9433

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. 1.

– матрица порядка 2 3.

Пример. 1.

– матрица порядка 2 3.

3 – матрица–строка порядка 1 3.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.67 Mб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.А. Протасова, П.В. Столбов

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки

08.03.01 Строительство, направленность (профиль) Автомобильные дороги, направленность (профиль) Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, направленность (профиль) Водоснабжение и водоотведение, направленность (профиль) Теплогазоснабжение и вентиляция, направленность (профиль) Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, направленность (профиль) Организация инвестиционно-строительной деятельности, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство

Нижний Новгород

2022

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Л.А. Протасова, П.В. Столбов

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

УДК

Протасова, Л.А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия : учебнометодическое пособие / Л.А. Протасова, П.В. Столбов ; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 92 с. : ил. – Текст : электронный

Изложены вопросы аналитической геометрии, способствующие развитию пространственного воображения и освоению аналитического подхода к изучению геометрических объектов. Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала. Подробно разобраны примеры построения тел, ограниченных заданными поверхностями.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным и практическим занятиям по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, направленность (профиль) Автомобильные дороги, направленность (профиль) Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, направленность (профиль) Водоснабжение и водоотведение, направленность (профиль) Теплогазоснабжение и вентиляция, направленность (профиль) Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, направленность (профиль) Организация инвестиционно-строительной деятельности, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство

§ 1. Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита, таблицу чисел при этом заключают в круглые скобки.

3.C – матрица–столбец порядка 2 1.

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной.

1 2

Пример. D – квадратная матрица порядка 2 2.

3 4

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы обозначаются строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, в которой рассматриваемый элемент матрицы находится, а второй индекс – номер соответствующего столбца.

Пример.		1	2	3		a	6 – элемент матрицы A ,
Пример.	A				.	a	6 – элемент матрицы A ,
		4	5	6		2 3
		4	5	6

находящийся во второй строке и в третьем столбце.

Заметим, что матрицу A порядка m n можно записать следующим образом: A ai j , i 1, m; j 1, n .

Две матрицы порядка m n считаются равными, если все соответствующие элементы этих матриц равны.

То есть A B , если ar s

br s для любых возможных r

и s .

. Матрицы A

и B

равны,

так как

Пример.

a11 b11 1, a21 b21 2, a31 b31 3.

Произведением матрицы A порядка m n на

действительное число называется матрица																	B A того же

порядка m n, каждый элемент										bi	j ,	i 1, m,						j 1, n				которой

получен умножением					соответствующего									элемента						ai	j ,	i 1, m,

j 1, n исходной матрицы A на число .
	Пример. Найти B 2 A, если											1		2
	Пример. Найти B 2 A, если								A						.
												3		4
												3		4
	Решение. B			2 A		1	2		2 1			2 2					2		4
	Решение. B			2 A		2														.
											3							6
						3	4		2		3	2 4						6	8
			2	4
	Ответ: B				.
			6	8
			6	8
	Суммой двух матриц						A ai j				и	B bi j						одного порядка
m n называется				матрица			C A B					того же порядка m n,

каждый элемент ci j , i 1, m,							j 1, n которой получен сложением

соответствующих элементов ai j								и	bi j , i 1, m,							j 1, n .
	Пример. Найти C A B,													1	2						4	3
	Пример. Найти C A B,							если A									и B					.
														3	4						2
														3	4						2	1
	Решение.
		1		2		4	3		1 4				2 3					5		5
	C A B																			.
			3	4
			3	4		2	1		3 2				4 1					5		5
			5	5
	Ответ: C				.
			5	5
			5	5
								4

Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно определить через сумму и умножение на число

1 , то есть A B A 1 B .

Пример. Найти A B , если				1	2			4	3
		A					и B			.
				3	4			2	1

Решение.			1		2			4	3
	A B A 1 B					1
			3		4			2	1

	1 2	4 3				1	4		2	3	3 1
	4 3	2		1							1 3	.
						3		2	4
						3		2	4	1

Ответ:			3	1
Ответ:	A B				.
			1	3
			1	3

произведение элементов i -ой строки матрицы


соответствующие элементы j -го столбца матрицы						B ,

ci j ai1 b1 j ai 2 b2 j	ai n bnj , i 1, m,	j 1, p .
			1	2		5
Пример. Найти C A B, если A					и B
			3	4		7
			3	4		7

Решение.

c11 a11 b11 a12 b21 1 5 2 7 5 14 19 c12 a11 b12 a12 b22 1 6 2 8 6 16 22 c21 a21 b11 a22 b21 3 5 4 7 15 28 43 c22 a21 b12 a22 b22 3 6 4 8 18 32 50.

