9021
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
7 , откуда |
arctg 7 . |
||||
tg |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
1 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (9) берется по модулю, то есть
tg |
k2 k1 |
. |
|
1 k1 k2 |
|
Если прямые l1 : y k1 x b1 ; |
l2 : y k2 x b2 |
параллельны, то 0 |
и tg 0 , |
|
следовательно, из формулы (9) получаем, что k2 k1 |
0, то есть |
k2 k1 . И |
||
обратно, если прямые l1 и |
l2 таковы, что |
k1 k2 , |
значит tg 0 , то есть |
прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых
является равенство их угловых коэффициентов.
Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то |
|
|
, значит |
ctg |
1 k1 k2 |
0, |
2 |
k2 k1 |
откуда 1 k1 k2 0 т.е. k1 k2 1. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство k1 k2 1.
Пример 11. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и
перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .
Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :
L : 3x 2 y 5 0 , 2 y 3x 5 , y |
3 |
x |
|
5 |
, |
значит k |
|
|
3 |
. |
|||||||||||
|
|
L |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Прямые l |
и L перпендикулярны по условию, значит kl |
kL |
1, следовательно, |
||||||||||||||||||
k |
|
|
1 |
|
2 |
. Подставляя в уравнение (5) kl |
|
2 |
, x0 1, |
y0 2 находим искомое |
|||||||||||
l |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
kL |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнение прямой l : |
y 2 |
2 |
x 1 или |
|
l :3y 6 2x 2, следовательно, |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l : 2x 3y 4 0.
|
|
|
41 |
2). Пусть теперь прямые |
l1 |
и l2 |
заданы общими уравнениями |
A1 x B1 y C1 0, |
A2 x B2 y C2 0 . |
||
Сведём вычисление угла |
|
между прямыми к вычислению угла между |
нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми
может быть только острым, а угол между векторами |
может быть и тупым. |
||||||||||||||
Поэтому, если угол |
|
|
|
|
|
|
A , B |
|
|
|
|
A , B |
|
|
|
между векторами |
n |
1 |
и n |
2 |
2 |
острый, то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
(см. рис.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
|
|
Рис. 12 |
Если же угол |
между нормальными векторами тупой, то (см. |
рис. 13).
|
|
|
|
n2 |
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2
n1
Рис. 13
42
Поскольку |
cos cos , то |
cos | cos | . Таким образом для вычисления |
|||||||||||||||||||||||||
угла между прямыми получаем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
A1 A2 B1 B2 |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
A2 |
B2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
В частности: |
|
|
l1 l2 |
A1 A2 |
B1B2 |
0 ; |
|
|
l1 |
|
l2 |
A1 |
|
B1 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
||
В |
последнем |
случае, |
если |
дополнительно |
|
выполняется |
|
равенство |
|||||||||||||||||||
|
A1 |
|
B1 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, то эти прямые совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки до прямой |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пусть заданы прямая l уравнением Ax By C 0 и точка |
M 0 (x0, y0 ) |
||||||||||||||||||||||||
(см. рис. 14). Требуется найти расстояние от точки M 0 |
|
до прямой l . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Расстояние d от точки M 0 |
до прямой l равно модулю проекции вектора M1M 0 , |
||||||||||||||||||||||||||
где |
M1 - произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n A; B . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
l |
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M1 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
Рис. 14 |
|
|
|
|
||||
d | прn M1M 0 |
| |
|
______ |
0 |
|
| A(x0 x1 ) B( y0 y1 ) | | Ax0 By0 Ax1 By1 | |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
n M1M |
|
||||||||||||||
_______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| n | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
A2 B2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как точка M1 принадлежит прямой l , то Ax1 By1 C 0, |
т.е. С Ax1 By1. |
Поэтому
43
d |
| |
Ax0 By0 C | |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||
|
|
A2 B2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что и требовалось получить. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1) |
до прямой 3x 4y 22 0. |
||||||||||
Решение. По формуле (11) получаем |
d |
| 3 2 4 ( 1) |
22 | |
|
20 |
4. |
|||||
|
|
|
5 |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 16 |
|
Задания для самостоятельной работы:
1. Построить прямые:
1) 2x 3y 6 0; 2) 4x 3y 240; 3) 3x 5y 2 0;
4) 5x 2y 1 0; 5) 2x 5y 10; 6) 3x 4y 0; 7) 5x 2 0;
8)2y 5 0; 9) 2x 0.
