9286

zmin z(M2 ) 1.

Задача 8. (минимизация функции нескольких переменных методом Ньютона).

Минимизировать функцию f (х) методом Ньютона с заданной точностью

10 3.

f (х) х12 2х22 х12 х22 х32 ехр(х22 х32 ) х2 х3

101

102

103

Задачи для раздела 4.

Задача 1. Геометрический способ решения ЗНЛП

F (x1 3)2 (x2 4)2 min, max

104

3x1 2x2 710x1 x2 8

18x1 4x2 12 x1, x2 0

(x1 3)2 (x2 4)2 h 2(x1 3) 2(x2 4)x2' 0

x1* 123101; x2* 101422

f (min) 324101 x**1 2, x**2 12, f (max) 65

Задача 2. (метод Лагранжа)

Методом Лагранжа найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Составим функцию Лагранжа

105

и рассмотрим систему уравне-

ний

Она имеет единственное решение то есть – единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи.

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа и подстав-

ляя и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной при . Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке условный ми-

нимум.

Задача 3. (показывает, что в правиле множителей Лагранжа не всегда можно полагать 0 1).

32 fx,xxinf;fx,xxx0.

0121 11212

тивном случае не будет удовлетворяться первое уравнение системы), тогда решение

106

1

системы имеет вид: x , x0. Но при этих значениях x1, x2 не будет удо-

1 3 2

3 2

влетворяться уравнение связи x x 0. Таким образом, получим что решения

1 2

нет, а это неверно.

Задача 4. (показывает, что экстремум функции Лагранжа как задачи без огра-

ничений может не совпадать с экстремумом исходной задачи с ограничениями).

10; .

L, 0 0при 0 .

5) Если 1, то 210и, следовательно, L, 0 0 при 0 и

L, 0 0при 0 .

Таким образом, при любых функция L принимает в любой достаточно малой окрестности точки 0, 0 как положительные значения, так и отрицательные значе-

ния. А это означает, что ни при каких эта функция в точке x 0, 0 не имеет да-

же локального минимума. Значит, точка x 0, 0 не является решением задачи, а

это неверно.

Задача 5.

На развитие двух предприятий выделено 2 млн. рублей. Если первому предпри-

ятию дадут x1 млн. рублей, то прибыль, полученная от этого предприятия, будет

равна 2x1 млн. рублей, если x2 млн. дадут второму, то прибыль от него будет равна

3x2 млн. рублей. Определить, как следует распределить средства между предприя-

тиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной. Решим эту задачу методом

множителей Лагранжа.

Точку возможного максимума найдем методом множителей Лагранжа. Функ-

ция Лагранжа имеет вид:

L(x1, x2 , ) 2x1 3x2 (x1 x2 2)

Для отыскания точек возможных экстремумов составим систему:

108