9126
.pdf11
Ускорение характеризуется тангенсом угла наклона зависимости V (t):
{a}= tgi и a = |
V . На |
|
графике |
скорости перемещение |
равно площади |
|||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольного |
треугольника: |
r = |
|
V t . Заменим t на |
t , используем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
выражение (7), получим: |
|
= |
at t |
= |
at |
2 |
. |
|
||
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
При равнопеременном движении тела с начальной скоростью (рис. 10) перемещение определяется площадью трапеции или суммой площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника:
r = |
V |
0 |
+V |
t = V |
t + |
V −V |
0 |
t = V |
t + |
at |
2 |
. |
(13) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость перемещения от времени для равнопеременного движения – квадратичная (рис. 11).
Рис. 10. Графики скорости и средней скорости |
Рис. 11. График перемещения при |
при равнопеременном движении тела |
равнопеременном движении тела |
На графике скорости (рис. 10) видно, что V = V0 + V . Из (7) получаем: |
|
V = V0 + at . |
(14) |
12
Средняя скорость Vср равнопеременного движения равна среднему
арифметическому начальной и конечной мгновенных скоростей:
V |
|
= |
V0 +V |
. |
(15) |
ср |
|
||||
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
На рисунке 10 видно, что
V |
|
= |
V0 +V |
= |
V0 +V0 + at |
= V |
|
+ |
at |
= |
r . |
(16) |
ср |
|
|
0 |
|
||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
С учётом определения равнопеременного движения, выражений (13) и (14), уравнения, описывающие равнопеременное движение, имеют вид:
|
|
|
|
|
at |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
= const; V = V0 + at ; |
r |
= V0t + |
|
|
. |
(17) |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключим время из уравнений (17), получим следующее выражение:
|
= |
V 2 −V 2 |
|
||
r |
|
0 |
. |
(18) |
|
|
|||||
|
|
2a |
|
|
|
Зависимости перемещения от времени для равноускоренного и равнозамедленного движений различаются (рис. 12). При равнозамедленном движении ускорение направлено против движения. Для равнозамедленного прямолинейного движения до остановки (Vост = 0) в момент времени tост , согласно (17), справедливы выражения:
13
V |
− at |
|
= 0 ; r |
= V |
t |
|
− |
atост2 |
. |
(19) |
ост |
ост |
|
||||||||
0 |
|
ост |
0 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для момента времени остановки тела получим выражение:
t |
|
= |
V0 |
; |
r = |
V0 |
2 |
. |
(20) |
ост |
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
ост |
2a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
При равнозамедленном движении скорость линейно уменьшается (рис. 13). Тело останавливается в момент времени tост.
Рис. 12. Зависимости перемещения от времени при |
Рис. 13. Зависимость скорости от |
равноускоренном (a > 0) и равнозамедленном |
времени при равнозамедленном |
(a < 0) движении. Ускорение проецировалось на |
движении до остановки |
|
|
направление движения |
|
1.1.3. Свободное падение тел
Свободное падение тел – движение под действием только силы тяжести без учёта сопротивления воздуха. В гравитационном поле Земли это движение с ускорением свободного падения g , направленным вертикально вниз к поверхности. Вблизи поверхности на высоте h<<RЗ, где RЗ – радиус Земли, g ≈ 10 м/с2.
14
Движение тела, брошенного вертикально вниз из состояния покоя
Это равноускоренное движение из состояния покоя с высоты h . Из
формул (17) следует: |
|
|
|
h = |
gt 2 |
; V = gt . |
(21) |
|
|||
2 |
|
|
Движение тела, брошенного вертикально вниз
Это равноускоренное движение с начальной скоростью с высоты h . Из формул (17) следует:
h = V |
t + |
gt 2 |
; V = V + gt. |
(22) |
|
||||
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Это равнозамедленное движение тела с начальной скоростью V0 и
ускорением свободного падения g , направленным против движения. Если h –
высота подъёма тела за время t , то из формул (17) следует:
h = V |
t − |
gt 2 |
; V = V − gt . |
(23) |
|
||||
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты hmax в момент остановки тела:
15
|
|
|
|
|
|
|
V0 |
|
|
|
V |
2 |
|
|
V |
|
− gt |
|
= 0 t |
|
= |
; h |
|
= |
0 |
, |
(24) |
||
0 |
max |
max |
|
max |
|
|
||||||||
|
|
|
|
g |
|
2g |
|
где время подъёма обозначено tmax .
Если тело, брошенное вертикально вверх, возвращается в точку броска, то время его движения вверх tmax равно времени его падения tпад: tmax = tпад .
Движение тела, брошенного горизонтально
Траектория движения тела, брошенного горизонтально – парабола (на тело действует ускорение свободного падения g , и оно находится у поверхности Земли на высоте h << Rземли ). Движение вдоль оси ОX –
равномерное, т.к. gx = 0, а вдоль ОY – равноускоренное, gy = −g (рис. 14).
Рис. 14. Схематическое представление движения тела, брошенного горизонтально. Пример разложения вектора мгновенной скорости на взаимно перпендикулярные составляющие
Этот вид движения описывается системой из четырёх уравнений. Два уравнения для координаты и скорости в проекциях на ось OX и два подобных уравнения в проекциях на ось OY (см. формулы 17):
16
V |
|
(t)= V |
|
+ g |
t, |
|
|
||||
|
x |
0x |
|
x |
|
|
gxt2 |
|
|||
x(t)= x +V t + |
|
||||||||||
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
0x |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
|
(t)=V |
+ g |
|
t, |
|
|
||||
|
y |
|
0 y |
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
y(t)= y +V t + gyt |
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
0 y |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
(25)
.