2.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY отрезок b 3 и
образующей с положительным направлением оси OX угол 300 .
3. Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые построить.
1) |
2x 3y 6 |
3x 2y 4 |
3y 4x 12 |
y 6 4x |
; 2) |
; 3) |
; 4) |
. |
4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OX отрезок длиной
3 ед., а на оси OY отрезок длиной 4ед. Выполнить построение.
5.Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и через точку 2 ; 3 . Прямую построить.
6.Даны точки O 0; 0 и A 3;0 . На отрезке OA построен параллелограмм,
диагонали которого пересекаются в точке B 0; 2 . Написать уравнения
сторон и диагоналей параллелограмма.
7. Прямые |
y 2 |
и |
y 4 |
пересекают прямую |
3x 4y 5 0 |
|
|
соответственно |
в точках A и B . Построить вектор AB , определить его длину и проекции
на оси координат.
44
8.Прямые x 1 и x 3 пересекают прямую y 2x 1 соответственно в точках A и B . Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.
9.Изобразить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) y 2 x, |
x 2 , |
y 2 ; |
|
|
|
|
2) y 2 x, x 4 , |
y 0 ; |
|
|||||||
|
|
x/4 y/2 1 y x 2 |
x 4 |
|
|
|
2 x y 2 x |
2 x 4 |
||||||||
3) |
|
|
, |
|
, |
; |
4) |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
10. |
Найти точку пересечения двух прямых |
3x 4y 2902x 5y 190 |
||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
11. |
Стороны треугольника ABC |
заданы, соответственно, |
уравнениями |
AB : |
||||||||||||
|
4x 3y 5 0 BC |
: |
x 3y 100 AC |
x 2 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
: |
|
. Определить координаты |
||||
|
его вершин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Дана прямая |
2x 3y 4 0 |
Составить уравнение |
прямой, которая |
||||||||||||
|
|
|
. |
|
проходит через точку M 2;1 :
1)параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно к данной прямой.
13.Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A 5; 4 , B 1; 3 и C 3; 2 параллельно противоположным
сторонам.
14.Точка движется по прямой параллельной данной 4x 8y 1 и в некоторый
момент времени проходит точку A( 1, 8) . Найти уравнение прямой, по которой движется точка.
