9398

Рис. 55. 2

Ясно, что в случае криволинейной траектории перемещения и непостоянной по ве личине и направлению силы, данная формула для подсчета работы непр именима. На помощь, как часто в подобных случаях, приходит интегральн ая методология. В согласии с ней, для решения поставленной задачи разобьем кривую L на n отрезков (см. рис. 55.2,б). Работа W сил поля по кривой AB очевидно будет раавна сумме работ

или на zi , то мы придем к определению криволинейных интегралов от функции f(x,y,z) по координатам y или z, которые имеют обозначения

Если возвратиться к задаче о вычислении работы сил поля при перемещении материальной точки, то, используя введенные обозначения, формулу (54.2) можно переписать в виде

В дальнейшем большее внимание мы будем уделять плоским силовым полям. В этом случае F(x, y) = P(x, y)i +Q(x, y) j и формула для работы в таком силовом поле будет иметь вид

W = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

L

55.2. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода. В

определении криволинейного интеграла 2-го рода (как и в определениях интегралов других видов) много условий накладывается на факт его существования. Но оказывается, что, если в области D функция f(x,y,z)

непрерывна и кривая L имеет непрерывно изменяющуюся касательную, то криволинейные интегралы (55.4),(55.5) существуют.

Остановимся на свойствах криволинейного интеграла 2-го рода. Непосредственно из определения вытекает, что постоянное число можно выносить за знак криволинейного интеграла и интеграл от суммы или разности равен сумме и разности интегралов. Отметим еще следующие свойства.

1) ∫1dx = x(B) − x(A); ∫1dy = y(B) − y(A); ∫1dz = z(B) − z(A) ,

иB, соответственно.

2)Так как при изменении направления движения по кривой меняется знак приращения координат, то при вычислении криволинейного интеграла 2-го рода, в отличие от криволинейных интегралов 1-го рода, необходимо учитывать направление прохождения кривой AB. И потому:

113

∫ f(x, y, z)dx = − ∫ f(x, y, z)dx.

4) Если при перемещении вдоль кривой L от точки A к точке B изменения какой-либо координаты не происходит, то криволинейный интеграл 2-го рода по соответствующей координате равен 0. Это означает,

Применительно к решению задачи о вычислении работы при перемkещении материальной точки в силовом поле этот факт означает, что, если движение по кривой происходит параллельно одной из координатных плоскостей, то проекция силы на ось, перпендикулярную этой плоскости, никакого вклада в работу не привносит.

55.3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода сводится к вычислению определенных интегралов, причем формы сведения существенно зависят от того, в каком виде задана кривая, вдоль которой происходит интегрирование. В случае, когда ситуация рассматривается в пространстве, наиболее естественным является параметрическое задание кривой L, т.е. её определение в виде

x = x(t); y = y(t); z = z(t) α ≤ t ≤ β,

= ∫(F(x(t),y(t),z(t))x (t) + Q(x(t),y(t),z(t))y (t)) + R(x(t),y(t),z(t))z (t)dt

α

Вычислим, например, криволинейный интеграл

114

∫ xdx + ydy+(x+y − 1 )dz

L

(55.8) примет вид

от точки A(−1,1) до точки B(1,1) по дуге параболы y=x2 (рис. 55.3) и по прямой.

115

Рис. 55.3

При движении по прямой от точки A до точки B

Этот простой пример показывает, что значение криволинейного интеграла 2-го рода существенно зависит от того, по какой кривой происходит перемещение из одной точки в другую.

55.4. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. В физических задачах нередко возникают ситуации, когда кривая L, по которой происходит перемещение, представляет собой замкнутый контур, т.е. она является замкнутой и не пересекает сама себя (см.рис.55.4). Криволинейный инт еграл 2-го рода, вычисляемый по такой кривой, называется криволин ейным интегралом по замкнутому контуру, и он имеет специальное обозначение

В этих обозначениях не видна начальная точка A. Но из 3-го свойства криволинейных интеггралов следует, что криволинейные интегралы (2.13) не зависят от положения начальной точки на контуре L, а зависят лишь от направления обхода контура L.

