9480

69

Если при этом все силы системы лежат в одной плоскости Oxy, то и уравнение (в) также обратится в тождество и в системе останется два уравнения:

СИСТЕМЫ ПАР СИЛ

Если система сил состоит только из пар, для каждой из которых, как известно, сумма векторов сил равна нулю, то уравнения проекций сил (а,б,в) в (7.4) оказываются тождествами.

Тогда для системы пар остаются только уравнения сумм проекций моментов пар, которые были записаны нами как уравнения (8.8):

Если при этом все силы системы лежат в одной плоскости, то равновесие системы описывается одним уравнением:

i 1

СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Пусть линии действия всех сил параллельны друг другу (рис. 8.4). Направим ось z параллельно этим силам. В этом случае являются тождествами уравнения проекций сил на оси х и у, а также уравнения моментов сил относительно оси z, то есть уравнения (а,б,е) из (8.3).

Тогда остаются три уравнения:

70

z

x

которые называются уравнениями равновесия пространственной

системы параллельных сил.

Тема 9.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

9.1. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Рассмотрим систему (рис. 9.1) параллельных и одинаково направленных сил ( 1, 2, … , ) приложенных к твердому телу в точках

O1,O2 ,...,On .

Пусть эта система сил имеет равнодействующую которая имеет то же направление, что и силы системы.

По модулю она равна

RFi

i 1n

Пусть единичный вектор указывает направление сил системы. Тогда силы можно записать в виде:

71

= .

Изменим направление сил системы. Для этого с помощью единичного

вектора укажем новое направление (рис. 9.1).

′

Тогда все силы системы повернутся на один и тот же угол α и образуется новая система параллельных сил:

Модули сил при этом не изменятся.

Такая операция называется поворотом системы параллельных сил.

Покажем, что имеется такая точка C , через которую линия действия равнодействующей пройдет при любом направлении сил системы.

Согласно теореме Вариньона, момент равнодействующей системы сил относительно любой точки равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

В рассматриваемом случае, например,

Чтобы это равенство выполнялось при любом по направлению единичном векторе должны быть равны сомножители этого вектора в левой и правой частях, т. е.

72

Точка С, через которую линия действия равнодействующей пройдет при любом повороте системы параллельных сил, называется центром параллельных сил.

Формула (9.1) определяет положение центра параллельных сил через его радиус-вектор.

Координаты центра параллельных сил можно получить, если спроектировать равенство (9.1) на координатные оси:

Заметим, что формулы (9.1) и (9.2) справедливы и для случая параллельных сил, направленных в разные стороны, если в них полагать величины Fi для сил одного направления со знаком «плюс», а для сил другого направления со знаком «минус».

73

9.2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены к центру Земли. Поскольку размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, эти силы можно считать параллельными.

Равнодействующая этих параллельных сил — это сила тяжести (ее модуль — это вес тела), а центр этой системы параллельных сил (в котором всегда приложена сила тяжести) называется центром тяжести тела.

Поворот тела относительно Земли приводит к повороту системы сил относительно самого тела. При этом положение центра тяжести тела не зависит от расположения тела в пространстве.

Если обозначить модули сил тяжести отдельных частей тела

Если тело однородное, т. е. все его части имеют один и тот же удельный вес g , где g − ускорение свободного падения, а −

n

плотность, то G V и Gi Vi , где V Vi − объем всего тела, а Vi −

i 1

объем i - ой его части.

После подстановки этих выражений в формулы (9.4) и сокращения мы получаем соотношения для координат центра тяжести объема:

74

Центр тяжести однородной пластины (плиты) постоянной толщины может быть вычислен аналогично через площади отдельных ее частей Ai и

n

общую площадь A Ai :

i 1

Если при этом вся пластина лежит в одной плоскости, например в плоскости Oxy), то третье уравнение в (9.6) обращается в тождество и центр тяжести определяется по формулам

Центр тяжести однородного пространственного ломаного стержня, состоящего из ряда прямолинейных участков, определяется через длины его

n

участков Li и общую длину L Li :

i 1

75

ТЕМЫ ЛЕКЦИЙ РАЗДЕЛА «КИНЕМАТИКА»

Тема 1:

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

1.1. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, то есть с чисто геометрической точки зрения.

