9166
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2 |
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y 0, |
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dxdy |
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y 12x, |
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11.100. e x |
dxdy , где |
D : x 1, |
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11.101. |
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где D : |
2 |
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D |
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D |
x |
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y 3x |
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12.102.
D : yy
y D : x
y
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y 0, |
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(x y)dxdy , |
где D : x 0, |
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D |
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y |
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x2 , |
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y x, |
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11.104. |
xydxdy , где D |
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x 0, |
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: |
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x. |
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D |
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2 |
. |
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y 2 x |
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x, |
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x2 |
y2 4, |
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2, 11.106 ydxdy , |
где |
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||||||||||
D : |
x y 2. |
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1 |
. |
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D |
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x |
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11.103. x 2 y dxdy , где
D
|
x 2 |
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11.105. |
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dxdy , где |
y |
2 |
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D |
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11.107. 15 y 2 dxdy ,
D
|
y x3 , |
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0 x 1, |
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где |
1, |
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11.108. |
y cos xy dxdy , |
где |
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π |
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D : x |
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D : |
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3 |
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D |
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0 y |
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. |
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2 |
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y |
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x. |
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11.109. x 2 |
4 y 2 dxdy , |
где |
D : y x 2 , |
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11.110. |
xdxdy , |
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где |
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D |
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x y 2 . |
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D |
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x2 y2 |
4, |
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sin y |
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dxdy , |
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y |
2x, |
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D : |
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11.111. |
2 |
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где |
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0, |
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D : x |
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y x |
2. |
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D |
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π |
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y |
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. |
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2 |
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0 |
y 2, |
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11.112. x sin xy dxdy , |
где |
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π |
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11.113. ex dxdy , |
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D : |
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D |
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0 |
x |
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D |
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2 |
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x 0, |
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e, |
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x |
2 |
y |
2 |
4, |
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где |
y |
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11.114. ydxdy , |
где |
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D : |
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D : |
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y |
2, |
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D |
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x y 2. |
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x |
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y e |
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. |
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y x, |
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11.115. (x y)dxdy , |
где |
D : x 1, |
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D |
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y 6. |
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2x |
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21
В задачах 11.116 –11.137 вычислить двойные интегралы f x , y dxdy по заданной
D
области D , перейдя к полярным координатам.
11.116.
11.117.
11.118.
11.119.
11.120.
11.121.
11.122.
11.123.
11.124.
11.125.
11.126.
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x 2 |
y 2 |
4, |
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x |
2 |
y |
2 |
dxdy , |
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где |
D : |
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D |
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y |
0. |
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x 2 |
y 2 |
1, |
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x |
2 |
y |
2 |
dxdy , |
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где |
D : |
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D |
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x |
0. |
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x 2 |
y 2 |
2, |
||||||||||||||
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x |
2 |
y |
2 |
dxdy , |
|
где |
D : |
|||||||||||||||||||||||
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D |
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x |
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0, y 0. |
||||||||||||||
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x 2 |
y 2 3, |
|||||||||||||||
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x |
2 |
y |
2 |
dxdy , |
|
где |
D : |
|||||||||||||||||||||||
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D |
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x |
0, y 0. |
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y x, |
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x |
2 |
y |
2 |
dxdy , |
|
где |
D : |
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y x, |
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||||||||||||||||||||||
D |
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1 y |
2 |
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x |
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x2 |
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1 |
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y 1, |
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D: x 0, |
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y 2 |
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2 dxdy , |
где |
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D |
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2 |
y |
|
2 |
2 y. |
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x |
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x 2 y 2 3y, |
|||||||||||||||
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x |
2 |
y |
2 |
dxdy , |
|
где |
D : |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||
D |
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x |
y |
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9. |
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y 2 |
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2 |
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2 |
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|
2 |
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где |
D : x |
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y |
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|
π . |
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1 |
x |
2 |
dxdy , |
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D |
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x 2 y 2 1, |
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|
dxdy |
|
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2 |
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|
2 |
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|||||
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|
, |
|
|
где |
D: x |
|
y |
|
4, |
||||||||||||||
|
2 |
y |
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||
D x |
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x y x. |
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ln x 2 |
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y 2 dxdy |
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|
x 2 |
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y 2 4, |
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|||||||||||||||||||||
|
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|
, |
где |
D: |
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|||
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x |
2 |
y |
2 |
|
2 |
|
y |
2 |
e |
2 |
. |
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|||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
4 x dxdy , |
|
где |
D : x 2 y 2 |
|
4x . |
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|||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
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22
11.127. |
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dxdy |
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|
, |
|
где |
|||||
|
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|||||
|
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|
|
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|
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|
||||||
|
D |
|
1 x2 |
y 2 |
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|||||||||||||
|
|
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|
|
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|||||||
11.128. |
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|
x2 y 2 dxdy , |
где |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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11.129. x2 |
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1 |
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||||||
y 2 |
|
2 dxdy , |
где |
|||||||||||||||
|
D |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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11.130. x2 |
y 2 dxdy , |
где |
||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
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|||||||
11.131. |
|
1 x2 |
y 2 dxdy , |
где |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||
11.132. |
|
|
R2 x2 |
y2 dxdy , |
где |
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
11.133. |
y 2 |
|
2 dxdy , |
где |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.134. |
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|
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|
dxdy |
|
, |
|
где |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 x 2 |
y 2 |
|
||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11.135. |
|
x |
dxdy |
, |
|
|
|
|
|
|
где |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.136. |
|
ydxdy |
, |
|
|
|
|
|
|
где |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
D |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.137. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|||
1 |
|
x |
2 |
dxdy . |
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0,
D:x 0,
x 2 y 2 1.
