9405

Лекция 52. Определение тройного интеграла и его вычисление

в декартовых и цилиндрических координатах

найти его массу. Для введения понятия объёмной плотности рассмотрим

вообще говоря, своя, отличная от плотности в других точках, то есть объёмная плотность является функцией точки γ = γ(x, y, z) .

Воспроизведём рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении объёма цилиндрического тела и массы плоской пластинки. Во-первых, разобьём тело G на n тел G1, G2, … ,Gn .

Далее в пределах каждого тела Gi будем считать объёмную плотность постоянной и равной её значению γ(xi , yi , zi ) в некоторой точке Pi(xi, yi, zi)

Под диаметром разбиения понимаем, как и ранее, наибольший из диаметров тел Gi , и в качестве диаметра пространственной области (т.е.

тела Gi ) рассматриваем наибольшее расстояние между его точками. Если

будет существовать предел правой части в формуле (52.1) при n → ∞ и dn → 0 , то он и будет давать искомое точное значение массы

81

пространственной области Ω , будем сохранять способ рассуждений,

n

In = ∑ f (xi, yi , zi ) Vi ,

i=1

где f (xi, yi, zi ) – значение функции в точке Pi(xi, yi, zi) , а Vi – объём подобласти Ωi . Естественно, In зависит не только от n , но и от того,

каким образом делится Ω на подобласти, и от того, какие точки Pi выбираются внутри Ωi .

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных для функции f (x, y, z) в области Ω при различных способах

разбиения Ω на части. Будем предполагать, что диаметр разбиения dn

стремится к нулю при n → ∞ . Если существует предел интегральных сумм In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит

ни от способов разбиения области Ω на подобласти Ω1, Ω2, … ,Ωn , ни от

тройным интегралом функции f (x, y, z) по области Ω и обозначается

∫∫∫ f ( x , y , z )d V .

Ω

Функция f (x, y, z) в этом случае называется интегрируемой в области Ω

;область Ω называется областью интегрирования.

Используя независимость предела интегральных сумм для интегрируемой функции от способа разбиения исходной области на части,

параллельных между собой плоскостей ограничивают область Ωi , представляющую собой параллелепипед (рис. 52.1), объём которого

82

Рис. 52.1

а тройной интеграл в декартовых координатах обозначается следующим образом:

∫∫∫ f ( x, y , z )d x d yd z .

Ω

В этом случае d V = d xd y d z называют элементом объёма.

Достаточным условием существования тройного интеграла от функции f (x, y, z) по замкнутой пространственной области Ω ,

ограниченной кусочно-гладкими поверхностями, является непрерывность функции f (x, y, z) в области Ω .

Сравнивая рассуждения, проведенные при нахождении массы пространственного тела, со способом введения тройного интеграла, приходим к выводу, что

M = ∫∫∫ g(x, y, z)dV .

G

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла. Следует обратить внимание на случай, когда в качестве подынтегральной функции выступает функция, тождественно равная

n

единице ( f (x, y, z) ≡1) . Составляя интегральную сумму In = ∑1×DVi =V ,

i=1

видим, что она равна объёму области интегрирования. Таким же, естественно, оказывается и предел интегральных сумм. Тем самым, получаем способ вычисления объёма пространственной области Ω с помощью тройного интеграла

83

∫∫ ∫ d x d y d z = V .

Ω

Заметим, что определения всех определённых интегралов (начиная с обычного определённого интеграла по отрезку и завершая тройным интегралом) аналогичны. Они могут быть сформулированы единым образом. Вместо длины, площади или объёма фигурирует обобщённое понятие «мера множества». На этом же языке можно записать общие свойства всех определённых интегралов.

52.3. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла, как и двойного, сводится к последовательному интегрированию функций одной переменной (теперь уже трижды). Для этого удобно представить тройной интеграл в виде комбинации обычного определённого интеграла по отрезку и двойного интеграла. Двойной интеграл, в свою очередь, заменяется повторным уже известным способом.

Снова нужно начинать с точного описания области, по которой ведётся интегрирование. Пусть Ω – некоторая область в пространстве. Через D обозначим ее проекцию на плоскость xOу. Рассмотрим

произвольную точку P(x, y, z) из области Ω . Через K (x, y) обозначим проекцию этой точки на плоскость xOу. Будем говорить, что область Ω правильна в направлении оси Oz , если существуют две непрерывные в

z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y) .

Другими словами, правильная в направлении Oz пространственная

быть ограниченной цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz . Её характерная особенность заключается в том, что каждая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области D , пересекает границу области Ω ровно в двух точках.