Под движением в механике понимают изменение положения данного тела в пространстве по отношению к некоторой координатной системе, которую называют системой отсчета.

Таким образом, понятие движения является относительным. Тело, находящееся в покое относительно одной системы отсчета может совершать движение относительно другой системы отсчета.

Пространство в классической механике считается однородным, изотропным и евклидовым, а время является абсолютным, то есть протекающим одинаково во всех системах отсчета.

Для описания течения времени в механике используют независимую переменную − время. При этом все другие переменные величины рассматривают как функции времени. Отсчет времени ведут от некоторого начального момента = 0.

Основной задачей кинематики является изучение способов задания движения тел. Движение тела считается заданным, если для любого момента времени можно математически указать положение любой точки тела по отношению к данной системе отсчета.

Для описания движения кинематика кинематика использует кинематические характеристики, такие как скорости или ускорения, и устанавливает связывающие их математические зависимости.

76

Основными разделами кинематики являются:

кинематика точки,

кинематика твердого тела,

сложное движение точки,

сложное движение твердого тела.

1.2.СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

В кинематике используют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ задания движения точки

Положение движущейся точки М по отношению к системе отсчета Оxyz можно задать радиус-вектором этой точки , который считается векторной функцией времени:

z

Уравнение (1.1) представляет собой уравнение движения точки в векторной форме. Линия, которую описывает точка в своем движении,

называется ее траекторией точки.

Траектории движения точек можно разделить на прямолинейные и криволинейные.

Конец радиус-вектора указывает на точку М и в процессе движения всегда заканчивается на её траектории.

Таким образом, траектория точки является годографом вектора .

77

Координатный способ задания движения точки

Положение точки в данной системе отсчета можно определить, задав ее координаты в виде функций времени. В декартовой системе координат это будут функции

= ( ), { = ( ), (1.2)

= ( ).

Эти уравнения можно рассматривать как уравнения траектории точки, заданные в параметрической форме. Время в данном случае будет являться параметром. Чтобы получить уравнение траектории в явной форме надо из уравнений (1.2) исключить время.

Связь между векторным и координатным способами задания движения точки дается формулой

Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется когда заранее известна траектория точки.

B

Рис. 1.2

Чтобы задать движение некоторой точки М естественным способом, следует указать:

1.траекторию точки (кривая АВ на рис. 1.2);

2.начальную точку на ней (точка О на рис. 1.2);

3.положительное и отрицательное направление отсчета по траектории;

4.уравнение движения точки по траектории:

в котором s есть дуговая координата, то есть длина дуги по траектории между точками О и М, взятая со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того в какой части траектории находится точка.

Дуговая координата определяет положение точки на траектории движения, а не пройденный ею путь.

1.3.СКОРОСТЬ ТОЧКИ

Определение скорости при векторном способе задания движения

78

Скоростью точки называется кинематическая характеристика движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки:

В дальнейшем точкой сверху будем обозначать производную по времени.

Скорость точки – величина векторная, ее направление показывает куда в данный момент движется тело, а ее модуль – быстроту изменения положения точки. Размерность модуля скорости: [ ] = м⁄с.

Определение скорости при координатном способе задания движения

Выразим вектор скорости через его проекции на координатные оси:

, (*)

= + +

По определению

= ̇,

где , , – проекции вектора скорости на координатные оси.

Обычным образом находятся модуль вектора скорости:

= √ 2 + 2 + 2

и его направляющие косинусы:

= ( , ) = ⁄ { = ( , ) = ⁄.

= ( , ) = ⁄

Определение скорости при естественном способе задания движения

При естественном способе задания движения точки известна ее траектория и уравнение движения = ( ). Каждому значению дуговой координаты соответствует свой радиус-вектор , который в этом случае можно рассматривать как сложную функцию:

= (( )).