9613

или иными словами, для которой полный дифференциал определяется по формуле

dU P(x, y)dx Q(x, y)dy .(56.4)

Данную теорему надо понимать следующим образом: если одно из ее утверждений выполняется, то выполняются и все остальные. Поэтому доказать теорему можно по схеме: 1) 4) 3) 2) 1), из которой будет следовать эквивалентность всех утверждений. Приведем реализацию лишь последних двух фрагментов этой схемы. Покажем, что из справедливости 3) вытекает 2).

Итак, пусть Py (x, y) Qx (x, y) в области Dи пусть C произвольный

замкнутый контур без самопересечений, целиком лежащий в области D, аD1есть область, ограниченная контуром C . По формуле Грина

Таким образом, криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру C равен нулю.

Докажем, что из справедливости 2) следует 1). Пусть M1 и M 2 любые две точки из области Dи пусть L1 и L2 два пути, их соединяющие (рис. 56.1,а).

Рис. 56.1

Пусть C есть контур M1 AM 2 BM1 . По условию интеграл по контуру C

равен нулю. Свойства криволинейных интегралов позволяют записать цепочку равенств:

вышеприведенное равенство доказывается несколько сложнее (рис. 56.2,б). Пусть функции P(x, y), Q(x, y) таковы, что выполняются условия выше

сформулированной теоремы. Как находить потенциальную функцию U (x, y) , о которой говорится в утверждении 4)? Заметим, что эта задача

является обобщением на двумерный случай задачи о нахождении первообразных для функций от одной переменной.

Будем рассуждать следующим образом. Пусть M0 (x0 , y0 ) – некоторая фиксированная точка в области D, а M (x, y) – произвольная точка в области D. В силу теоремы, криволинейный интеграл

P(x, y)dx Q(x, y)dy

M0M1

аэто говорит о том, что функции U1 (x, y) и U0 (x, y) отличаются друг от

друга на постоянную величину (также как любые две первообразные для одной и той же функции).

Для вычисления значений функции U0 (x, y) можно опять

воспользоваться независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пусть точка M (x, y) лежит в областиD. Предположим, что

ломаная M 0 M1M (для которой M 0 M1 параллельна оси OX , а M1M параллельна оси OY ) целиком лежит в областиD. В этом случае точка M1 имеет координаты ( x, y0 ) . При этом вдоль отрезка M 0 M1 нет изменения переменной y и потому dy 0, а вдоль отрезка M1M нет изменения переменной xи потому dx 0 . В таком случае будем иметь

Если ломаная М0М1М не лежит целиком в областиD, то можно построить ступенчатую ломаную, звенья которой будут параллельны осям координат и которая целиком лежит в областиD. Тогда значение функцииU0 (x, y)

будет равно суммеинтегралов по соответствующим переменным по каждому звену этой ломаной.

Оно означает, что работа по перемещению материального тела из одной точки пространства в другую равна разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках перемещения.

Пусть дано силовое поле

Покажем, что это поле потенциальное, найдем потенциальную функцию и определим работу по перемещению материального объекта из точки A(2, 1)

в точку B(3, 4) . Находим

Так как эти производные совпадают, то данное поле действительно является потенциальным. Для нахождения потенциальной функции воспользуемся

формулой (3.7), взяв в качестве точки M 0 (x0 , y0 ) точку M0 (1, 1) . Итак,

Потенциальная функция определяется с точностью до постоянной величины. Поэтому в качестве потенциальной функции данного силового

поля можно взять и функцию U (x, y) 12 ln( x2 y2 ) . Работу W по

перемещению материального объекта из точки A(2, 1) в точку B(3, 4) определяем теперь как разность потенциалов в этих точках т.е.

WU(B) U(A) U(3,4) U(2,1) 12 ln 25 12 ln5 12 ln5.

56.2.Случай пространственного силового поля. Для пространственного силового поля

F (x, y, z) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) (56.9)

аналог теоремы, сформулированной в пункте 55.1, звучит следующим образом.

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

ичастныепроизводные

Py (x, y, z), Pz (x, y, z), Qx (x, y, z), Qz (x, y, z), Rx (x, y, z), Ry (x, y, z)

непрерывны в односвязной пространственной областиD, то следующие утверждения эквивалентны:

1) Если замкнутый контур L , целиком лежит в областиD, то

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz 0.