15. |
Даны середины сторон треугольника |
M |
2;1 |
M |
5;3 |
M 3; 4 |
||
|
1 |
, |
2 |
, |
3 |
. |
||
|
Составить уравнения его сторон. |
|
|
|
|
|
|
|
16. |
Даны вершины треугольника A 2;1 , |
B 1; 1 , |
C 3;2 . Составить |
|||||
|
уравнения его высот. |
|
|
|
|
|
|
|
45
17. |
Даны |
вершины треугольника A 1; 1 , |
B 2;1 |
и |
C 3;5 . |
||||||
|
Составить уравнение |
|
перпендикуляра, опущенного из вершины |
A на |
|||||||
|
медиану, проведенную из вершины B . |
|
|
|
|
|
|||||
18. |
Даны |
уравнения |
|
двух |
сторон |
прямоугольника |
5x 2y 7 0 |
||||
|
|
, |
|||||||||
|
5x 2y 360 |
|
|
|
|
|
|
3x 7y 100 |
|||
|
|
и уравнение одной из его диагоналей |
|
. |
|
||||||
Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй |
|||||||||||
|
диагонали. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
Необходимо восстановить границы квадратного участка земли по трем |
||||||||||
|
сохранившимся столбам: одному в центре участка и по одному – на двух |
||||||||||
|
противоположных границах. Составить уравнения прямых, которые |
||||||||||
|
отображают границы участка на плоскости, если на плане координаты |
||||||||||
|
столбов: М(1, 6) – в центре, А(5, 9), В(3, 0) – на сторонах. |
|
|
||||||||
20. |
Даны |
уравнения |
двух |
сторон |
прямоугольника |
2x 3y 5 0 |
|||||
|
, |
||||||||||
|
3x 2y 7 0 |
|
|
|
|
A 2; 3 |
|
|
|
||
|
|
и одна из его вершин |
|
. Составить уравнения двух |
|||||||
|
других сторон этого прямоугольника и его диагоналей. |
|
|
||||||||
21. |
Найти проекцию точки |
M 6;4 |
на прямую |
4x 5y 3 0 |
|
||||||
|
|
|
|
. |
|
||||||
22. |
Найти |
координаты |
точки |
Q , симметричной точке |
P 5;13 |
||||||
|
относительно прямой |
2x 3y 3 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
23.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P 3; 5 на одинаковых расстояниях от точек A 7;3 и B11; 15.
24.Найти проекцию точки P 8;12 на прямую, проходящую через точки
A 2; 3 и B 5;1 .
25. |
Найти точку |
M |
1 , симметричную точке |
M 5;3 |
относительно прямой, |
|||
|
2 |
|||||||
|
проходящей через точки A 3; 4 и B 1; 2 . |
|
|
|||||
26. |
Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. |
|
||||||
1) |
3x y 5 0 x 3y 1 0 |
2) |
3x 4y 1 0 4x 3y 7 0 |
|||||
|
, |
; |
|
|
, |
; |
||
3) |
6x 15y 7 0 10x 4y 3 0 |
4) |
9x 12y 5 0 8x 6y 130 |
|||||
|
, |
; |
|
|
, |
. |
46
27. |
Определить, при каких значениях a |
и b две прямые |
ax2y 1 0 и |
|||||||||||
|
6x 4y b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) имеют одну общую точку; |
2) параллельны; |
3) совпадают. |
|
||||||||||
28. |
Определить, при каком значении a три прямые |
2x y 3 0 x y 3 0 |
||||||||||||
|
|
, |
, |
|||||||||||
|
axy 130будут пересекаться в одной точке. |
|
|
|
|
|||||||||
29. |
Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой |
3x 4y 120от |
||||||||||||
|
координатного угла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
30. |
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P 8; 6 |
и |
||||||||||||
|
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед. |
|
||||||||||||
31. |
Точка |
A 2; 5 является |
вершиной |
квадрата, |
одна из |
сторон которого |
||||||||
|
лежит на прямой |
x 2y 7 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. Вычислить площадь этого квадрата. |
|
|||||||||
32. |
Даны |
|
уравнения |
двух сторон |
прямоугольника |
|
3x 2y 5 0 |
|||||||
|
|
|
, |
|||||||||||
|
2x 3y 7 0и одна из его вершин |
A 2;1 . Вычислить площадь этого |
||||||||||||
|
прямоугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
33. |
Доказать, что прямая |
2x y 3 0 |
пересекает отрезок, ограниченный |
|||||||||||
|
точками |
M 5;1 |
M |
3;7 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
, |
2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
34. |
Доказать, что прямая 2x 3y 6 0не пересекает отрезок, ограниченный |
|||||||||||||
|
точками |
M 2; 3 M 1; 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
, |
2 . |
|
|
|
|
|
|||||
35. |
Вычислить расстояние |
d |
между параллельными прямыми в каждом из |
|||||||||||
|
