9357
.pdf
преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей.
Вычисление значений неизвестных проводят на этапе обратного хода.
Рассмотрим схему решения системы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.
Прямой ход. На первом шаге алгоритма исключают неизвестное х2 из уравнений с номерами 2, 3, 4, ..., п. Чтобы исключить х1 из i-го уравнения,
необходимо первое уравнение умножить на отношение ai1/a11 и вычесть его из i-го уравнения. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при х1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему.
На втором шаге исключаем из полученной системы неизвестное х2 из уравнений 3, 4, ..., п. Множители второго шага вычислим по выражению ai2/a22 и вычислим последовательно из третьего, четвертого и ..., п-го уравнений ранее преобразованной системы линейных алгебраических уравнений второе уравнение, умноженное на соответствующие множители.
Аналогично проводятся остальные шаги. После (n – 1) - го шага исключения получают систему уравнений следующего вида:
Полученная матрица А(п–1) является верхней треугольной матрицей. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.
Обратный ход. Из последнего уравнения треугольной системы находят
хп. Подставляя найденные значения хn в предпоследнее уравнение, получают
хп–1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находят неизвестные хп–2, хп–3,..., х3, х2, х1.
Нетрудно заметить, что для реализации метода Гаусса требуется (2/3)n2
арифметических действий, причем подавляющее число действий совершается
на этапе прямого хода.
41
5. Применение моделирования для расчета процессов тепломассообмена
5.1. Теплоотдача вертикальной трубы Для тел любой формы, кроме горизонтальных труб, критериальное
уравнение имеет вид
|
|
|
Num = c(Gr∙Pr)mn. |
(5.1) |
|||
|
Значения с и п зависят от значения произведения критерия Грасгофа |
||||||
Gr |
g β 3 |
|
|
|
|
|
|
c 0 |
и критерия Прандтля Pr = v/a и приведены в табл. 5.I. |
||||||
ν2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gr∙Pr |
с |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1∙10-3 – 5∙102 |
1,18 |
1/8 |
|
|
|
|
|
5∙102 – 2∙107 |
0,54 |
1/4 |
|
|
|
|
|
2∙107 – 1∙1012 |
0,135 |
1/3 |
|
|
Формула справедлива для капельных и газообразных жидкостей при Рг > 0,7. Определяющая температура tm = (tc + tж)/2. Определяющий размер:
для шаров и вертикальных труб – их диаметр (l = d), для вертикальных плит – их высота (l = h), для горизонтальных плит – меньшая сторона плиты. В
последнем случае если теплоотдающая поверхность обращена кверху, то полученное значение коэффициента теплоотдачи следует увеличить на
30%; если же она, обращена вниз, значение надо уменьшить на 30 %.
Определим тепловые потери вертикальной трубы с внешним диаметром
D = 100 мм и длиной l = 8 м, если температура наружной поверхности трубы
tc = 180 °C, а температура окружающего воздуха tж = 20 °С.
Находим определяющую температуру
tm = |
c + ж |
= |
180 + 20 |
= 100 °С, |
||
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
определяем соответствующие этой температуре параметры воздуха при tm =
100 °С: = 3,21∙10-2 Вт/(м∙°С), |
= 23,13∙10-6 м2/с, Pr = 0,688, |
||||
Определяем значение критерия Gr: |
|||||
|
g β 3 |
|
9,81 160 0,13 |
||
Gr |
c 0 |
|
|
6 |
|
ν2 |
= 373(23,13 10-6 )2 = 7,9∙10 , |
||||
|
|||||
|
|
42 |
|
||
где β = |
1 |
= |
1 |
; ϑc = 180 – 20 = 160 °С – разность температур, которой |
|
373 |
|||
|
|
|
|
|
обусловлено свободное движение, определяем значение (Gr∙Pr)m = 7,9∙106∙0,688 = 5,43∙106, определяем значения С и n из таблицы 5.1: С = 0,54 и n = 14 и
определяем значение критерия Nu: Nu = 0,54(5,43∙106)1/4 = 26.
Отсюда коэффициент теплоотдачи равен:
= ∙ = 26∙3,21∙10−2 = 8,4 Вт/м2град.0,1
Тепловые потери равны:
Q = ∙F∙(tc – tж) = 8,4-3,14-0,1-8-160 = 3340 Вт.
