенства на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 )ex a |
|
|
|
|
|
1 z e x a . |
|||||||||||||||||
z |
|
1 z2 |
и получим |
1 (z |
или |
|
z |
Сложив (43.4) с последним равенством, приходим к дифференциальному уравнению первого порядка
z y 12 exa e xa .
Интегрируя, находим |
y |
a |
ex a e x a C1 . |
|
|||
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 43.2 |
|
|
|
|
Ясно, что любая кривая этого семейства имеет одну и ту же форму цепной линии
y a2 exa e xa a ch ax .
На рис. 43.2 эта кривая приведена для сравнения вместе с параболой. Таким образом, оказывается, что нить принимает форму
гиперболического косинуса. В оправдание выдающихся ученых, занимающихся этой задачей, стоит сказать, что в то время ещё не было показательной функции с основанием e 2,71828... . Задачу о провисающей верёвке решил в 1697г. оксфордский астроном и математик Д. Грегори (1661-1708).
43.3. Методы понижения порядка уравнения. Для решения задачи о цепной линии был использован метод, который применяется для дифференциальных уравнений второго порядка вида
y |
|
|
|
|
|
|
f (x, y ) , |
|
|||
не содержащего явно переменной |
y . |
|
|||
Другой метод относится к уравнениям, не содержащим явно |
|||||
независимой переменной x , т.е. |
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
(43.5) |
|
|
|
f ( y, y ) . |
Введем новую функцию p p( y) так, чтобы выполнялось y (x) p( y(x)) . При этом предполагается, что y(x) const , так как в этом случае этот метод
не применим (поэтому наличие таких решений нужно проверять отдельно). Найдем
y dpdy dydx dpdy p .
Тогда уравнение (43.5) сводится к уравнению первого порядка
dpdy p f ( y, p)
относительно неизвестной функции p p( y) . Пусть p p( y,C1 ) – его
общее решение. Возвращаясь к исходной переменной, получим дифференциальное уравнение первого порядка
dydx p( y,C1 )
с разделяющимися переменными, решая которое, окончательно найдем общее решение уравнения (43.5)
dy
p( y,C1) x C2 .
Заметим, что решение получилось как зависимость x x( y,C1,C2 ) .