![](/user_photo/_userpic.png)
9481
.pdf100
будет иметь нулевую скорость.
Примем точку А за полюс. Тогда по теореме о сложении скоростей скорость точки Р будет равна:
|
|
|
|
= |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. Скорость перпендикулярна отрезку РА и направлена в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сторону противоположную скорости ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= | | = |
|
2. Модули скоростей |
и равны, поскольку |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
ясно, что + |
|
|
|
|
||||
|
|
= 0, и точка Р действтельно является |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мгновенным центром скоростей.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1.Положение МЦС на движущейся фигуре не является неизменным, в процессе движения его положение постоянно меняется:
2.МЦС может находиться вне тела;
3.Если угловая скорость тела в данный момент равна нулю, то МЦС располагается в бесконечности. В этом случае скорости всех точек тела одинаковы. Движение тела в данный момент времени называют мгновенно поступательным, в отличие от поступательного движения, при котором = 0 в любой момент времени.
Выберем в качестве полюса МЦС.
Тогда скорость произвольной точки М будет равна:
= + = Р.
ВЫВОД:
скорость произвольной точки М плоской фигуры равняется скорости, которую она имеет в относительном вращении вокруг МЦС.
Следовательно:
1.скорость направлена перпендикулярно отрезку РМ в сторону вращения;
2.модуль ее в соответствии с формулой (3.3) равен
|
= |
. |
(3.5) |
|
Р |
|
|
Картина распределения скоростей точек движущейся плоской фигуры имеет вид, показанный на рис. 3.7.
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke102x1.jpg)
101
|
|
vD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vE |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
900 |
vC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vA |
|
vA |
|
vB |
|
vC |
|
vD |
|
vE |
|
B |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
vB |
PA |
PB |
PC |
PD |
PE |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7
3.4НАХОЖДЕНИЕ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ
Рассмотрим несколько простых приемов, позволяющих в процессе решения задач определить местоположение МЦС.
1.Известна угловая скорость фигуры и скорость любой ее точки А
(рис. 3.8,а).
Для определения МЦС надо:
Повернув вектор скорости , на 900 в сторону вращения тела, найти направление, на котором лежит МЦС;
На найденном направлении отложить отрезок AР равный =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и получить положение точки Р, которая является |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
мгновенным центром скоростей. |
|
|
||||||||||
2. |
Известны направления скоростей двух точек плоской фигуры и |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и эти скорости не параллельны друг другу (рис. 3.8, б). |
|
||||||||||||
|
Для определения МЦС надо из точек А и В восстановить |
|
||||||||||||
|
перпендикуляры к направлению скоростей до точки их пересечения P, |
|||||||||||||
|
которая и будет точкой МЦС. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При этом |
|
|
|
= |
|
|
= . |
|
|
||||
|
|
|
| | |
|
| | |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Cкорости двух точек плоской фигуры |
и параллельны друг |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другу и перпендикулярны отрезку АВ. |
|
|
|||||||||||
|
МЦС находится из условия, что модули скоростей точек А и В |
|
||||||||||||
|
пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
| | |
| | |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможны два варианта:
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke103x1.jpg)
102
МЦС находится между точками А и В, когда скорости направлены в разные стороны (рис.3.8, в);
МЦС находится за пределами отрезка АВ, когда скорости не равны и направлены в одну сторону (рис. 3.8, г).
а |
б |
в |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vB |
|
P |
|
P |
|
|
P |
vA |
|
vA |
|
vB |
v |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
г |
|
A |
|
|
A |
|
|
B |
|
|
|
vA |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
vA |
vB |
|
0 |
|
|
|
д
B
vB
е
A |
B |
|
|
||
vA |
v |
B |
|
|
|
0 |
|
|
Рис. 3.8
4. Cкорости двух точек плоской фигуры |
и |
|
равны по модулю и |
|
|
|
параллельны друг другу. При этом они могут быть перпендикулярны или неперпендикулярны отрезку АВ.
МЦС в этом случае располагается в бесконечности. Скорости всех точек тела одинаковы. Движение тела является мгновенно поступательным и = 0.
5.При качении тела по неподвижной поверхности (Рис. 3.9) скорости соприкасающихся точек равны в том случае, если отсутствует проскальзывание между телами. Тогда МЦС находится в точке
соприкосновения тела с поверхностью.
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke104x1.jpg)
103
O
vO
P
Рис. 3.9
3.5ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ
ТЕОРЕМА
Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения, которое имеет эта точка в относительном вращении фигуры вокруг полюса:
|
|
= |
+ |
|
. |
(3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
По теореме о сложении скоростей имеем: |
|
|||||
|
|
= |
+ |
. |
|
|
|
|
Р |
Р |
|
|
|
Продифференцируем это равенство по времени. Получим: |
|
|||||
|
̇ |
= ̇+ ̇ |
, |
|
||
|
|
С |
С |
|
|
|
где ̇ |
– ускорение точки М, |
|
̇ − ускорение точки С, |
|
||
|
|
|
|
|
С |
|
̇ |
− ускорение точки М в системе отсчета, связанной с точкой С, то |
С
есть ее ускорение во вращении фигуры вокруг точки С (вокруг полюса).
Теорема доказана.
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke105x1.jpg)
104
|
a MC |
a MC |
|
|
|
C |
anMC |
M |
Рис. 3.10
Ускорение определяется по правилам вращательного движения, то есть равно сумме вращательного и центростремительного ускорений (рис.
3.10):
|
|
= |
|
+ |
|
. |
(3.7) |
|
|
|
|
|
|||
Тогда полное ускорение точки М будет равно: |
|
||||||
|
= |
+ |
+ . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК КОЛЕСА
ПРИМЕР
Пусть колесо радиусом R=1м катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса 0 = 1 мс , а ускорение
центра колеса по направлению совпадает со скоростью и равно 0 = 1 см2.