В (25) использованы равенства rx = x − x0 |
и ry = y − y0 . |
||||
В выбранной системе координат |
gx |
= 0, gy = −g |
и система уравнений |
||
(25) упрощается: |
|
|
|
|
|
Vx (t)= V0 , |
|
||||
x(t)= V t, |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
Vy (t)= −gt, |
(26) |
||||
|
|
|
gt2 |
|
|
y(t)= y0 |
− |
. |
|
||
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
Вектор мгновенной скорости тела V в любой точке траектории направлен по касательной к ней (рис. 21) и может быть разложен на две взаимно перпендикулярные составляющие:
V = Vx +Vy . |
(27) |
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой V
и катетами Vx и Vy с учетом (26) получим:
V 2 = V 2 |
+V 2 |
= V 2 |
+ (gt)2 . |
(28) |
x |
y |
0 |
|
|
Из того же треугольника и выражений для компонент скорости в (26) получим:
|
|
|
17 |
|
|
|||
tgα = |
|
Vy |
|
= |
|
gt |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
(29) |
||
|
|
|
||||||
|
|
Vx |
|
|
V0 |
|
где α −угол между вектором мгновенной скорости тела V и осью OX.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, – парабола (тело движется с ускорением свободного падения g , тело находится на высоте h << Rземли ). Движение вдоль оси ОX – равномерное, т.к. gx = 0, а вдоль ОY – равнопеременное, gy = −g (рис. 15).
Рис. 15. Схематическое
представление движения тела,
брошенного под углом к горизонту
Этот вид движения, как и предыдущий, также описывается системой из четырёх уравнений:
V |
|
(t)=V |
|
+ g |
|
|
t, |
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
0x |
|
|
x |
|
|
gxt2 |
|
|
||||
x(t)= x + V t + |
, |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0x |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V |
y |
(t)=V |
|
+ g |
y |
t, |
(30) |
|||||||||
|
|
|
0y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gyt |
2 |
|
||
y(t)= y |
|
|
+ V |
t + |
|
. |
||||||||||
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0y |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Вектор начальной скорости V0 представляется векторной суммой его
составляющих вдоль направлений OX и OY: V0 =V0x +V0y (рис. 16). Значения проекций вектора V0 на оси, определяемые из прямоугольного треугольника с гипотенузой V0 , катетами V0x и V0y , острым углом α:
V0x = V0cosα , V0 y = V0sinα . |
(31) |
Рис. 16. Пример разложения вектора
начальной скорости V0 на его
составляющие V0x и V0y вдоль
координатных осей
С учётом того, что gx = 0, gy |
= −g и выражений для начальной скорости |
||||
(31), система (30) примет вид: |
|
|
|
|
|
Vx (t)= V0cosα, |
|
|
|||
x(t)= V0cosα t, |
|
|
|||
Vy (t)= V0sinα − gt, |
(32) |
||||
|
|
gt |
2 |
|
|
y(t)= y0 +V0sinα t − |
. |
||||
|
|
||||
|
2 |
|
|
Для этого вида движения выражения (28) и (29), с учётом (31), примут
вид:
V 2 = V 2 |
+V 2 |
|
= (V cosα)2 + (V sinα − gt)2 |
, |
(33) |
||||||
x |
y |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||
tgα = |
|
Vy |
|
= |
V sinα − gt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
. |
|
(34) |
||||
|
V |
x |
|
V cosα |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
19
1.2. Кинематика движения тела по окружности
Законы, описывающие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения тела. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно получить из уравнений поступательного движения (17), заменив соответствующие величины:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
αt |
|
|
|
|
ω = ω0 + αt; ϕ = ω0t + |
|
|
, |
(35) |
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где α − угловое ускорение, ω− угловая скорость, |
ϕ− угловое перемещение. |
1.2.1. Кинематика движения тела по окружности с постоянной скоростью
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью
V = const схематически представлено на рисунке 17. Скорость в любой момент времени направлена по касательной к окружности. Ускорение –
центростремительное, направлено вдоль радиуса окружности к центру, является нормальной составляющей ускорения тела (см. формулу 11):
a |
|
= |
V 2 |
, V a |
. |
(36) |
цс |
|
|||||
|
|
r |
цс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17. Схематическое представление
равномерного движение тела по
окружности радиуса r
20
Тангенциальное ускорение тела для равномерного движения по
окружности равно |
нулю, так как скорость не меняется по |
модулю |
||||
(см. определение aτ |
под формулой 9). |
|
|
|
|
|
Период обращения тела (Т) – время одного полного оборота: |
|
|||||
|
T = |
2πr |
= |
t |
, |
(37) |
|
|
|
||||
|
|
V |
|
N |
|
где N − число оборотов за время вращения t .
Частота обращения тела (ν) – число оборотов в единицу времени: |
|
||
ν = |
1 |
, [ν]= 1 с-1=1 Гц. |
(38) |
|
|||
T |
|
Циклическая (угловая) частота обращения тела (ω) – число оборотов в
2πсекунд:
ω = |
2π |
, [ω]= 1 рад/с. |
(39) |
|
|||
|
T |
|
|
При равномерном движении тела по окружности тело за равные |
|||
промежутки времени совершает одинаковые угловые перемещения |
ϕ , то есть |
поворачивается на один и тот же угол ϕ . Его угловая |
скорость ω |
определяется отношением: |
|
ω = ϕ = const . |
(40) |
t |
|
Угловая и линейная скорости тела связаны равенством: |
|
V = ωr . |
(41) |