x 2 y 2 3x,
D: x 2 y 2 9.
D : x2 y 2 2x 0 .
x 2 y 2 2x, D: x 2 y 2 4.
y 0, D: x 0,
x 2 y 2 1.
D : x2 y 2 Rx .
x 2 y 2 |
2x, |
|||||||||||||
D: |
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y x, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
D: y |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
1 y 2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D: |
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
y |
2 |
2 y. |
|||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||
1 x 2 |
|
y 2 4, |
||||||||||||
D: |
0 y |
x. |
||||||||||||
|
||||||||||||||
x2 |
y2 |
π2 , |
||||||||||||
D: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
y |
3. |
§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объёмов фигур
В задачах 11.138 – 11.150 вычислить площади фигур, ограниченных кривыми.
23
11.138. |
xy 4, |
x y 5 0 . |
|
|
11.139. |
x 4 y y 2 , |
x y 6 . |
|||||||||||
|
3 |
x, y 4 x 1 |
2 |
, x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.140. |
. |
11.141. |
x 4, |
y x , |
y 2 x . |
|||||||||||||
y |
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11.142. |
xy 1, |
x y , |
x 2 . |
|
|
11.143. |
|
y x2 ,4 y x2 , y 4 . |
||||||||||
11.144. |
xy 1, |
x 4, |
y 2 . |
|
|
11.145. |
x y 1, |
y 2 x 1 . |
||||||||||
11.146. |
4x y 2 |
4, 16x y 2 64 . |
|
11.147. |
x y 2 2 y , |
x y 0 . |
||||||||||||
11.148. |
2 y x2 , y 0, xy 4, x 4 . |
11.149. x y 2 , y 2 x , y 2, y 2 . |
||||||||||||||||
11.150. |
y sin x, y cos x, x 0, x 0 . |
11.151. |
y 2x, x y 2 0, y 0 . |
В задачах 11.152 – 11.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).
|
x2 y 2 |
x, x2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
x 2 y 2 |
|
|
|
11.152. |
2x, ( y 0) . |
|
|
11.153. |
3x , |
|||||||
x 2 y 2 |
|
11.154. x2 y 2 3y, y |
|
|
|
x 2 y 2 |
|
|||||
3y . |
3x, x 0 . |
11.155. |
4x , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 1 cos . |
||||||
( y x) . |
11.156. x 0, x |
|
4 y y 2 , y 2 . |
11.157. |
||||||||
11.158. |
2 1 cos , 2cos . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.159. |
Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью 2 из кардиоиды |
2 1 sin и расположенную вне круга.
Взадачах 11.160. – 11.172. вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями.
