9180

(на эпюре N имеет знак "минус"); [σ]с, [σ]р – расчетные сопротивления материала на сжа-

тие и растяжение по пределу прочности.

Используя условия прочности (4.14) или (4.15), можно решать задачи трех типов:

1-й тип – проверочная задача. Используя все заданные величины и эпюру N, по формулам (6.2) и (6.3) можно проверить прочность бруса.

2-й тип – проектная задача, т.е. подбор сечения бруса.

Приняв |max σ| = [σ], определяем требуемую для этого величину площади Атр попе-

речного сечения из формулы (4.14):

Зная эту площадь, можно определить конкретные размеры сечения заданной формы.

Для хрупкого материала из формул (4.15) требуемую площадь сечения находим от-

дельно:

для растянутой зоны – Ар = |max Nр| / [σ]р

и сжатой зоны – Ас = |max Nс| / [σ]с .

Из полученных значений площадей выбираем большую.

3-й тип – определение несущей способности стержня или определение допускаемой продольной силы.

Приняв |max σ| = [σ] определяем величину наибольшей допускаемой продольной силы:

– для пластичного материала

– для хрупкого материала

[N]р = [σ]р · A

[N]с = [σ]с · A

из двух сил в качестве допускаемой продольной силы выбираем меньшую.

4.5. Деформации участков стержня и перемещения сечений. Условие жесткости

Отсюда получим формулу для определения абсолютного удлинения (или укороче-

ния) участка стержня длиной L :

В формуле (4.18) произведение Е×А называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии, которая измеряется в кН, или в МН.

По этой формуле определяется абсолютная деформация L , если на участке про-

дольная сила постоянна. В случае, когда на участке продольная сила переменна, она опре-

деляется по формуле:

где N(х) – функция продольной силы по длине участка.

Определим горизонтальное перемещение точки а оси бруса (рис. 4.6) – wa: оно равно абсолютной деформации части бруса аd, заключенной между заделкой и сечением,

проведенным через точку, т.е. wa = ℓad.

Рис.4.6.

В свою очередь удлинение участка аd состоит из удлинений отдельных грузовых участков

1, 2 и 3:

Аналогично можно определить перемещение любого сечения бруса и сформулиро-

вать следующее правило: перемещение любого сечения j стержня при растяжении–

сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций n грузовых участков, за-

ключенных между рассматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.

i=0

Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:

где w max – наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры пере-

мещений; [w] – допускаемое значение перемещения сечения для данной конструкции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.

4.6. Статически неопределимые задачи

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия и реакции опор от заданной нагрузки можно определить с помощью лишь одних уравнений равновесия

(уравнений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутрен-

ние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравне-

ний равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравне-

ния – уравнения совместности деформаций или перемещений сечений, учитывающих ха-

рактер деформации системы (геометрическая сторона задачи). Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько не хватает уравнений статики для решения задачи.

Составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений (гео-

метрическая сторона задачи) рассмотрим на примере (раздел 4.7)

4.7.Примеры решения задач

4.7.1.Статически определимые задачи

Задача 4.1 Определение площади поперечного сечения стержня

Дано:

Е1= 105 Мпа;

Е2= 2∙105 Мпа; [σ] 1= 120 Мпа;

[σ] 2= 80 Мпа.

Найти: А1=?, А2=?

Рис. 4.7

Решение:

1.Определяем опорную реакцию:

2.Строим эпюру внутренних усилий N графическим способом.

3.Исходя из максимальных усилий по эпюре N определяем площади попереч-

ных сечений в стержнях 1 и 2:

4. Строим эпюру напряжений σz:

σzА = ==-12 кН/см2=-120 Мпа;

σzB = ==-1,1 кН/см2=-11 Мпа;

σzС = ==8 кН/см2=80 Мпа.

5. Определяем смещения стержней:

WA=0 см, т.к. балка защемлена;

WB= WA+∆l1;

∆l1==-0,059 см;

WB=0-0,059=-0,059 см;

Вывод – точка B сместиться вверх на 0,059 см

Т.к. у нас имеется равномерно-распределенная нагрузка, то смещение второго стержня пойдет по квадратичной параболе, для определения которого зададимся от-

резком z и определим усилия на заданном отрезке: N2(z)=-110+100+0,8(z-50)=0,8z-50

Проверим: найдем усилие N на отрезке 50≤z≤150 см: N2(50)=-10 кН; N2(150)=70 кН.

Соответственно смещение в точке С будет найдено по формуле: WС= WB+∆l2;

Смещение ∆l2 будет найдено через интеграл:

∆l2= =0,017 см

WС=-0,059+0,017=-0,042 см

Вывод – точка С сместиться вверх на 0,042 см, т е стержень будет короче на

0.042 см.

Т.к. на графике напряжений σz и внутренних усилий N есть пересечение с осью z,

следовательно на параболе перемещений будет точка максимального смещения

Wmax, находящаяся на расстоянии z0 - это такое расстояние, на котором сумма проек-

ций сил на ось z равна нулю:

Определение максимального смещения тсержня Wmax:

,

следовательно

Wmax= WB+∆lmax;

∆lmax==-0,0003 см;

Wmax=-0,059-0,003=-0,0593 см

Ответ: площади поперечных сечений на первом участке А1 = 9.2 см2, на втором участке А2 = 8.8 см2.

