9391

Лекция 44. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Ранее мы рассмотрели несколько типов дифференциальных уравнений второго порядка, которые путем соответствующей замены переменной приводились к дифференциальным уравнениям первого порядка. Теперь мы перейдём к изучению важного класса линейных дифференциальных уравнений второго порядка, в которые неизвестная функция и ее производные входят линейно, т.е. имеющих вид

где функции ai (x) , i =1,2,3 называют коэффициентами этого уравнения. Не умаляя общности, будем считать, что a0 (x) = 1, т.к. к такому виду

то такое уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.

Будем предполагать, что функции a1 (x), a2 (x) и f (x) непрерывны в интервале (a,b) . Записав уравнение следующим образом

y′′ = -a1 (x) y′ - a2 (x) y + f (x) ,

замечаем, что оно является частным случаем уравнения

y′′ = F (x, y, y′) = -a1 (x) y′ - a2 (x) y + f (x) .

Для существования и единственности решения задачи Коши требуется, чтобы функции F (x, y, y′) , Fy′(x, y, y′) и Fy′′ ( x, y, y′) были непрерывными. В данном случае

Fy′(x, y, y′) = −a2 (x) , Fy′′ (x, y, y′) = −a1 (x)

и, следовательно, условия теоремы Коши выполнены. Поэтому при любых начальных условиях

уравнение (44.2) имеет единственное решение.

31

44.1. Линейный осциллятор. Уравнение вида (44.1) служит математической моделью разнообразных колебательных физических процессов. Например, рассмотрим движение груза массы m , подвешенного на пружине, массой которой пренебрегаем (см. рис. 44.1).

l

O x

Рис. 44.1

Предполагаем, что взаимодействие груза и пружины описывается законом Гука (сила пропорциональна удлинению). Вес груза mg ,

вызвавший удлинение l пружины, уравновешивается силой упругости, т.е. k l = mg . Введём систему координат, приняв за начало точку O –

положение равновесия груза на пружине. Выведем груз из положения

Предположим также, что среда, в которой движется груз, оказывает сопротивление движению, пропорциональное (с коэффициентом пропорциональности h ) скорости движения. Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим

ЭДС, равная −L dI / dt , а падение напряжения на сопротивлении равно

−RI . В силу закона Кирхгофа получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

q&& + R q& + 1 q = 0 , L LC

32

описывающее изменение заряда в этом контуре.

q

L R

C

Рис. 44.2

Рассмотренные в этом пункте математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.

44.2. Структура общего решения дифференциального уравнения второго порядка. Прежде, чем находить решения, отметим важные

также будет его решением. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой

комбинации двух линейно независимых решений дифференциального уравнения (44.2) множество всех решений этого уравнения? Ответ на этот вопрос утвердителен.

В самом деле, пусть y* (x) – некоторое решение, удовлетворяющее начальным условиям

Покажем, что при некоторых значениях C1 и C2 линейная комбинация (44.4) совпадает с y* (x) . Для этого в силу единственности решения задачи Коши требуется, чтобы при некоторых C1 и C2 совпадали начальные

33

условия этой линейной комбинации и выбранного решения, т.е. система линейных алгебраических уравнений

имела единственное решение. Убедимся, что определитель этой системы,

называемый определителем Вронского

отличен от нуля.

Действительно, если предположить от противного, что этот определитель равен нулю, то соответствующая система однородных уравнений

имеет ненулевое решение (C1* ,C2* ) . Образуем функцию y( x) = C1* y1 ( x) + C2* y2 ( x) ,

которая также является решением дифференциального уравнения (44.2). Согласно (44.6) эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям. В силу теоремы единственности решения задачи Коши отсюда будет следовать, что она тождественно равна нулю, т.е.

определитель Вронского не равен нулю. Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка представляет собой линейную комбинацию любых двух его непропорциональных (линейно независимых) решений.

Перейдем теперь к неоднородному уравнению

Пусть y(x) – какое-нибудь его решение. Покажем, что общее решение уравнения (44.7) имеет вид

+( y′′ + a1 y′ + a2 y ) = f (x) ,

т.е. функция (44.8) будет решением уравнения (44.7) при любых значениях C1 и C2 . Очевидно, что для произвольного решения неоднородного

уравнения с заданными начальными условиями, решая линейную систему алгебраических уравнений, можно найти значения C1 и C2 , при которых

выбранное решение будет совпадать с функцией (44.8). Таким образом, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

35

Лекция 45. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Особенно просто находятся решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

которое называют характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения.

