9403

Рис. 50.7

Внешний интегр ал берётся по переменной ϕ , и формула замены двойного интеграла повторным в полярных координатах выглядит следующим образом:

Рис. 50.8

Если полюс принадлежит области интегрирования (рис. 50.8), то в этой

Рис. 50.9

71

Рис. 50.10

Из геометрических соображений ясно, что полярные координаты точек окружности связаны в этом случае соотношением r = 2R cos ϕ (рис. 50.10). К такому же выводу мы придём, если запишем сначала уравнение

Именно такой способ получения уравнения линии в полярных координатах чаще всего используется в конкретных задачах.

72

Лекция 51. Применение двойных интегралов для вычисления площади поверхности и решения задач механики

51.1. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла. Мы умеем вычислять площади поверхности цилиндра и конуса, переходя к их развёрткам на плоскость (рис. 51.1 и 51.2).

r

2π r

окружности 2πl соответствует площадь πl2 , то сектору с длиной дуги 2πr соответствует площадь πrl .

l

S = πrl

l

2πr r

r

Рис.51. 2

Перейдём к более сложной ситуации. Рассмотрим в пространстве поверхность, заданную уравнением z = f ( x, y ) . Часть этой поверхности,

ограниченную линией Г , обозначим Q . Предполагаем при этом, что функция z = f ( x, y ) является непрерывной вместе со своими частными производными. Ставим задачу найти площадь S поверхности Q . Для её

решения можно использовать двойной интеграл. Но вначале нужно определить, что понимать под площадью поверхности в этом случае.

73

Проекцию пространственной линии Г на плоскость xOу обозначим

Рис. 51.3

плоскости выделим область Qi , которая проецируется на частичную подобласть Di в плоскости xOу (рис. 51.4). Площадь подобласти Qi обозначим qi . Если для всех частей Di плоской области найти соответствующие им области Qi на касательных плоскостях к исходной

Рис. 51.4

Ясно, что чем «мельче» будет разбита область D на части, тем точнее сумма In будет соответствовать тому числу, которое следует считать

площадью поверхности Q . За точное значение S площади поверхности Q естественно принять предел сумм In при неограниченном увеличении числа подобластей Di . Как обычно, будем предполагать, что диаметр разбиения стремится к нулю при n → ∞ , т.е.

xOу двугранный угол, измеряющийся линейным углом, который мы

k = {0 , 0 ,1} . Поскольку угол между плоскостями равен углу между

Найдём площад ь поверхности полусферы радиуса R (рис. 51.5). В декартовых коорди натах верхняя полусфера задается уравнением

z = R2 −x2 − y2 .

Рис. 51.5

Найдём подынтеграль ное выражение

51.2. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской фигуры. Если плоскую область рассматривать как материальную пластинку, толщиной которой можно пренебречь, то с помощью двойного интеграла можно находить для неё координаты центра тяжести и моменты инерции относительно некоторой оси или точки.

Напомним, что для системы n материальных точек (xi , yi ) , с массами mi (i = 1, 2, K, n) , расположенных на плоскости координаты центра тяжести вычисляют по формулам

называются статическими моментами системы точек относительно координатных осей Oy и Ox .

Моментом инерцииI1 материальной точки P с массой m

относительно какой-либо оси называется произведение массы m на квадрат расстояния r от точки P до этой оси I1 = mr2 . Если в качестве r

рассматривается расстояние от точки P до точки O , то момент инерции точки P с массой m относительно точки O определяется по той же формуле. Моментом инерции системы n материальных точек с

массами mi (i = 1, 2, K, n) относительно оси или точки O называется

сумма моментов инерции точек системы, т.е., моменты инерции относительно координатных осей Oy и Ox имеют вид

Физические понятия, рассмотренные для системы масс, перенесём на плоские области. Определим их для пластинки, занимающей некоторую

Поверхностной плотностью γ в точке P называется предел приближённого значения плотности, если Di стягивается в точку и

Si → 0

В каждой точке области D поверхностная плотность, вообще говоря, своя, отличная от плотности в других точках, то есть поверхностная плотность является функцией точки. Поскольку точка P на плоскости xOу задаётся двумя координатами, получаем функцию двух переменных

γ= γ(x, y) .

Разобьём область D на малые подобласти Di , в каждой из которых выберем произвольную точку Pi (xi , yi ) с плотностью γ(xi , yi ) в

Точное значение массы рассматриваемой плоской пластинки D получим, устремив к нулю размеры частей Di , на которые она раздроблена

материальных точек. Это даёт приближённое значение статических моментов D относительно координатных осей Oy и Ox

При диаметре разбиения, стремящемся к нулю, интегральные суммы перейдут в пределе в двойные интегралы, которые называются

статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и

Ox

78

M y = ∫∫ x γ( x, y )dxdy и M x = ∫∫ y γ( x, y )dxdy .

D D

Формулы, позволяющие вычислять координаты центра тяжести плоской фигуры, имеют тот же вид, что и для системы материальных

вычисляются уже не через суммы, а с помощью двойных интегралов.

Для однородной пластинки D , имеющей постоянную во всех точках поверхностную плотность γ(x, y) ≡ γ, масса выражается через её площадь M = γS , а при вычислении статических моментов постоянный множитель γ можно вынести за знак двойных интегралов. Поэтому формулы для координат центра тяжести в этом случае приобретают вид

Рассуждая аналогичным образом, моментом инерции плоской фигуры D относительно некоторой оси или точки назовём двойной интеграл по этой области от функции, равной квадрату расстояния от точки фигуры до этой оси или точки. В частности, моменты инерции относительно координатных осей приобретут вид

С(0,?)

79

Перейдём в двойном интеграле к полярным координатам и вычислим

его

Итак, центр тяжести полукруга имеет координаты (0, 43πR) .

Вычислим далее момент инерции круга радиуса R относительно его центра. Для этого начало координат расположим в центре круга. Считаем плотность постоянной γ =1. Тогда

I o = ∫∫ ( x 2 + y 2 )d xd y .

D

После перехода к полярным координатам получим

80