L

2) Для любых двух точек A и B, целиком лежащих в области D, криволинейный интеграл

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

или, иными словами, для которой полный дифференциал определяется по формуле

dU P(x, y, z) dx Q(x, y, z) dy R(x, y, z)dz .(56.12)

Нахождение потенциальной функции по ее полному дифференциалу в пространстве происходит по схеме, аналогичной плоскому случаю.

Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка в области D, а M (x, y, z) – произвольная точка в области D. Рассмотрим функцию

M0 M

Для вычисления ее значений можно опять воспользоваться независимостью

OX , M1M 2 параллельна оси OY , а M 2 M параллельна оси OZ . При этом ломаная не выходит за пределы области. В этом случае точка M1 имеет координаты (x, y0 , z0 ) , а точка M 2 имеет координаты (x, y, z0 ) .

Пусть

( , , )

2( , , 0)

0(0, 0, 0)

1( , 0, 0)

Рис. 56.2

В качестве конкретного примера рассмотрим поле силы тяжести. На

тело массы m вблизи поверхности земли, которую будем считать плоской,

действует направленная вертикально вниз сила тяжести F , величина которой равна mg ( g – ускорение свободного падения).

Рис. 56.3

Очевидно, что в данной ситуации

P(x, y, z) 0, Q(x, y, z 0, R(x, y, z) mg

и условия (56.11) выполнены. Отсюда и из формулы (56.14) следует, что работа при перемещении материального тела из точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) в точку

M (x, y, z) будет равна

принимает вид U (x, y, z) mgz C .Принимая значение этой функции на поверхности земли (z 0) равным 0, получаем, что потенциалом поля силы тяжести является функция

U (x, y, z) mgz .

Раздел 11. Ряды

Лекция 57. Ряды

В данном разделе мы познакомимся с математическим обоснованием тех вычислительных процедур, которые реализуются (но которые мы даже не замечаем) при использовании в расчетах значений алгебраических, тригонометрических, и более сложной природы функций. Если до появления компьютеров приходилось обращаться к соответствующим таблицам (не задумываясь о том, как они составлены), то теперь вычисление их значений доверяется компьютерам. Но любой компьютер может выполнять лишь четыре арифметических и несколько простейших логических операций (правда, с очень большой скоростью). Теория рядов раскрывает и обосновывает возможность вычисления значения любой функции с заданной точностью путем выполнения указанных простейших операций.

Итак, пусть дан ряд (57.1) и пусть

Очевидно, что lim Sn и, следовательно, ряд (2) расходящийся.

n

Рассмотрим ряд (57.3). Для него последовательность частичных сумм выглядит следующим образом:

S1 1, S2 0 , S3 1, S4 0 ,..., S2n 1 1, S2n 0 .

Очевидно, что эта последовательностьпредела не имеет и потому ряд (57.3) расходящийся.

становится наглядно очевидным из Рис. 57.1. На нем представлен квадрат со стороной равной единице длины. Будем представлять первый член

суммы как площадь половины этого квадрата, второй – как площадь четверти квадрата и т.д. Интуитивно ясно, что сумма

Рис. 57.1

Рассмотрим теперь ряд (57.4). Он называется гармоническим рядом. Чтобы понять поведение частичных сумм S1, S2 ,...,,...этого ряда,

рассмотрим другой ряд :

12 14 14 18 18 18 18 161 161 161 161 161 161 161 161 161 321 ... 321 ...

Члены этого ряда получаются из членов гармонического ряда следующим образом: 1/3 заменяется на меньшее число 1/4, члены с 1/5 до 1/7 заменяются на меньшее число, равное 1/8, члены от 1/9 до 1/15 заменяются на меньшее число 1/16, члены с 1/17 до 1/31 заменяются на меньшее число 1/32 и т.д. Пусть S1 , S2 ,..., Sn ,... есть частичные суммы нового ряда.

нахождении суммы ряда в случае, если ряд сходится. Вторая задача гораздо сложнее первой, но в некоторых случаях и она поддается решению.