Задача 4.2 Произвести проверку прочности стержня при действии заданной нагрузки.

Дано:

[σ] 1= 160 Мпа;

[σ] 2= 100 Мпа;

А1= см2; А2= см2.

Найти перемещение точки С, если Е=2∙105 Мпа.

Рис. 4.8

Решение:

1.Определяем опорную реакцию:

2.Строим эпюру внутренних усилий N графическим способом.

3.Исходя из максимальных усилий по эпюре N определяем напряжения в стержнях 1 и 2, и сравниваем их с допоскаемыми:

σz(1)= [σ] 1=160 МПа.

Вывод: прочность на 1-м участке обеспечена, условие выполняется.

σz(2)= [σ] 1=100 МПа.

Вывод: прочность на 2-м участке обеспечена, условие выполняется.

4. Строим эпюру напряжений σz:

5. Определяем смещение точки С:

WС= WА+ WВ+∆lс

WС=0,064+0,036=0,1 см

Ответ: точка С сместиться вниз на 0,1 см.

Задача №3. Определение допускаемой нагрузки (F=?) из условия прочности стержня, если дано:

А1=2А2==2А= см2;

А2= см2. [σ] = 160 Мпа;

Найти перемещение точки С, от найденной нагрузки, если Е=2∙105 Мпа.

Решение: Рис. 4.9

1.Строим эпюру внутренних усилий N от нагрузки F графическим способом.

2.Определяем напряжения σz, в характерных точках, чтобы определить точку с максимальным напряжением

3. Исходя из максимального напряжения σz в точке В второго участка σzB2 оп-

ределяем допускаемую нагрузку:

σzB2 = [σ] =160 МПа, тогда

Вывод: допускаемая нагрузка F должна быть меньше, либо равна 53,3 кН

4.Строим эпюру напряжений σz от полученной нагрузки

5.Определяем смещение точки С:

WС= ∆l1+∆l2+∆l3=0,013-0,04-0,02=-0,047 см ∆l1= см.

∆l2= = -0,04 см.

∆l3= =-0,02 см.

Ответ: точка С сместиться вниз на 0,047 см, допускаемая нагрузка F=53,3 кН.

4.7.2Статически неопределимые задачи.

Задача 4.4.

Стержень защемлен по концам и нагружен силой F, действующей вдоль оси стерж-

ня (рис. 4.10).

Рис.4.10

Под действием силы F в этом случае в заделках могут возникать только показанные реакции ZA и ZB, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реак-

ций выбираем произвольно.

Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) можно соста-

вить только одно уравнение равновесия:

1). ΣFz = 0; ZА – F + Z В = 0.

Для определения двух неизвестных ZA и ZB необходимо составить дополнительно

одно уравнение, т.е. рассматриваемая задача является статически неопределимой (степень статической неопределимости бруса равна единице).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи – составим условие совместности деформаций отдельных участков: общая длина

бруса не может изменяться, следовательно, L = 0.

Удлинение L можно выразить как сумму удлинений двух участков:

Рассмотрим физическую сторону задачи и абсолютные удлинения участков L1 и L 2 ,

используя закон Гука по формуле (4.18), выразим через продольные силы N1 и N2:

Реакцию ZA найдем из уравнения статики:

Задача 4.5 Проверить прочность стержня

Дано:

Абсолютно жесткая балка на двух стержнях

и шарнирно-неподвижной опоре А1=2А2= см2;

[σ] = 160 Мпа; Е=2∙105 Мпа= 2∙104 кН/см2

Найти перемещение т.С

Решение:

1.Изображаем деформацию системы

2.Составляем уравнение равновесия статики

3.Составляем уравнение совместной деформации

, подставляем в уравнение равновесия:

4. Проверяем прочность стержня

σz(1)= [σ] =16 кН/см2;

σz(2)= [σ] =16 кН/см2

Вывод – условие прочности выполняется

5. Находим смещение точки С

WС= ∆l1=

Вывод – точка С сместиться вниз на 0,016 см

Задача 4.6. Определить площадь поперечного сечения стержней Дано:

Абсолютно жесткая балка на подвеске, стержне и шарнирно-неподвижной опоре А1=2А2= ; найти перемещение т.С

[σ] = 160 Мпа; Е=2∙105 Мпа= 2∙104 кН/см2

Решение:

1.Изображаем деформацию системы

2.Составляем уравнение равновесия статики

исходя из закона Гука:

, подставляем в уравнение равновесия:

4. Исходя из условия прочности определяем площадь поперечных сечений А

=16 кН/см2,

Вывод: площадь поперечных сечений д.б. больше либо равна

5. Находим смещение точки С из пропорции треугольника:

∆l1=

Вывод – точка С сместиться вниз на 0,08 см

Задача 4.7. Определение грузоподъемности – допускаемой нагрузки (F=?) из условия прочности стержня

Дано:

А1=2А2= см2;

[σ] = 160 Мпа; Е=2∙105 Мпа= 2∙104 кН/см2

Найти: допускаемую силу F, перемещение балки

1. Изображаем деформацию системы

Поскольку конструкция симметрична, то АЖБ сместиться под нагрузкой вместе с шарнирно подвижной опорой на расстояние

2.Составляем уравнение равновесия статики

3.Составляем уравнение совместной деформации

, подставляем в уравнение равновесия:

4. Исходя из условия прочности определяем допускаемую силу F: