9453

В силу интегральной методологии естественно ожидать, что точное значение массы может быть получено в результате предельного перехода

Обобщение этой вычислительной процедуры, отвлеченное от физического содержания, приводит к понятию криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги). Пусть в пространстве в некоторой области D расположена линия AB и пусть в некоторой окрестности этой линии определена функция f ( x, y, z) . Разделим линию AB на n участков

i-ом участке, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-ого

Возвращаясь к задаче о нахождении массы неоднородной линии, можно с помощью введённого определения записать, что

Будем говорить, что кривая AB гладкая, если в каждой точке этой кривой существует касательная и угол наклона касательной непрерывно меняется при движении точки вдоль данной кривой. На рис. 54.2 кривая AB гладкая, а кривая LQ кусочно-гладкая, ибо в точках M и P

касательная не существует.

Рис. 54.2

Теорема. Если непрерывная кривая AB может быть разбита на конечное число гладких кусков и в некоторой окрестности этой кривой функция f (x, y, z) непрерывна, то для нее существует криволинейный интеграл (54.2).

Наряду со свойствами, которые имеют все рассмотренные ранее интегралы (постоянн ое число можно выносить за знак ин теграла; интеграл от суммы или раз ности двух функций равен сум ме или разности интегралов от этих ф ункций), отметим еще ряд свойст в криволинейного интеграла 1-го рода.

а) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления

начале параграфа. Однако анализ конструкции (54.2) показывает, что при

получим формулу для вычисления длины дуги AB .

Рис. 54.3

Нетрудно видеть, что под знаком предела стоит интегральная сумма для функции ( ) = 1 + ′ ( ) на отрезке (a,b), и потому последний предел равен определенному интегралу от этой функции на этом отрезке. Таким образом,

b

L = ∫ dl = ∫ 1+ y′ 2 (x)dx

AB a

Пусть теперь f (x, y) – произвольная непрерывная функция, определенная в точках близких к кривой AB . Так как, согласно определению, точка Pi

на отрезке кривой Ai−1Ai может выбираться произвольным образом, то

определенному интегралу от этой функции на данном отрезке. В результате мы приходим к формуле

Рис. 54.4

Решение. Так как y′ = −2x , то по формуле (54.3) искомая масса будет равна

Плоский случай. Параметрическое задание кривой. Пусть кривая AB

определена параметрическими уравнениями

x = x(t); y = y(t); α≤ t ≤β,

где x(t) и y(t) дифференцируемые функции, производные которых

Для её вывода достаточно в формуле (54.7) осуществить замену

координатах. Попробуем вывести формулу для вычисления

Вспомним, что связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами x = r cosϕ, y = r sin ϕ. Если в них вместо r

подставить его выражение из уравнения (54.8), то получится параметрическое уравнение кривой AB :

x = r(ϕ)cosϕ, y = r(ϕ)sinϕ. (54.9)

в котором в качестве параметра выступает полярный угол ϕ, изменяющийся в пределах от ϕ1 до ϕ2 . При этом

x′2 (ϕ) + y′2 (ϕ) = (r′(ϕ) cos ϕ − r(ϕ)sin ϕ)2 + (r′ (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ)2

= r 2 (ϕ) + r′2 (ϕ).

Подставляя это выражение в соотношение (54.7), получим формулу для вычисления криволинейных интегралов 1-го рода в случае, когда кривая АВ на плоскости задана в полярных координатах:

Пример. Найти массу половины кардиоиды r = (1+ cosϕ), 0 ≤ ϕ ≤ π,

если плотность ρ = r в каждой её точке.

Рис. 54.5

Пользуемся формулами (54.3) и (54.10):

π

= ∫ (1 + cos j) (1 + cos ϕ)2 + (-sinϕ)2 d ϕ =

пространстве, то, как правило, она задается параметрическими уравнениями

x = x(t); y = y(t); z = z(t) α ≤ t ≤ β,

причем параметру t = α соответствует точка A, а параметру t = β соответствует точка B . Предполагая, что производные x′(t), y′(t), z′(t) непрерывны при α ≤ t ≤ β, а функция f(x,y,z) непрерывна в некоторой

области D, окружающей кривую AB, и, проводя рассуждения, подобные приведенным для плоского случая, придем к следующей формуле:

54.3. Некоторы е приложения криволинейного интеграла 1-ого рода. Определение площади цилиндрической поверхности. На рис. 54.6

изображено ограждение переменной высоты некотор ой горизонтально расположенной терр итории, ограниченной кривой L. Вопрос о расходе краски, необходимой для окраски этого огражде ния, сведется к нахождению его пло щади. Если ввести систему координат так, чтобы территория находилась в плоскости XOY, то можно считать, что данное ограждение представ ляет собой часть цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной оси OZ, причем высота ограждения задается функцией z = f ( x, y ) , определенно й в каждой точке кривой L (рис.54.6). Если рассмотреть часть поверхности на небольшом

участке кривой Ai−1Ai , то можно считать, что высота этой части постоянна и

Рис. 54. 6

Суммируя по всем участкам и переходя к пределу в получающейся

(Канаты, на которых подвешен мост через пролив Босфор, соединяющий Черное и Средизем ные моря, можно рассматривать в качестве примера такого объекта. В качестве математической модели канатов можно

рассматривать их оссевые линии с постоянной линейной плотностью, равной массе тонкого слоя поперечного сечения). В такомм случае основные механические характе ристики подобных объектов могут быть вычислены с помощью криволинейного интеграла 1-ого рода.

а) Масса материальной кривой. Как мы уже знаем, масса М такой кривой может быть в ычислена по формуле (54.3).

б) Моменты инеерции I x, I y, I z относительно осей OX , OY , OZ .

Перечисленные моменты вычисляются по следующим формулам

мелкие участки и считаем, что вся масса отрезка кривой (приблизительно равная ρ(ξi ,ηi , νi ) Li ) сосредоточена в некоторой ее точке P(ξi , ηi , νi ). Момент инерции этой материальной точки относительнно, например, оси OX, будет равен ее массе, умноженной на квадрат расстояния от оси, т.е. ρ(ξi ,ηi ,νi ) Li (ηi2 +νi2 ). Суммируя по всем отрезкам кривой и переходя к пределу, получаем искомые выражения.

в) Kоординаты центра тяжести. Координаты центра тяжести C(xc , yc , zc ) материальной пространственной кривой могут быть высчитаны по формулам:

имеем дело с плоской кривой и потому в соответствую щих формулах мы должны опустить переменную z. Очевидно, что масса M равна длине полуокружности, умноженной на ρ , т.е. M = πρR .

Рис. 54. 7

Для нахождения моментов инерции Ix и Iy сначала запишем уравнение полуокружности в параметрическом виде

Лекция 55. Криволинейные интегралы 2-г о рода (по координатам)

Вданной лекции мы рассмотрим еще одн у интегральную

конструкцию, котор ая, как и все рассмотренные ра нее, изначально возникла при стремлении решить некоторую прикладную задачу (именно в физике), а потом оказалась применимой при решении других теоретических и пр икладных задач. Речь идет о криволинейных интегралах 2-го рода.

55.1. Определение и обозначения. Физическая задача, в которой подобная конструкц ия возникает, формулируется след ующим образом. Пусть в некоторой об ласти D пространства определено силовое поле, т.е. на материальную точку единичной массы, помещенную в область D, действует зависящая от ее местонахождения вектор-сила F . И пусть в этой области материальная точка перемещается по кривой L из положения A в положение B. Требуется определить работу W сил данного поля при таком перемещении.

Рис. 55.1

На рисунке 55 .1 изображено плоское поле сил. Ясно, что при перемещении точки по кривой L по участку кривой ACB силы поля оказывают положительное воздействие, т.е. совершают положительную работу, а при движении по участку кривой DEF они оказывают отрицательное воздей ствие, т.е. совершают отрицательную работу. Точно также при спуске с горы мы ощущаем положительное воздействие силы тяжести, а при подъеме в гору нам приходится преодолевать отрицательное воздействие этой силы.

Если в пространстве введена декартова система к оординат, то сила,

действующая в точке может задаваться посредством ее

разложения по едини чным векторам i , j,k