9102
.pdfВ задачах 12.36 – 12.43 представить двойной интеграл f ( x , y )dxdy в
D
виде суммы повторных интегралов (с наименьшим числом слагаемых), если граница области D составлена из отрезков прямых линий и дуг окружностей.
12.36. |
|
|
|
|
12.37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
12.38. |
|
|
|
|
12.39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
12.40. |
|
|
|
|
12.41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
x . |
|
. |
|
|
|
|
x . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.42. |
|
|
|
|
12.43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В задачах 12.44 – 12.75 изменить порядок интегрирования. |
|||||||||||||
3 |
3−x |
0 |
x +1 |
0 |
|
0 |
(x , y )dx . |
||||||
12.44. dx |
f (x , y )dy . 12.45. |
dx |
f (x , y )dy . 12.46. |
dy |
f |
||||||||
0 |
0 |
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
−1 − y −1 |
|
100
|
|
|
|
|
|
y £ 0, |
|
|
||
12.127. |
|
|
dxdy |
|
, |
где D: x ³ 0, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- x 2 - y 2 |
|
|
|||||||
D 1 |
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
£ 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
+ y 2 ³ -3x, |
||||||||||||
12.128. |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
dxdy, |
|
где |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D: |
|
|
|
|
|
2 + y 2 £ 9. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
12.129. (x2 + y 2 )−12 dxdy , |
где D : x2 + y2 +2x ≤ 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.130. (x |
2 |
+ y |
2 |
)dxdy , |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
+ y 2 ³ -2x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
где D: |
2 + y 2 £ 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ³ 0, |
|
|
|
|
||||||||||
12.131. |
|
|
|
|
1+ x2 + y 2 dxdy, |
|
|
где D: x ³ 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ y |
2 |
£ 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
12.132. |
|
|
R2 − x2 − y2 dxdy, |
|
где |
|
D : x2 + y 2 ≤ Rx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 2x, |
|||||||||
12.133. (x 2 + y 2 ) |
|
2 dxdy , |
|
где |
D: x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³1. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12.134. |
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
, |
где |
|
D: y = - |
x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
+ x 2 + y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = - 1 - y |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y £1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.135. |
|
x |
|
dxdy , где |
D: |
x ³ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
|
£ 2 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ydxdy |
|
|
|
|
|
|
1 £ x 2 + y 2 £ 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
12.136. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где D: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 £ y £ x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
£ π |
2 |
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.137. |
1 − |
|
2 |
|
dxdy . где |
|
D: |
0 £ y |
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105
§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей
иобъёмов фигур
Взадачах 12.138 – 12.151 вычислить площади фигур, ограниченных кривыми.
12.138. |
xy = 4, |
x + y −5 = 0 . 12.139. x = 4 y − y 2 , |
x + y = 6 . |
|||||||||
12.140. y = |
3 |
x, y = 4 - (x -1)2 , (x ³ 0). 12.141. x = 4, |
y = |
|
|
, y = 2 |
|
. |
||||
|
x |
x |
||||||||||
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.142. |
xy =1, |
x = y , |
x = 2 . 12.143. y = x2 ,4 y = x2 , y = 4 . |
|||||||||
12.144. |
xy =1, |
x = 4, |
y = 2 . 12.145. x + y = 1, y 2 |
= x + 1 . |
||||||||
12.146. |
4x = y 2 + 4, 16x = y2 +64. 12.147. x = y 2 −2 y , |
x − y = 0 . |
12.148. 2 y = x 2 , y = 0, xy = 4, x = 4 . 12.149. x = y 2 , y = 2 + x , y = 2, y = −2. 12.150. y = sin x, y = cos x, x = 0, (x > 0 ). 12.151. y = 2 x, x + y - 2 = 0, y = 0 .
В задачах 12.152 – 12.158 вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми или удовлетворяющих данным неравенствам (от декартовых координат целесообразно перейти к полярным координатам).
12.152. x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x, ( y ³ 0) . 12.153. |
x 2 + y 2 £ |
3 |
x , |
||||
x 2 + y 2 £ 3y . 12.154. x 2 + y 2 = 3y, y = |
|
x, x = 0 . |
12.155. x 2 + y 2 = 4x , |
||||
3 |
|||||||
( y ³ x) . 12.156. x = 0, x = |
|
, (y ³ 2). |
12.157. ρ = 2(1−cosϕ). |
||||
4 y - y 2 |
12.158. |
ρ = 2(1 + cos ϕ ), ρ = 2 cos ϕ . |
12.159. |
Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью ρ = 2 из кардиоиды |
ρ= 2(1+sinϕ) и расположенную вне круга.
Взадачах 12.160 – 12.172 вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями.