В области D возьмём малый элемент площадью , и далее вертикальной цилиндрической поверхностью, проходящей через его

нужно «просуммировать» все такие элементы. Предполагается, что в силу

84

Здесь интегрирование ведётся от точки входа на поверхности

Рис. 52.2

Для того чтобы вычислить массу всего тела Ω , нужно «просуммировать» массы всех «столбиков», подобных рассмотренному выше. Таким образом,

Это приводит нас к формуле вычисления тройного интеграла

Для нахождения полученного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z в предположении, что x и y –

постоянные величины. Затем вычисляется внешний двойной интеграл по области D .

85

Последний результат совпадает с формулой вычисления объёма двойным интегралом, полученной ранее.

Заметим, что сходным образом можно ввести понятие

поверхностью с образующими, параллельными оси Ox . В этом случае в формуле, аналогичной формуле (52.2), внутреннее интегрирование ведётся по переменной x , а двойной интеграл берётся по области, которая является проекцией тела Ω на плоскость yOz .

Рис. 52.3

Другой способ вычисления тройного интеграла удобно использовать для областей, располагающихся в полосе между горизонтальными плоскостями z = a и z = b (рис. 52.3). При этом необходимо определить,

как изменяются в зависимости от переменной z сечения D исходной

Z

86

области плоскостью z = const . В этом случае получаем следующую формулу вычисления тройного интеграла:

b

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dz∫∫ f (x, y, z)dxdy .

Ω a Dz

Здесь сначала вычисляется внутренний двойной интеграл по области D , а

Z

затем – определенный интеграл по отрезку, на котором меняется переменная z . Естественно, можно записать аналогичные формулы и для другого выбора осей: когда внешнее интегрирование ведётся по

Полученный результат совпадает с упомянутой уже формулой вычисления объёма тела как интеграла от площадей его плоских сечений. Кроме того, он согласуется со знаменитым принципом Кавальери, состоящим в том, что если два тела имеют на любой фиксированной высоте сечения одинаковой площади, то их объёмы равны.

52.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. Положение точки в пространстве, как и на плоскости, можно задать не только с помощью декартовых координат (x, y, z) .

Можно рассматривать другую тройку чисел (u,υ, w) , однозначно определяющих точку P(x, y, z) в пространственной области Ω . Связь новых (называемых криволинейными) координат (u,υ, w) с декартовыми

которые называют координатными поверхностями (рис. 52.4). Линию пересечения двух координатных поверхностей называют координатной линией. Они покрывают область Ω координатной сеткой, как правило, криволинейной (что и объясняет название «криволинейные координаты»). Напомним, что координатные поверхности для декартовых координат представляют собой плоскости x = const , y = const и z = const .

87

пространстве, являются так называемые цилиндрические и сферические координаты. Чтобы ввести цилиндрические координаты в трехмерном пространстве, рассмотрим плоскость α и перпендикулярную ей ось L .

На плоскости α введем полярную систему координат (r,ϕ) с полюсом в точке O , являющейся пересечением оси L с плоскостью.

Рис. 52.5

Тогда цилиндрические координаты (r,ϕ, h) точки P будут

Координатная поверхность r = const является круговым цилиндром, что и объясняет название координат. Если ввести декартову систему координат, совместив ось Ox с полярной осью, а плоскость α – с плоскостью xOу

(рис. 52.5), то связь между декартовыми и цилиндрическими координатами запишется очевидным образом

88

Рис. 52.6

Цилиндрические координаты используют при рассмотрении тел вращения (круговые цилиндр, конус и т.д.), причем ось L располагают по оси вращения. Например, записанные в цилиндрических координатах

координатах исходная пространственная область Ω разбивалась на элементарные подобласти Ωi плоскостями, параллельными координатным

плоскостям ( x = const , y = const и z = const ). Области Ωi при этом

представляли собой параллелепипеды. Чтобы найти элементы объёма в цилиндрических координатах, проводим поверхности семейств (как мы уже отмечали, это круговые цилиндры, их осью вращения является ось (плоскости, параллельные xOу ) и

(полуплоскости, проходящие через ось Oz ). Подобласть Ωi показанный на рисунке 52.7.

ρdϕ dρ

z

O

x

Рис. 52.7

89

Так как объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а основанием в данном случае оказывается элемент площади в

В качестве примера определим массу M материального полушара Ω радиуса R с центром в начале координат, если плотность γ его вещества в каждой точке (x, y, z) пропорциональна расстоянию от этой точки до основания, т.е. γ(x, y, z) = kz (рис. 52.8). В декартовых координатах верхняя

полусфера задается уравнением z = R2 − x2 − y2 .

Рис. 52.8

Рассмотрим цилиндрические координаты. В них для точек полушара