следующих случаев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
3x 4y 100 6x 8y 5 0 5x 12y 260 5x 12y 130 |
|
||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
; 2) |
|
|
, |
|
; |
|
||
3) |
4x 3y 150 8x 6y 250 24x 10y 39012x 5y 260 |
|
||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
; 4) |
|
|
, |
|
. |
|
|
36. |
Доказать, что прямая |
5x 2y 1 0параллельна прямым 5x 2y 7 0и |
||||||||||||
|
5x 2y 9 0и делит расстояние между ними пополам. |
|
|
|
||||||||||
37. |
Составить уравнение прямой, |
проходящей через точку пересечения |
|
|||||||||||
прямых |
3x 2y 5 0 4x 3y 1 0 |
и отсекающей на оси |
ординат |
|
||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
отрезок b 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
38. |
Составить уравнение |
прямой, |
которая проходит через |
точку |
|
|
|
47 |
пересечения прямых |
2x y 2 0 x 5y 230 |
|
, |
и делит пополам отрезок, |
|
ограниченный точками M 5; 6 и |
N 1; 4 . |
§ 2. Линии второго порядка на плоскости
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0 |
(1) |
Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из
чисел A, B или C отлично от нуля. Такие линии называются линиями
(кривыми) второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
Окружность
Окружностью радиуса R c центром в точке M 0 называется множество всех точек M плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M R . Пусть точка M 0 в
прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x0 , y0 а M (x, y) -
произвольная точка окружности (см. рис. 1).
y M
M 0
0 |
x |
Рис. |
Тогда из условия M 0 M R получаем уравнение
(x x0 )2 ( y y0 )2 R,
то есть
48 |
|
|
(x x0 )2 ( y y0 )2 |
R 2 , |
(2) |
Уравнению (2) удовлетворяют координаты |
любой точки |
M (x, y) данной |
окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.
В частности, полагая x0 0, и y0 0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x 2 y 2 R 2 .
Уравнение окружности (2) после несложных преобразований примет вид x 2 y 2 2x0 x 2 y0 y x02 y02 R 2 0 .
При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1)коэффициенты при x2 и y 2 равны между собой,
2)отсутствует член, содержащий произведение xy текущих координат.
Пример. Показать, что уравнение x2 y2 8x 2y 8 0 задает окружность.
Найти ее центр и радиус.
Решение. Т.к. B 0 , A C 1 – это окружность. Выделим полные квадраты x2 8x 16 16 y2 2y 1 1 8 0
x 4 2 16 y 1 2 1 8 0
x 4 2 y 1 2 9.
Получили уравнение окружности с центром в т. C 4, 1 и радиусом R 3 .
49
Задания для самостоятельной работы:
1.Дана точка A 4;6 . Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок OA.
2.Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и
|
проходящей через точку A 2;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Составить уравнение окружности зная, что точки A 3; 2 и |
B 1;6 |
||||||||||||
|
являются концами одного из её диаметров. |
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Написать уравнение окружности, проходящей через |
точки |
A 1;3 , |
|||||||||||
|
B 0;2 и C 1; 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
Определить область расположения кривой y x 4x. Построить |
||||||||||||||
|
кривую. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения |
|||||||||||||
|
окружности |
2 2 |
|
|
|
|
y x |
и через точку |
||||||
|
x y 4x4y0с прямой |
|||||||||||||
|
A 4; 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Составить уравнение окружности, зная, что |
она касается оси |
OY в |
|||||||||||
|
начале координат и пересекает ось OX в точке 6; 0 . |
|
|
|
||||||||||
8. |
Построить кривые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||
|
1) |
x y 4x6y30 |
2) |
x y 2x4y50 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2) 3) |
x y 8x 0 |
|
4) |
x y 4y 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|||
|
5) |
x y 8x6y 0 |
|
6) x y 2x20. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
9. |
Показать, что точка A 3; 0 |
лежит внутри окружности |
|
|||||||||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 4x2y10, и написать уравнение хорды, делящейся в точке
A пополам.