9527

20

Между мольными теплоемкостями при постоянном давлении и постоян-

ном объеме существует следующая зависимость:

μcp μcv μR 8,314 кДж/ (кг К). (39)

В технической термодинамике большое значение имеет отношение теп-

лоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, обозначаемое бук-

вой k:

kμcp cp . μcv cv

Если принять теплоемкость величиной постоянной, то получаем: для од-

ноатомных газов k = 1,67; для двухатомных газов k = 1,4; для трех- и много-

атомных газов k = 1,29.

Теплоемкость газов изменяется с изменением температуры, причем эта зависимость имеет криволинейный характер. При пользовании таблицами зна-

чения истинных теплоемкостей, а также средних теплоемкостей в пределах от 0

С° до t берут непосредственно из этих таблиц, причем в необходимых случаях производится интерполирование.

Количество теплоты, которое необходимо затратить в процессе нагрева-

ния 1 кг газа в интервале температур от t1 до t2,

где сm1 и ст2 – соответственно средние теплоемкости в пределах 0 °С – t1 и

0 °С – t2.

Из формулы (40) легко получить выражения для определения количества теплоты, затрачиваемой в процессе при постоянном объеме и в процессе при

постоянном давлении, т. е.

21

Нелинейную зависимость истинной теплоемкости от температуры пред-

ставляют обычно уравнением вида

c a bt dt2,

где а, b и d – величины, постоянные для данного газа.

Часто в теплотехнических расчетах нелинейную зависимость теплоемко-

сти от температуры заменяют близкой к ней линейной зависимостью. В этом случае истинная теплоемкость

ca bt,

асредняя теплоемкость при изменении температуры от t1 до t2

b

cm a 2(t1 t2),

где а и b – постоянные для данного газа.

Для средней теплоемкости в пределах 0 °С – t эта формула принимает вид

В табл. 2 приведены интерполяционные формулы для истинных и сред-

них мольных теплоемкостей при постоянном давлении, а в табл. 3 – для сред-

них массовых объемных теплоемкостей при постоянном объеме.

Теплоемкость газовой смеси

массовая

22

Таблица 2

Интерполяционные формулы для истинных и средних мольных теплоемкостей газов

Таблица 3

Интерполяционные формулы для средних массовых и объемных теплоемкостей газов

23

Задача

Воздух в количестве 6 м3 при давлении p1 = 0,3 МПа и температуре t1 = 25 °С нагревается при постоянном давлении до t2 = 130 °С.

Определить количество подведенной к воздуху теплоты, считая с = const.

Решение

Для данного случая формула (40) примет вид

Qp Mcp(t2 t1) Vнср(t2 t1).

Массу газа найдем из уравнения (16)

MpV1 1 0,3 106 6 21 кг, RT 287 298

аобъем газа при нормальных условиях – из уравнения (22)

На основании формул (36) и (37) и табл. 3 имеем

cp μcp 29,31 1,308 кДж/(м3 К). 22,4 22,4

Следовательно,

Qp Mcp(t2 t1) 21 1,012 105 2231 кДж

или

Qp Vнcp(t2 t1) 16,3 1,308 105 2239 кДж.

24

5. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

Первый закон термодинамики является частным случаем закона сохране-

ния и превращения энергии, впервые установленного основоположником рус-

ской науки М. В. Ломоносовым в замечательной по своей широте и значению формулировке закона сохранения и неуничтожаемости материи, движения и силы.

Первый закон термодинамики устанавливает эквивалентность при взаим-

ных превращениях механической и тепловой энергии и математически может быть выражен следующим образом:

Q L,

где Q – количество теплоты, превращенной в работу; L – работа, полученная за счет теплоты Q.

Количества теплоты Q и работы L измерены в данном случае в соответ-

ствии с системой единиц СИ – в одних и тех же единицах – в джоулях.

Так как за единицу работы принят Дж, то единицей мощности будет яв-

ляться Дж/с. Эта единица носит название ватт (Вт). В технике применяют более крупные единицы энергии (работы) и мощности: килоджоуль (кДж), мегаджо-

уль (МДж), киловатт (кВт), мегаватт (МВт), киловатт-час (кВт∙ч).

В промышленности до последнего времени за единицу тепловой энергии принимали калорию (кал), за единицу механической работы килограмм-силу-

метр, или килограммометр (кгс∙м), а за единицу мощности – килограммометр в секунду (кгс∙м/с). Так как эти единицы слишком малы, то в качестве практиче-

ских единиц были приняты килокалория (ккал), мегакалория (Мкал), ло-

шадиная сила (л.с.) и киловатт (кВт). Соответствующими единицами работы

(энергии) были приняты киловатт-час (кВт∙ч), лошадиная сила-час (л.с.ч.), а

мощности – килограммометр в секунду (кгс∙м/с).