Следовательно,		C	c11	c12	19		22
Следовательно,		C	A B				.
						43
			c21	c22		43	50
	19	22
Ответ: C			.
	43	50
	43	50
			5

A на то есть

Следует обратить внимание на тот факт, что

1) произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя

– на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;

2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и B не определено;

3)порядок матрицы-произведения определяется порядком

сомножителей, то есть Am n Bn p Cm p . Следовательно, если

A B A C , то нельзя считать, что B C.

Транспонированной матрицей любой матрицы A порядка

m n называется матрица AT	порядка n m, которая получается
из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы.
Пример. Найти AT , если		1	2	3
Пример. Найти AT , если	A				.
		4	5	6
		4	5	6

Решение. Элементы первой строки матрицы				A запишем в
первый столбец матрицы AT , а элементы второй строки матрицы
					1	4
A – во второй столбец матрицы A	T	, получаем:	T		2	5
A – во второй столбец матрицы A		, получаем:	A		2	5	.
					3	6
					3	6

		Определители
Определителем второго порядка квадратной матрицы
		a12
называется число	a11	a12	, которое вычисляется по формуле:
	a21	a22

a11 a22 a12 a21 .

Пример. Вычислить									1	2	.
									3	4
Решение.						2	1 4 2 3 4 6 10.
Решение.				1		2	1 4 2 3 4 6 10.
				3		4
Определителем							третьего порядка квадратной матрицы
								a11	a12		a13
								a11	a12		a13
называется число								a21	a22		a23	, которое вычисляется по
								a31	a32		a33
формуле
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31
a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .
										2		3
									1	2		3
Пример. Вычислить									1	2		3	.
									0	4		4
Решение.
		2	3
	1	2	3
	1	2	3		1 2 4 1 4 3 2 3 0 3 2 0
	0	4	4

1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .

Системы линейных уравнений

Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида

	a11 x1 a12 x2		a13 x3 b1
		x1 a22 x2	a23 x3 b2	(1.1)
	a21	x1 a22 x2	a23 x3 b2	(1.1)
		x1 a32 x2 a33 x3 b3 ,
	a31	x1 a32 x2 a33 x3 b3 ,
	bi ,
где ai j ,	bi ,	i, j 1,3.

Составим и вычислим главный определитель системы (1.1)

a11	a12	a13
a21	a22	a23	,
a31	a32	a33

тогда если 0, то система (1.1) имеет единственное решениеx10 ; x20 ; x30 , которое находим по правилу Крамера. Для этого составим и вычислим вспомогательные определители x1 , x2 ,

x3 системы (1.1):

a12

a13

a11

a13

a11

a12

a22

a23

, x

a21

a23

, x

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

Далее по формулам Крамера находим

Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.

	Пример.			Решить по правилу Крамера систему
x1 x2 x3 2
	2x1 x3 1 .
	2x1 x3 1 .
	3x x	2	5
	1	2
	Решение. Составим и вычислим главный определитель
данной системы
		1 1		1
	2 0			1 1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 3

3 1 0

2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.

Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.

Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы

						1		1
		2				1		1
x			1			0 1				2 0 0 1 1 1 1 1 5 1 0 5
1
		5			1			0
			1 1 0 1 1 2 0 1 5 0 0 2 6 ;
					2			1
			1		2			1
x			2	1 1					1 1 0 2 5 1 2 1 3 1 1 3
2
			3		5			0
			2 2 0 5 1 1 0 10 6 3 0 5 12;
				1				2
			1	1				2
x			2		0 1				1 0 5 2 1 2 1 1 3 2 0 3
3
			3		1			5
			1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.
Далее, по формулам Крамера, находим
x0	x				6		1,
			1
					6
1					6
1
x0	x				12			2 ,
	2
					6
2					6
2
x0	x				18			3.
	3
					6
3					6
3

Делаем проверку найденного решения 1; 2;3

1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.

Ответ: 1; 2;3 .

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.67 Mб09429.pdf
#
21.11.2023164.12 Кб0943.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09430.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09431.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09432.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09433.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09434.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09435.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09436.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09437.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09438.pdf