9531

tnab tkr ( ) , то гипотеза принимается, что говорит о незначимости выборочного ко-

эффициента корреляции, мало отличного от нуля. Если же tnab tkr ( ) , то гипотеза

отвергается, то есть выборочный коэффициент корреляции, а значит и уравнение регрессии, значимы. Значимость коэффициента корреляции говорит о том, что полученный по данной выборке коэффициент неслучайно отличен от нуля, а корреляционная зависимость между наблюдаемыми величинами существенна.

Аналогично строится критерий Фишера для проверки гипотезы H 0 {R 2 0} о значимости коэффициента детерминации R 2 :

наблюдаются вместе с переменной Y в многофакторной выборке ( yi x1i , x2i ,..., xmi ) объема n. Построим выборочную линейную регрессию в форме:

i 1

91

Подберем такие коэффициенты b , при которых суммарная ошибка регрессии минимальна, для этого рассмотрим условие минимума:

Таким образом, оценка для коэффициентов регрессии - построена. Матрица, входящая в выражение для коэффициентов имеет вид средних перекрестных произведений:

желательно исключить из модели регрессии. Аналогично проверяется гипотеза о значимости коэффициента детерминации H 0 {R 2 0} , соответствующей значимости

всего уравнения регрессии в целом. Сравнивая наблюдаемое значение критерия Fnab ,

92

Помимо значимости построенного уравнения регрессии, его качество оценивается так же отсутствием зависимости между объясняющими переменными Х r (мультиколлинеарности), отсутствием зависимости величины дисперсии ошибок De от переменных Х к и Y (гетероскедастичности), отсутствием зависимости ошибок ei yi yˆi между собой (например, автокорреляции).

Мультиколлинеарность приводит к неустойчивости обращения матрицы W, а ее устранение возможно путем исключения из регрессионной модели малозначимых и сильнозависимых объясняющих переменных (факторов). Для такого исключения

переменную Х к можно исключить из модели регрессии, если коэффициент детерминации при этом значимо не уменьшается.

Гетероскедастичность и автокорреляция могут быть установлены при помощи теста ранговой корреляции Спирмена и теста Дарбина-Уотсона соответственно [1]. Влияние этих нежелательных для качества регрессии факторов может быть ослаблено путем различного рода преобразования переменных регрессионной модели [9].

3. О нелинейной регрессии

Иногда линейная модель регрессии бывает недостаточной, с точки зрения ее качества и значимости, поэтому может быть использованы нелинейные модели. В простейшей форме нелинейность может быть учтена путем введения инструментальных

переменных zr r (xk ) , которые входят в модель регрессии обычным линейным

выявления циклических факторов в зависимостях. Например, нелинейная модель 2- го порядка может быть построена следующим образом (рис. 15.3):

где z2 x 2 - инструментальная переменная. Введение новых членов в модель регрессии, в том числе и инструментальных, оправдано тогда, когда значимо повышается коэффициент детерминации.

93