116

Рис. 55.4

Если на контуре L отметить две точки А и В и соединить их некоторой кривой АВ, то сформируются два контура: контур L1 , проходимый в

последовательности А ВСА и контур L2, проходимый в последовательности ADBA. В таком случа е будет справедлива формула

∫ f (x, y , z ) dx = ∫ f (x, y, z ) dx + ∫ f (x, y, z ) dx.

Сосредоточим внимание на случае, когда замкнутый контур L лежит на плоскости. Будем говорить, что этот контур обходится в положительном направлении, если ограниченная этим контуром область на плоскости остается слева от направления обхода.

Рис. 55.5

На рис. 55.5,а) контур L обходится в положительном направлении, т.к. область D, ограниченная этим контуром, остается сле ва от направления обхода. Замкнутая область D на плоскости называется односвязной, если любой замкнутый ко нтур, лежащий в области D, м ожно непрерывно стянуть в точку, не в ыходя за пределы области D. Области, изображенные на рис. 55,а и рис. 55.5,б являются односвязными, а область D

117

изображенная на рис. 55.6,в , ограниченная извне контуром C1, а изнутри контуром C2 таковой не является, т.к. контур C0 нельзя стянуть в точку, не

выходя за пределы области D.

Небольшой экскурс в область свойств и способов обхода замкнутых кривых на плоскости объясняется тем, что английский математик Джордж Грин доказал следующую теорему, которая устанавливает, на первый взгляд, несколько неожиданную связь между криволинейными интегралами по замкн утому контуру и двойными интегралами.

Теорема. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) , Py′(x, y),Qx′(x, y) непрерывны в односвязной области D, ограниченной контуром L , который имеет непрерывно меняющуюся касательную. Тогда справе длива следующая формула («Формула Г рина»)

криволинейного интеграла по замкнутому контуру свести к вычислению двойного интеграла п о области, ограниченной этим зам кнутым контуром. Поверив без доказательства в справедливость приве денной формулы, применим ее, например, для вычисления следующего криволинейного интеграла:

∫ ( x 2 + y 2 )dx + ( x + y )2 dy ,

L

где L – контур треугольника с вершинами в точках A(1,1), B(2,2) , C(1,3) ,

P(x, y) = (x2 + y 2 ) , Q(x, y) = (x + y)2 , то Py′(x, y) = 2y, Qx′(x, y) = 2(x + y) .

Рис. 55.6

Применив формулу Грина (55.12), получаем

118

∫∫(x 2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy = ∫∫( 2(x + y) - 4 y )dxdy = ∫∫ 2(x - y)dxdy =

Если в формуле (55.12)поменять местами левую и правую части, то можно будет увидеть, что формула Грина является обобщением формулы Ньютона– Лейбница. Действительно, по формуле Ньютона– Лейбница значение определенного интеграла по внутренности отрезка равно разности значений первообразной на концах отрезка. Также и формула Грина показывает, что значение двойного интеграла от функции, определенной во внутренности области D может быть вычислено с помощью криволинейного интеграла от функций, определенных только на

119

Лекция 56. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

В предыдущей лекции было обращено внимание на тот факт, что криволинейный интеграл 2-го рода зависит в общем случае не только от положения начальной и конечной точек на плоскости или в пространстве, но и от кривых, по которым происходит процесс интегрирования. В то же время, из курса физики известно, что в поле силы тяжести или в электростатическом поле работа сил поля по перемещению тела или заряда из одного положения в другое не зависит от пути, по которому это перемещение происходит. Также известно, что для каждого из упомянутых силовых полей существует так называемая потенциальная функция. Это означает, что с каждой точкой пространства удается связать некоторое число, называемое потенциалом, и работа сил поля по перемещению объекта из одного положения в другое определяется как разность потенциалов в конечной и начальной точках перемещения. Ранее было установлено, что работа сил поля вычисляется с помощью криволинейных интегралов 2-го рода. В связи с этим естественно возникает вопрос: «при каких условиях криволинейные интегралы 2-го рода не зависят от пути интегрировании?» или в физической интерпретации: «когда исследуемые физические силовые поля обладают вышеуказанными свойствами?». В этой лекции будет дан исчерпывающий ответ на данный вопрос.

56.1. Случай плоского силового поля. Остановимся на случае плоского силового поля, т.е. на рассмотрении криволинейного интеграл

∫ P(x, y)dx + Q (x, y)dy

AB

120