5.2. Теплоотдача при омывании пучков труб
При поперечном омывании пучков труб вид критериального уравнения зависит от расположения труб. В теплообменных аппаратах трубы обычно
располагаются в коридорном или шахматном порядке (рис. 5.1 и 5.2).
При коридорном расположении труб критериальное уравнение имеет вид:
|
Nu = 0,23∙Re0,65Pr0,33(Prж/Prс)0,25 |
(5.24) |
Для воздуха уравнение может быть упрощено: Nu = 0,21∙Re0,65 |
(5.25) |
|
При шахматном расположении труб: |
|
|
|
Nu = 0,41∙Re0,6Pr0,33(Prж/Prс)0,25 |
(5.26) |
Для воздуха: |
Nu = 0,37∙Re0,6. |
(5.27) |
По уравнениям |
(5.24) ÷ (5.27) может быть установлено среднее значение |
|
коэффициента теплоотдачи для труб в третьем и последующих рядах |
( ш). Для |
|
первого ряда труб полученное значение |
ш следует уменьшить на 40 % как |
при коридорном, так и при шахматном расположении труб: |
|
I = 0,6 ш. |
(5.28) |
Значение II для второго ряда труб при коридорном расположении |
|
следует уменьшить на 10 %: |
|
II = 0,9 ш. |
(5.29) |
При шахматном расположении – на 30%:
43
|
|
|
|
II = 0,7 ш. |
|
|
|
|
(5.30) |
|||
Средний коэффициент теплоотдачи всего пучка труб, состоящего из т ря- |
||||||||||||
дов, определяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ + |
( + + ) |
|
|
|||||
|
|
пуч = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(5.31) |
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где I, |
II, |
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– средние значения коэффициентов теплоотдачи первого, |
||||||||||||
второго |
и третьего |
рядов, FI, |
FII, |
FIII |
– |
поверхности нагрева |
трубок в |
|||||
соответствующих рядах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 5.1 Схема коридорного |
Рис. 5.2 Схема шахматного |
расположения труб |
расположения труб |
Рассчитаем теплоотдачу теплообменного аппарата, состоящего из восьми одинаковых коридорных рядов труб, омываемых поперечным потоком воздуха при Р = 10 МПа.
Определим значение коэффициента теплоотдачи для первого, второго и третьего рядов труб и среднее значение коэффициента теплоотдачи для всего пучка труб, если внешний диаметр труб d = 30 мм, средняя температура воздуха, омывающего трубы, tж = 200 °С, средняя скорость воздуха в узком сечении w = 20 м/с.
Решение. Определяющая температура – tж. Значения физических параметров воздуха при tж = 200 сС: v = 34,85∙10-6 м2/с; = 3,93∙10–2 Вт/(м∙ сС).
Определяем значение критерия Reж:
44
Reж = |
w 0 0 |
= |
20 0,03 |
= 1,72∙104. |
|
ν |
34,85 10-6 |
||||
|
|
|
При значениях, Reж = 2∙102 ÷ 2∙105 значение Nuж может быть вычислено по уравнению (5.25):
Nuж = 0,21(1,72∙104)0,65 = 118,9 = 119.
Отсюда коэффициент теплоотдачи третьего и последующего рядов труб
равен:
III = |
∙ |
= |
119,6∙3,93∙10−2 |
= 156 Вт/(м2 сС), |
|
|
0,03 |
||||
|
|
|
для первого ряда труб (см. уравнение 5.28)
аI = 0,6∙ III = 0,6∙156 = 93,6 Вт/(м2 сС);
для второго ряда труб (см. уравнение 5.29)
аII = 0,9∙ III = 0,9∙156 = 140 Вт/(м2 сС).
Средний коэффициент теплоотдачи всего пучка труб
|
+ |
+ |
( + + |
) |
|
93,6+140+6∙156 |
|||
пуч = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
= 146 Вт/(м2 сС). |
|
+ + |
|
|
8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Теплопередача в теплообменных аппаратах.
Теплообменные аппараты, в которых тепловоспринимающая и теплоотдающая жидкости протекают одновременно и тепло передается через разделяющую их стенку, называются рекуперативными или поверхностными теплообменными аппаратами непрерывного действия. Наиболее распространенными типами таких теплообменных аппаратов являются трубчатые. В зависимости от направления движения рабочих жидкостей различают теплообменные аппараты прямоточные, противоточные, с
перекрестным и смешанным током.