Возможны следующие варианты. Если уравнение (45.2) имеет два

непропорциональные решения уравнения (45.1) (их отношение, очевидно, не равно постоянной величине). В этом случае общее решение уравнения (45.1) имеет вид

y= C1eλ1x + C2eλ 2 x .

Вкачестве иллюстрации рассмотрим движение груза на пружинке. Напомним, что отклонение y(t) груза массы m от положения равновесия

под действием внешней силы f1 (t) приводит к уравнению

my′′ + hy′ + ky = f1 (t) ,

где второй член уравнения характеризует силу сопротивления среды, а третий «отвечает» за упругую силу пружины. По смыслу задачи коэффициенты h и k положительны. Введя очевидные обозначения, перепишем это уравнение следующим образом

заданию в начальный момент t0 = 0 положения груза и его начальной скорости. Рассмотрим сначала однородное уравнение

Рис. 45.1

Рассмотрим теперь случай, когда характеристическое уравнение

случае говорят, что λ1 – корень кратности два). Из предыдущего следует, что функция y1 = eλ 1x будет решением дифференциального уравнения (45.1). Убедимся непосредственной подстановкой, что функция y2 = xeλ 1x также будет решением этого уравнения

(xy1 )′′ + a1 (xy1 )′ + a2 (xy1 ) = ( y1 + xy1′)′ + a1 ( y1 + xy1′) + a2 (xy1 ) = = x( y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 ) + 2 y1′ + a1 y1 = 0 + (2λ1 + a1 )eλ1x = 0 .

Так как функции y1 = eλ 1x и y2 = xeλ 1x непропорциональны, то в этом случае общее решение уравнения (45.1) имеет вид

y= C1eλ 1x + C2 xeλ 1x = eλ 1x (C1 + C2 x) .

Вмодели движения груза на пружинке рассматриваемому случаю соответствует равенство a12 / 4 − a2 = 0 , когда корни характеристического

уравнения равны λ 1,2= −a1 / 2 . В физическом плане это означает, что сила сопротивления и сила упругости пружины «уравновешены» в смысле

график решения y(t) = (1 + 2t)e− t также приведён на рис. 45.1. Сначала

груз движется под действием начального «толчка», а потом стремится к положению равновесия.

случае дифференциальное уравнение будет иметь решением комплекснозначные функции вида e(α ±β i ) x . Выделим из них вещественные решения.

Применяя знаменитую формулу Эйлера

e(α±βi ) x = eαx (cosβx ± i sin βx) ,

38

можно убедиться, что в этом случае действительная и мнимая части этой

y= eαx (C1 cosβx + C2 sin βx) .

Вмодели движения груза на пружине этот случай характеризуется

неравенством a12 / 4 − a2 < 0 , физический смысл которого состоит в том,

что упругая сила пружины превосходит силу сопротивления среды. Обозначим, для краткости, корни характеристического уравнения

Вещественное решение уравнения, как мы показали ранее, имеет вид

y(t) = e α t (C1 cosβ t + C2 sin β t) .

Из школьного курса физики известно, что сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой снова гармоническое колебание с той же частотой. Действительно,

= С12 + С22 (sinγ0 cosβ t + cos γ0 sin β t ) = С12 + С22 sin(β t + γ0 ) .

Таким образом, груз будет совершать затухающие колебания с частотой β по закону, описываемому функцией

Это так называемые собственные колебания изучаемой физической системы. Напомним, что рассмотренные модели вида (45.1), которые описывают движение груза на пружине или изменения заряда в электрическом контуре, мы называли линейным осциллятором.

Рассмотрим конкретный пример

постоянных, получим y(t) = e−0,1t sin t . График этого решения приведён на рис. 45.2.

Рис. 45.2

В идеальном случае, когда сопротивление среды отсутствует, уравнение y′′ + a2 y = 0 удобно записать в виде y′′ + ω2 y = 0 . Его решение

представляет собой гармонические незатухающие колебания с частотой ω .

Лекция 46. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

40