12.160. x + y +2z = 4 , |
x = 0 , y = 0 , |
z =0. |
||
12.161. z = x2 +3y2 , |
x + y =1 , x = 0 , |
y = 0 , z =0. |
||
12.162. |
z = 4 − x2 , y =0 , y =5 , |
z =0. |
||
12.163. |
z = y 2 , x + y = 2 , x = 0 , |
y =0 , z = 0. |
||
|
|
|
|
106 |
|
z = 0 , |
|
|
x + z = 6 , y = |
|
, y = 2 |
|
|
|
|||
12.164. |
|
|
x |
|
x . |
|||||||
12.165. |
z = 9 - y 2 , x + 2 y = 6 |
x = 0 , y ³ 0 , z = 0. |
||||||||||
11.166. z = |
x 2 |
|
, |
2 x + y − 6 = 0 , |
x = 0 , |
y = 0 , z = 0. |
||||||
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.167. |
z = x2 + y 2 + 2, x + y ³ 3 , x = 0 , |
|
|
y = 0 , z = 0 , x = 3 , y = 3. |
||||||||
12.168. |
z = x2 + y2 +1 , y = 6 - x , z = 0 , y =1 , y = 2x . |
|||||||||||
12.169. |
z = |
x 3 |
|
|
, x 2 + y 2 = 9 , x ³ 0 , z = 0 |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.170. x2 + y2 =16 , y = 0 , z = y , z = 0 . |
||||||||||||
12.171. |
x + y + z = 4, x2 + y2 = 4 , z = 0 . |
|||||||||||
12.172. |
x + y + z =10, 2x + y = 4 , x + 2y = 8 , z = 0 . |
§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических величин
12.173. Найти массу фигуры, ограниченной прямыми: |
x = −1, |
x = 2 , |
|||||||||
|
x |
+ |
y |
=1, y = 0 , если плотность |
ρ (x, y ) в каждой |
точке |
равна |
квадрату |
|||
2 |
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
абсциссы, умноженному на ординату этой точки. |
|
|
|
|
|
||||||
12.174. |
Найти массу однородной пластинки(ρ = 1) , ограниченной линиями: |
||||||||||
|
y = x 2 , y = 3x 2 , y = 3x . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y = x2 , y = |
|
|
|
||||||
12.175. |
Найти массу пластины, ограниченной кривыми |
|
x , если |
||||||||
плотность еёρв каждой точке (x , y) |
равна ρ (x , y) = x + 2 y . |
|
|
|
|
12.176. Найти массу круглой пластинки радиуса |
R, если плотность её ρ (x, y )в |
||||
каждой точке равна расстоянию от этой точки до центра окружности. |
|||||
12.177. |
Найти координаты центра тяжести |
однородной |
пластинки(ρ = 1) , |
||
ограниченной линиями: y = x 2 − 1, y = 2 . |
|
|
|||
12.178. |
Найти координаты центра тяжести |
однородной |
пластинки(ρ = 1) , |
||
ограниченной линиями: y = |
|
, y = 0 , (x ³ 0) . |
|
||
4 - x |
|
||||
12.179. Найти координаты центра тяжести однородной |
пластинки(ρ = 1) , |
||||
ограниченной линиями: y = x2 , y + x = 2 , y = 0. |
|
|
|||
|
107 |
|
|
12.180. Найти координаты центра |
тяжести |
однородной |
пластинки(ρ = 1) , |
ограниченной линиями: x = y 2 , 4x = y 2 , x = 4 , |
y ³ 0 . |
|
|
12.181. Найти координаты центра |
тяжести |
однородной |
пластинки(ρ = 1) , |
ограниченной линиями: y = 2x2 , y = 4x2 , x = 4. |
|
|
|
12.182. Найти статический момент относительно оси |
ОХ однородной |
пластинки (ρ = 1) , ограниченной линиями: xy = 4 , xy =1 , x = 2 , x = 4.
12.183. Найти статические моменты относительно осей координат меньшей
части эллипса |
x 2 |
+ |
y 2 |
=1 ,отсекаемой прямой |
x |
+ |
y |
=1 (ρ =1). |
|
|
|
|
|||||
4 |
9 |
2 |
3 |
|
12.184. Вычислить моменты инерции относительно осей координат одно- родной пластинки(ρ = 1) , ограниченной прямыми: y = 2 − x , y =1 , x = 2.
12.185. Найти момент инерции однородной пластинки (ρ = 1) относительно оси
OX , ограниченной линиями: y 2 = x , y 2 = 4x , y =1 , y = 3 .
12.186. Найти момент инерции относительно оси |
ОУ |
однородной пластинки |
|
(ρ = 1) |
, ограниченной линиями: y 2 = x , y 2 = 4x , |
y =1 , |
y = 3 . |
12.187. Найти момент инерции относительно оси |
ОХ |
однородной пластинки |
|
(ρ = 1) |
, ограниченной линиями: x2 = 4 − y , y = 0. |
|
|
Глава 13
РЯДЫ
§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость
В задачах 13.1 - 13.20 написать общий член ряда.
13.1. |
%" + &/ + D4 + … . 13.2. %" + /5 + "D4 + … . 13.3. 2 + "!/ + %!4 + … . |
|
|||||||
13.4. |
!∙%! + %∙&! + &∙D! |
+ … . 13.5. 1 + !∙%!∙" |
+ !∙%∙&!∙"∙% + … . |
|
+ √!% − … |
||||
13.6. |
"! + "∙/%! |
+ "∙/∙4&! |
+ … . 13.7. |
1 − "! |
+ %! |
− … . 13.8. .1 − √!" |
|||
13.9. |
1 – 1 + 1 – … . 12.10. 1 − /! + D! − … . 13.11. |
− &" + "&/ |
− !"&0 |
+ … . 13.12. |
|||||
− ! |
+ ! − ! + … . 13.13. H! |
+ !I + H! |
+ !I + H! + ! I + … . |
|
|||||
67" |
67% |
67/ |
" |
% |
/ |
5 0 |
"D |
|
|
108