5.3.1. Тепловой расчет При расчете теплообменных аппаратов основными уравнениями
являются уравнение теплового баланса и уравнение теплопередачи.
Уравнение теплового баланса имеет вид:
|
(′ |
1 |
− " |
) = |
( " |
2 |
− ′ |
) |
(5.32) |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
где ′ |
, , " |
, – начальные и конечные температуры теплоносителей на входе и |
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
выходе |
из |
теплообменного аппарата; |
′ |
2 и |
"2 – температуры |
тепловоспринимающей жидкости на входе и выходе из теплообменного
аппарата; G1 = w1ρ1F1 и G2 = w2ρ2F2 – массовые расходы теплоносителей, не изменяющих агрегатного состояния; w1ρ1 и w2ρ2 – скорости и плотности теплоотдающей и тепловоспринимающей жидкостей; Fl и F2 – поверхности теплообмена со стороны теплоотдающей и тепловоспринимающей жидкости.
Таким образом, левая часть уравнения теплового баланса представляет собой количество тепла, переданное теплоотдающей жидкости, а правая – количество тепла, полученное тепловоспринимающей жидкостью.
При расчете теплообменных аппаратов вводится понятие о водяном эквиваленте W, равном количеству тепла, необходимому для нагревания на 1°
массы G кг теплоносителя с теплоемкостью c: |
|
|
|
|
|||||
|
|
W = Gc. |
|
|
|
(5.33) |
|||
Из уравнения теплового баланса получим W1( ′ |
− |
") = W2( " |
− ′ ) отсюда: |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
′ − " |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
= |
2 |
|
|
|
|
(5.34) |
|
" |
|
|
|
|
|
|||
|
− ′ |
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (5.34) следует, что изменение температур теплоносителей
обратно пропорционально их водяным эквивалентам. Уравнения (5.32) и (5.34)
составлены без учета тепловых потерь во внешнюю среду. Приближенно тепловые потери во внешнюю среду принимаются порядка 1 – 3 % от общего количества тепла. Количество теплоты, переданное от теплоотдающей жидкости тепловоспринимающей определяется по уравнению теплопередачи
Q k F tср , где – среднее значение температурного напора, которое
определяется различно в зависимости от типа теплообменного аппарата.
При прямотоке температура тепловоспринимающей среды не может превысить низшего значения температуры теплоотдающей среды. При противотоке она может достигнуть температуры, близкой к значению максимальной температуры теплоотдающей жидкости. Все остальные схемы
находятся между этими двумя случаями.
46
Для прямоточных и противоточных теплообменных аппаратов среднее значение температурного напора определяется по формуле
t |
ср |
tвх tвых |
|
|
|
(5.35) |
||||||||
|
|
tвх |
|
|
|
|||||||||
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
tвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При других схемах течения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tср |
tвх |
tвых t . |
|
|
|
(5.36) |
|||||||
|
|
|
|
ln |
tвх |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tвых |
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициент |
t |
определяется как функция двух вспомогательных |
||||||||||||
величин: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||
|
R |
t1 |
t1 |
; |
P |
t2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t2 |
t2 |
|
t1 |
t1 |
|||||||
для наиболее часто встречающихся случаев в виде номограмм.
Рис.5.3. Номограмма для определения поправочного коэффициента
При приближенных расчетах значение среднего температурного напора можно определить по формуле среднеарифметического температурного напора.
Значение среднеарифметического температурного напора больше средне
логарифмического, но при tвх / tвых <1,7 использование среднеарифметического температурного вместо средне логарифмического дает погрешность 2 %.
Коэффициент теплопередачи при равенстве внутренней и внешней поверхностей теплообмена определяется по формуле
47
k = |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
1 |
+ |
|
+ |
1 |
|
||
|
1 |
|
2 |
||||
|
|
|
|||||
Коэффициенты теплоотдачи |
1 и |
2 |
должны быть вычислены с учетом |
||||
изменения температуры рабочих жидкостей, для этого физические параметры рабочих жидкостей берутся по их средним температурам.
Внекоторых случаях коэффициенты теплопередачи вычисляют в начале
ив конце поверхности нагрева и принимают среднее из полученных значений.