Определить скорости и ускорения точек А, В, С, Р, расположенных на ободе колеса (рис. 3.11).
Решение
1.Определение скоростей
МЦС колеса – точка Р. Относительно точки Р колесо вращается по часовой стрелке. Соединим точку Р с точками А, В, С и покажем направления скоростей в сторону вращения по перпендикуляру к отрезкам АР, ВР, СР.
Угловую скорость колеса получим из формулы, которая связывает угловую скорость со скоростью центра колеса: 0 = ∙ , из которой
получается, что = 0 = 1 1.
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke106x1.jpg)
105
B |
B |
vB |
|
||
а |
б |
|
|
|
|
|
vA |
|
vO |
|
A |
O |
C |
A |
|
O |
C |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
aO |
vO |
|
|
|
|
|
vC
P P
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Модули скоростей получим по формуле Эйлера |
|
= (3.3): |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
м |
|
|
|
|
м |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ 2 = 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
= ∙ √2 |
= √2 |
; |
|
|
|
= ∙ √2 = √2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Определение ускорений
Расстояние от точки О до МЦС (точки Р) всегда постоянно. Кроме того точка О движется прямолинейно. В этом случае угловое ускорение можно найти следующим образом:
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
||
= ̇= |
|
( |
|
) = |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
То есть в данный момент времени
м
= = 11см2 = 1 радс .
Выберем в качестве полюса центр колеса (точку О) и используем для определения ускорения произвольной точки М теорему о сложении ускорений:
|
= |
+ |
= |
+ |
+ . |
|
|
|
|
|
|
Вращательные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относительно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены перпендикулярно к соответствующему радиусу в сторону углового ускорения:
|
= |
= |
= |
= ∙ = 1 |
1 |
∙ 1м = 1 |
м |
. |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
Нормальные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относительно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены к центру колеса:
|
= |
= |
= |
= 2 ∙ = 12 |
1 |
∙ 1м = 1 |
м |
. |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
Суммируя в каждой точке три вектора ускорения по формуле
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke107x1.jpg)
106
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
, получим, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
. |
||
|
= |
|
= 1 |
|
|
и |
|
|
= = √12 |
+ 22 |
= √5 |
||||||||||
|
с2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А В |
|
|
|
|
с2 |
||||
|
|
|
|
|
B |
|
aO |
aBO |
|
B |
|
|
|
||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
aA |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
AO |
|
|
|
|
|
BO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
O |
|
C |
A |
|
O |
|
|
|
|
|
|
||
aO |
aAOn |
aO |
an |
|
a |
|
|
|
|
|
CO |
|
O |
|
|
|
n |
aCO |
|
aPO |
|
|
|
|
a |
a |
aP |
PO |
O |
|
aB
aO C
aC
Q |
aQ 0
P |
|
P |
Рис. 3.12
Если на середине отрезка СР отметить точку Q, то можно заметить, что:Ускорения в точках, расположенных на одинаковых расстояниях от
точки Q (точках Р, О, С) одинаковы по величине;
Ускорения в точках, расположенных на разных расстояниях от точки Q
пропорциональны расстояниям до этих точек ( = = √5);
Ускорения в точках A, B, C, P направлены таким образом, что
составляют одинаковый угол с отрезками, соединяющими эти точки с точкой Q;
Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю.
Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется
мгновенным центром ускорений.
Существуют правила, по которым всегда можно найти положение мгновенного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается.
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke108x1.jpg)
107
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СТАТИКЕ
ЗАДАЧА 1
Решение |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
8 |
|
Центр тяжести такой пластины |
||
|
|
находится на пересечении диагоналей |
||
|
|
прямоугольника, поэтому в показанной на |
||
4 |
|
рисунке системе координат координаты |
||
x |
центра тяжести пластины будут равны |
|||
O |
||||
|
|
xC 4, |
yC 1. |
|
|
yC |
Ответ: |
Верным является четвертый ответ. |
|
6 |
|
|||
|
|
|
||
xC |
|
ЗАДАЧА 2 |
||
|
|
Ответ: Верным является третий ответ.
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke109x1.jpg)
108
ЗАДАЧА 3
Решение
Определяем проекции главного вектора на координатные оси:
n
Rx Xi F1 cos 45 F2 cos 45 F5 F6 0;
i 1
n
Ry Yi F1 cos 45 F2 cos 45 F3 F;
i 1
n
Rz Zi F4 F .
i 1
Определяем модуль главного вектора:
R R2x R2y R2z
02 F 2 F 2 F
2.
Ответ: Верным является третий ответ.
ЗАДАЧА 4
Решение
![](/html/65386/175/html_7EMwB2KDr4.Bpg9/htmlconvd-6wfzke110x1.jpg)
109
Спроектируем силу на плоскость перпендикулярную указанной оси. Умножив модуль полученной проекции на плечо, получим модуль момента. Знак момента укажем, руководствуясь правилом правого винта.
M Z Fa sin .
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 5
Решение
Система, изображенная на рисунке, представляет собой геометрически неизменяемую ферму (диск), которая закреплена на опорах неподвижно. Любые формы движения для нее невозможны.
Ответ: Верным является третий ответ.
ЗАДАЧА 6
Решение
Координату xС центра тяжести ломаного стержня определим по формуле:
|
n |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
xi Li |
|
|
|
|
0 L |
L |
|
|
|||
|
|
x1L1 |
x2 L2 |
|
2 |
|
L |
|
||||
x |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
L1 |
L2 |
L L |
|
|
4 |
|
||||
|
Li |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1
Ответ: Верным является второй ответ.