11.160. |
x y 2z 4 , |
x 0 , |
|
y 0 , |
z 0. |
|
|
||||||||
11.161. |
z x2 |
3y 2 |
, |
x y 1 , x 0 , |
y 0 , |
|
z 0. |
||||||||
11.162. |
z 4 x2 , |
y 0 , |
y 5 , |
z 0 . |
|
|
|
||||||||
11.163. |
z y 2 |
, x y 2 , |
x 0 , |
|
y 0 , |
z 0. |
|
||||||||
|
z 0 , |
x z 6 , y |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|||||
11.164. |
x , |
x . |
|
|
|
||||||||||
11.165. |
z 9 y 2 , x 2 y 6 |
x 0 , y 0 , z 0 . |
|||||||||||||
11.166. |
z |
x 2 |
, 2x y 6 0 , |
|
x 0 , |
y 0 , |
z 0. |
||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.167. |
z x2 |
y 2 2, x y 3 , |
x 0 , |
|
y 0 , |
z 0 , x 3 , y 3. |
24
11.168. |
z x2 y 2 1 , |
y 6 x , z 0 , y 1 , y 2x . |
||||
11.169. |
z |
x3 |
, |
x2 y 2 |
9 , x 0 , z 0 |
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
11.170. |
x2 y 2 |
16 |
, y 0 , z y , z 0. |
|||
11.171. |
x y z 4 |
, |
x2 y 2 4 , z 0 . |
|||
11.172. |
x y z 10 |
, |
2x y 4 , x 2y 8 , z 0 . |
§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин
11.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми: x 1, |
x 2 , |
2x 3y 1, y 0 , если плотность x, y в каждой точке равна квадрату абсциссы,
умноженному на ординату этой точки.
11.174. |
Найти массу однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: |
||||
y x2 , |
y 3x2 , |
y 3x . |
|
|
|
|
ограниченной кривыми y x2 , y |
|
|
||
11.175. Найти массу пластины, |
x , если |
||||
плотность её ρ в каждой точке |
x , y равна x , y x 2 y . |
|
|
||
11.176. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её |
x, y в |
||||
каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности. |
|
|
11.177. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: y x2 1, y 2 .
11.178. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограни-
ченной линиями: y 4 x , y 0 , (x 0) .
11.179. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: y x2 , y x 2 , y 0 .
11.180. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: x y 2 , 4x y2 , x 4 , y 0 .
11.181. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (ρ 1) , ограниченной линиями: y 2x2 , y 4x2 , x 4 .
25
11.182. |
Найти статический момент относительно оси |
ОХ однородной пластинки |
|||||||||
(ρ 1) , |
ограниченной линиями: |
xy 4 , xy 1 , x 2 , x 4 . |
|||||||||
11.183. |
Найти статические моменты относительно осей координат мень-шей части |
||||||||||
эллипса |
|
x2 |
|
y 2 |
1,отсекаемой прямой |
x |
|
y |
1 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
9 |
|
2 |
3 |
|
|
11.184. Вычислить моменты инерции относительно осей координат одно-родной пластинки (ρ 1) , ограниченной прямыми: y 2 x , y 1, x 2 .
11.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ 1) относительно оси
OX , ограниченной линиями: |
y2 x , y2 4x , |
|
y 1, y 3. |
11.186. Найти момент инерции относительно оси |
ОУ однородной плас-тинки |
||
(ρ 1) , ограниченной линиями: |
y2 x , y2 4x , |
y 1, y 3. |
|
11.187. Найти момент инерции относительно оси |
|
ОХ однородной плас-тинки |
|
(ρ 1) , ограниченной линиями: |
x2 4 y , y 0 . |
|
|
Глава 12
РЯДЫ
§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость
В задачах 12.1- 12.15 написать общий член ряда.
12.1. |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
12.2. |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
12.3. |
|
2 |
|
4 |
|
|
6 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12.4. |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
12.5. |
|
1 |
1 2 |
|
|
|
1 2 3 |
. |
12.6. |
|
|
1 |
|
|
3! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
3 5 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5! |
|
|
. |
12.7. |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
. |
12.8. |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
12.9. |
|
|
|
1 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
. |
|
12.10. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.12. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
7 |
|
5 |
|
25 |
125 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.14 |
|
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln 3 ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
8 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
12.15. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
12.16. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
3! |
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
7! |
|
|
|
2! |
|
4! |
|
6! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
12.17. |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
12.18. |
x |
1 |
x2 |
1 |
|
x3 |
1 |
|
. |
|
|
x 1 |
x2 4 |
x |
3 |
9 |
x |
x2 |
x3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12.19. |
1 32 x 52 x2 |
72 x3 |
. |
12.20. |
x 1 |
x 1 2 |
x 1 3 |
. |
||||||||||||||
|
|
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|
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2 4 |
3 42 |
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В задачах 12.2112.26 выписать три первых члена ряда.