Если расхождение в значениях коэффициентов теплопередачи в начале и в конце поверхности нагрева велико, расчет ведется по отдельным участкам. Для определения коэффициентов теплоотдачи 1 в трубах имеем критериальное уравнение
Nuжd = 0,0210,8 |
0,43 |
|
|
0,25 |
|
( |
ж |
) |
∙, |
||
|
|||||
ж |
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а для 2 в межтрубном пространстве могут быть использованы уравнения,
приведенные в этом разделе выше.
Способы расположения трубок в пучке могут быть различными. Широко используется шахматное расположение при размещении осей трубок в вершинах равносторонних треугольников.
Рис. 5.4
Такое расположение компактно и дает возможность при одном и том же значении шага S разместить на единице площади трубной доски наибольшее число трубок. Элементарная площадка трубной доски, приходящаяся на одну трубку при коридорном расположении (рис. 5.1) составляет
(5.37)
48
при шахматном расположении с размещением трубок в вершинах равно-
сторонних треугольников значение f равно:
|
или |
, |
(5.38) |
где d2 – наружный диаметр трубок. |
|
|
|
Значение |
эквивалентного диаметра |
устанавливается на |
основании |
формулы dэкв = 4F/U. При треугольной разбивке dэкв равно
.
Эта формула может быть представлена иначе:
.
Величину шага S обычно выбирают возможно меньшей для сокращения размеров аппарата. Минимальная величина шага лимитируется методом крепления трубок к трубной доске и в большинстве встречающихся на практике случаев может быть принята равной S = (1,25 – 1,3)d2.
По формулам (5.37), (5.38) может быть установлено значение f при полном использовании трубной доски. В действительности площадь трубной доски не может быть использована полностью из-за наличия перегородок,
анкерных связей и пр.
Отношение действительного количества трубок в пучке к числу трубок,
которые могут быть размещены при полном использовании площади трубной доски, называется коэффициентом заполнения трубной доски ηтр. При треугольной разбивке
где D – диаметр трубной доски; z – число трубок. Отсюда диаметр трубной
доски равен
(5.39)
49
5.3.2. Гидравлический расчет При расчете теплообменных аппаратов кроме теплового должен быть
сделан также и гидравлический расчет, который сводится к определению потерь давления по тракту каждого из теплоносителей.
Падение давления ∆то в теплообменниках при прохождении теплоносителя по трубам и в межтрубном пространстве складывается из потерь на сопротивления трению и на местные сопротивления, Па, т.е.
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
∆ |
= ∆ |
+ ∆ |
= |
|
|
|
+ |
|
(5.40) |
|
|
|
|||||||
то |
тр |
м.с. |
|
э |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где λ – коэффициент гидравлического трения (величина безразмерная; для
стальных труб λ≈0,03, для латунных λ≈0,02); l – длина трубы или канала, м; dэ = 4 – эквивалентный диаметр сечения канала, м; ω – средняя скорость движения теплоносителя на данном участке, м/с; – плотность теплоносителя,
кг/м3; – площадь сечения прохода теплоносителя, м2; S – смоченный периметр прохода теплоносителя, м; – сумма коэффициентов местных
сопротивлений (табл. 5.1).
При перекачке вязких жидкостей рекомендуется коэффициент
гидравлического трения определять по эмпирической зависимости: |
|
= 0,02 + 1,7/0.5 |
(5.41) |
где Re – число Рейнольдса для потока жидкости. |
|
Ускорение потока газообразных жидкостей в каналах |
постоянного |
сечения вследствие изменения объема (например, при нагревании) вызывает
потерю давления ∆у, Па, равную: |
|
|
||||
|
|
∆ |
= |
2 |
− 2 |
(5.42) |
|
|
у |
2 |
2 |
1 1 |
|
где |
1 и |
2 – плотность газа во входном и выходном сечениях потока, кг/м3; |
||||
1 |
и 2 – скорости во входном и выходном сечениях потока, м/с. |
|
||||
|
Если |
теплообменник, |
по которому движется газообразная |
жидкость, |
||
сообщается с окружающей средой (атмосферой, пространством под вакуумом и т. д.), надо учитывать гидростатическое давление столба жидкости по формуле
∆гс = ± (1 − 0) |
(5.43) |
50 |
|