Пользуясь первым законом термодинамики, можно определить коэффи-

циент полезного действия (к.п.д.) теплосиловых установок ηст, характеризую-

щий степень совершенства превращения ими теплоты в работу.

25

К.п.д. может быть вычислен, если известны расход топлива на 1 кВт∙ч и теплота сгорания топлива, т. е. то количество теплоты, которое выделяется при полном сгорании массовой или объемной единицы топлива.

Если расход топлива на 1 кВт∙ч (удельный расход топлива) b выражен в кг/(кВт∙ч), а теплота сгорания топлива Qнр – в кДж/кг, то к.п.д. теплосиловой установки

Аналитическое выражение первого закона термодинамики или основное уравнение теплоты в дифференциальной форме для любого тела

где dQ – количество теплоты, сообщенное извне рабочему телу массой М кг; dU – изменение внутренней энергии рабочего тела; dL – работа, совершенная рабочим телом по преодолению внешнего давления, «внешняя работа» расши-

рения.

Каждый из трех членов этого уравнения может быть в зависимости от ха-

рактера изменения состояния положительным, или отрицательным, или равным нулю.

Для бесконечно малого изменения состояния 1 кг любого газа уравнение

(50) примет следующий вид:

26

и

Работа расширения 1 кг газа

dl pdv;

Изменение внутренней энергии идеального газа для любого процесса при бесконечно малом изменении состояния (для 1 кг)

В теплотехнических расчетах обычно требуется знать изменение внут-

ренней энергии и, а не ее абсолютное значение; поэтому начало отсчета (0 К

или 0 °С) для конечного результата (Δu) не имеет значения.

Интегрируя уравнение (56) в пределах t1 – t2, получаем

(57)

где cvm – средняя массовая теплоемкость при постоянном объеме в пределах t1 – t2.

Таким образом, изменение внутренней энергии идеального газа для лю-

бого процесса равно произведению средней теплоемкости при постоянном объ-

еме на разность температур газа.

5.1 Энтальпия газов

Заменяя в основном уравнении первого закона

dq du pdv

величину pdv через d(pv) – vdp, получаем

dq du d(pv) vdp d(u pv) vdp.

Выражение и+pv является параметром состояния. В технической термо-

динамике этот параметр называют энтальпией и обозначают буквой i. Таким образом,

27

и, следовательно, основное уравнение первого закона, выраженное через эн-

тальпию, имеет вид

где cpm – средняя массовая теплоемкость при постоянном давлении в пределах от 0 до T.

В теплотехнических расчетах обычно требуется знать изменение энталь-

пии, а не ее абсолютное значение, поэтому начало отсчета (0 К или 0 °С) для конечного результата (Δi) не имеет значения.

Интегрируя уравнение (59) при р = const, получаем

(61)

Таким образом, количество теплоты в процессе р = const численно можно найти как разность энтальпии конечного и начального состояния.

5.2 Смешение газов

При смешении химически невзаимодействующих газов, имеющих раз-

личные давления и температуры, обычно приходится определять конечное со-

стояние смеси. При этом различают два случая.

1. Смешение газов при V = const. Если суммарный объем, занимаемый га-

зами до и после смешения, остается неизменным и газы до смешения занимают объемы V1, V2, …, Vn м3 при давлениях р1, р2, …, рп и температурах

Тl, Т2, …, Тп, а отношения теплоемкостей этих газов ср/сv равны k1, k2, …, kn, то параметры смеси определяют по формулам:

29

Для газов, у которых значения k равны, температуру смеси определяют по формуле (64). Если газовые потоки, помимо одинаковых значений k, имеют также равные давления, то формулы (66) и (67) принимают вид

n

Vi

Ti

Все уравнения, относящиеся к смешению газов, выведены при условии отсутствия теплообмена с окружающей средой.

Задача

В котельной электрической станции за 20 ч работы сожжены 62 т камен-

ного угля, имеющего теплоту сгорания 28900 кДж/кг.

Определить среднюю мощность станции, если в электрическую энергию превращено 18 % теплоты, полученной при сгорании угля.

Решение

Количество теплоты, превращенной в электрическую энергию за 20 ч ра-

боты,

Q 62 1000 28900 0,18 322524000 кДж.

Эквивалентная ему электрическая энергия или работа

L 62 1000 28900 0,18 89590 кВт ч. 3600

Следовательно, средняя электрическая мощность станции

N 89500 4479 кВт. 20