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3n 1 |
|
1 n 2 . |
|
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2n 1 |
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||||||
12.21. |
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. |
12.22. 2 |
12.23. |
|
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|
. |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
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||||||
|
|
|
n3 |
|
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||||||||
n 1 |
n |
n 1 |
|
n 1 |
|
1 |
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xn |
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x 2 n |
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x 2 n 1 |
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12.24. |
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|
. |
|
|
|
12.25. |
|
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|
|
|
|
. |
|
|
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|
12.26. |
|
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|
|
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. |
||||||||||||
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n 1 n2 |
|
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n 0 |
|
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|
n! |
|
|
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|
n 1 |
|
n |
|
|
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||||||||||||||||
В задачах |
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12.2712.34 написать формулу частичной суммы |
S n , и вычислить её |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предел при n .Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда. |
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1 |
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|
1 |
|
|
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1 |
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
12.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.29. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 2 |
2 3 |
3 4 |
1 3 |
3 5 |
|
5 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
12.30. |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
. |
|
|
12.31. 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
4 |
7 |
10 |
|
|
|
|
2 4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 9 27 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
12.32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
12.33. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
12.34. ln 1 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
6n |
|
|
|
3 |
|
|
2n 1 |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
В задачах 12.3512.43 проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда.
12.35. |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
. |
12.36. |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
102 |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12.38. |
|
|
12.39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12.41. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
12.42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 n2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
3 n |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12.44. |
1 |
2! |
|
|
|
3! |
|
. |
12.44. |
e |
|
e 2 |
|
|
|
e |
3 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.37. |
|
|
|
|
. |
||||
3n |
3 |
|
2 |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.40. |
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2n |
1 4 |
|
|||||||
|
n 1 |
|
|
2n 1
n 1 n n 1 n 4 .
|
2n |
|
|
12.45. |
|
|
. |
|
|
||
n 1n |
1 |
§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов
В задачах 12.4612.61 исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения ( при необходимости использовать эквивалентность
27
следующих бесконечно малых последовательностей :
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
arctg |
|
|
, |
ln 1 |
|
|
, |
|
|
|
(при n ) ). |
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
|
ln |
3 |
|
ln |
4 |
. |
|||
12.46. |
|
|
|
|
|
. |
|
12.47. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 n 1 3n |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
sin |
|
|
, |
tg |
|
|
, |
arcsin |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
12.48. |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
5 |
|
|
6 |
|||
|
3 |
|
|
|
1 |
|
. |
2.49. |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
n 1 |
|
|
|
. |
12.50. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 8 |
|
|
n n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
1 2 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
. 12.51. |
sin |
|
1 |
sin |
1 |
sin |
1 |
|
|
|
12.52. |
tg |
π |
|
tg |
π |
tg |
π |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12.53. |
|
sin 1 sin |
1 |
|
sin |
1 |
|
. |
|
|
|
|
12.54. |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 2 |
|
|
|
4 2 3 |
|
|
|
4 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
12.55. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
12.56. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
12.57. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
2n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1n2 4n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12.58. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
12.59. |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
. |
12.60. |
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n6 2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.61. |
|
n5 |
tg |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 12.6212.71 исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера.
12.62. |
1 |
|
2 |
|
3 |
. 12.63. |
2 |
2 |
2 |
|
23 |
. 12.64. |
2 |
2 |
2 |
|
23 |
. |
|
|
|
2 |
23 |
22 |
32 |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 2 3 |
|
|
3n n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.65. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
5n |
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5n 1 |
|
|
|
|
|
||||
12.68. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 1 |
|
n 1 3n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5n 1 n2 |
3 |
|
||||||||
12.71. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
72n |
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
||||||
12.66. |
|
|
|
|
. |
12.67. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 2n |
1 ! |
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
3n n! |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|||||
12.69. |
|
|
|
. |
12.70. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
n 1 |
nn |
|
n 1 n |
1 ! 2n |
|
|
|
В задачах 12.7212.83 исследовать ряды на сходимость, применяя радикальный признак Коши.
28
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12.72. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n 1 5n 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
2n |
|
|
n |
||||||
12.75. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 15n |
n 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
3n |
2 |
|
|
|
3n |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.78. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
4n |
1 |
|
|
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
12.81. arctg |
|
. |
|
|
|
||
n 1 |
|
5n |
12.73. n n .
n 1 n 1
3n 1
12.76. .
n 1 n n
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
2n 10 |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
||||||
12.79. |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
3n 1 |
||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
||||
12.82. |
arcsin |
. |
||||||||
|
|
n |
||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2n 1 |
|
|
|||
|
|
||
12.74. |
|
|
. |
|
|||
n 1 |
3n 1 |
|
|
n |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
||
12.77. |
|
|
. |
||
|
|
||||
n 1 8n 4 |
|
||||
2n 1 |
n |
||||
12.80. |
|
|
. |
||
|
7n 1 |
||||
n 1 n |
|
|
|
2n 1 |
|
|
12.83. |
|
. |
|
(3n) n |
|||
n 1 |
|
В задачах 12.8412.91 исследовать ряды на сходимость, применяя интегральный признак Коши.
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
12.84. |
|
|
|
|
12.85. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.86. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
n 1 n |
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
e |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
ln 4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12.87. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
12.88. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.89. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
n ln 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12.90. |
3 |
|
|
12 |
|
3n2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
12.91. |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
13 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
24 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 12.92 — 12.106 исследовать ряды на сходимость и указать применяемые признаки.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.92. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
12.93. |
|
|
|
|
|
|
|
12.94. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 2 |
|
|
|
|
9 |
|
|
27 |
|
|
81 |
|
|
2n 2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
3n |
|
||||||||||||||||
12.95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.96. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.97. |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 9 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n ! |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 4 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
5 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12.98. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.99. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
12.100. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n2 |
3 |
|
12.101. 64 167 648 .
|
n n 2 |
|
|
||
|
|
|
. |
12.104. |
|
5n |
|||||
n 1 |
|
|
12.102. |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
2 |
5 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 ln |
n |
1 |
|
||||||||
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
12.103. |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
5 |
|
|
12.105. 3n 1 n .
n 1 4n
12.106. |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin 2 |
|
sin 2 2 |
|
sin 2 |
|
||||
1 |
4 |
9 |
3 |
§3. Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость
В задачах 12.10712.112 доказать, что ряд сходится условно.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
12.107. |
1 |
|
|
|
|
12.108. |
|
. |
|
12.109. |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
5 |
7 |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
n 1ln n 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
1 |
|
|
2n 1 |
|
|
1 ln n . |
||||||||||
12.110. |
|
|
|
|
|
12.111. |
|
|
. |
12.112. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
11 14 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n n 1 |
|
n 2 |
|
n 1 |
|
В задачах 12.11312.120 доказать, что ряд сходится абсолютно.
12.113.
12 12
12.118.
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n 1 |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
12.114. |
n n2 |
. |
|
12.115. |
|
1 |
|
|
. 12.116. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n 1 2n |
1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
5n 2 |
|
|||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
. |
12.117. |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
7 |
|
. |
|
|
||||||||||
22 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 2 |
4 3 9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1 |
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8 |
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27 |
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1 |
n |
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sin |
2n 1 |
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. 12.119. |
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. 12.120. |
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2 |
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n n 1 |
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2! 3! 4! |
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n 2 n 1 ! |
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n 1 |
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В задачах 12.12112.132 исследовать ряд на сходимость.
12.121. |
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1 |
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1 |
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12.122. |
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ln 2 ln 3 ln 4 . |
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2 |
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2 2 |
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3 2 |
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12.123. |
ln |
4 |
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ln |
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5 |
ln |
6 |
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12.124. |
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1 |
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1 |
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1 |
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2 ln 2 2 3ln 2 |
3 4 ln 2 4 |
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12.125. |
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1 |
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1 |
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1 |
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. 12.126. |
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2 |
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8 |
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18 |
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2 |
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1 |
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4 |
2 |
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6 |
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3 |
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1 |
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1 2 3 |
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1 2 3 4 |
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n 1 |
n |
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1 |
n |
n |
2 . |
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5 |
n2 |
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12.127. |
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. |
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12.128. |
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12.129. |
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1 n 1 |
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nn |
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n 1 2n 1 5n |
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n 1 3n 2 |
n |
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n 1 |
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cos |
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n 1 |
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1 |
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n 1 |
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cos 2n |
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n |
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12.130. |
1 |
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tg |
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. |
12.131. |
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1 |
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. |
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12.132. |
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1 |
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n 1 |
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n n |
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n 1 |
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5n |
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n 1n n |
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30