Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

							40
	3			1	7
						7 , откуда	arctg 7 .
tg				2	2
tg	1	1	3		1
		1			1
		2			2
		2			2

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (9) берется по модулю, то есть

tg	k2 k1		.
	1 k1 k2

Если прямые l1 : y k1 x b1 ;	l2 : y k2 x b2	параллельны, то 0		и tg 0 ,
следовательно, из формулы (9) получаем, что k2 k1			0, то есть	k2 k1 . И
обратно, если прямые l1 и	l2 таковы, что	k1 k2 ,	значит tg 0 , то есть

прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых

является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то			, значит	ctg	1 k1 k2	0,
		2			k2 k1

откуда 1 k1 k2 0 т.е. k1 k2 1. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство k1 k2 1.

Пример 11. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и

перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :

L : 3x 2 y 5 0 , 2 y 3x 5 , y									3	x		5	,		значит k			3	.
																L		3

						2					2						2
						2					2						2
Прямые l					и L перпендикулярны по условию, значит kl											kL	1, следовательно,
k		1		2	. Подставляя в уравнение (5) kl									2	, x0 1,	y0 2 находим искомое
	l

		kL	3								3
		kL	3								3
уравнение прямой l :						y 2	2	x 1 или				l :3y 6 2x 2, следовательно,
уравнение прямой l :						y 2		x 1 или				l :3y 6 2x 2, следовательно,
						3

l : 2x 3y 4 0.

			41
2). Пусть теперь прямые	l1	и l2	заданы общими уравнениями
A1 x B1 y C1 0,			A2 x B2 y C2 0 .
Сведём вычисление угла		между прямыми к вычислению угла между

нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми

может быть только острым, а угол между векторами

может быть и тупым.

Поэтому, если угол

A , B

между векторами

и n

острый, то

(см. рис.12).

	O	x
		Рис. 12
Если же угол	между нормальными векторами тупой, то (см.

рис. 13).


	n2	l1
		l1

Рис. 13

Поскольку

cos cos , то

cos | cos | . Таким образом для вычисления

угла между прямыми получаем формулу

cos

A1 A2 B1 B2

(10)

В частности:

l1 l2

A1 A2

B1B2

0 ;

последнем

случае,

если

дополнительно

выполняется

равенство

, то эти прямые совпадают.

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая l уравнением Ax By C 0 и точка

M 0 (x0, y0 )

(см. рис. 14). Требуется найти расстояние от точки M 0

до прямой l .

Расстояние d от точки M 0

до прямой l равно модулю проекции вектора M1M 0 ,

где

M1 - произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора

n A; B . Следовательно,

M 0

Рис. 14

d | прn M1M 0

______

| A(x0 x1 ) B( y0 y1 ) | | Ax0 By0 Ax1 By1 |

n M1M

_______

| n |

A2 B2

Так как точка M1 принадлежит прямой l , то Ax1 By1 C 0,

т.е. С Ax1 By1.

Поэтому

d	\|	Ax0 By0 C \|					,
										(11)
			A2 B2
			A2 B2
что и требовалось получить.
Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1)					до прямой 3x 4y 22 0.
Решение. По формуле (11) получаем		d		\| 3 2 4 ( 1)				22 \|	20	4.
									5

						9 16

Задания для самостоятельной работы:

1. Построить прямые:

1) 2x 3y 6 0; 2) 4x 3y 240; 3) 3x 5y 2 0;

4) 5x 2y 1 0; 5) 2x 5y 10; 6) 3x 4y 0; 7) 5x 2 0;

8)2y 5 0; 9) 2x 0.

2.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY отрезок b 3 и

образующей с положительным направлением оси OX угол 300 .

3. Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые построить.

1)	2x 3y 6	3x 2y 4	3y 4x 12	y 6 4x
1)	; 2)	; 3)	; 4)	.

4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OX отрезок длиной

3 ед., а на оси OY отрезок длиной 4ед. Выполнить построение.

5.Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и через точку 2 ; 3 . Прямую построить.

6.Даны точки O 0; 0 и A 3;0 . На отрезке OA построен параллелограмм,

диагонали которого пересекаются в точке B 0; 2 . Написать уравнения

сторон и диагоналей параллелограмма.

7. Прямые	y 2	и	y 4	пересекают прямую	3x 4y 5 0
					соответственно

в точках A и B . Построить вектор AB , определить его длину и проекции

на оси координат.

8.Прямые x 1 и x 3 пересекают прямую y 2x 1 соответственно в точках A и B . Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.

9.Изобразить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

1) y 2 x,

x 2 ,

y 2 ;

2) y 2 x, x 4 ,

y 0 ;

x/4 y/2 1 y x 2

x 4

2 x y 2 x

2 x 4

;

10.

Найти точку пересечения двух прямых

3x 4y 2902x 5y 190

11.

Стороны треугольника ABC

заданы, соответственно,

уравнениями

AB :

4x 3y 5 0 BC

x 3y 100 AC

x 2 0

. Определить координаты

его вершин.

12.

Дана прямая

2x 3y 4 0

Составить уравнение

прямой, которая

проходит через точку M 2;1 :

1)параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно к данной прямой.

13.Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A 5; 4 , B 1; 3 и C 3; 2 параллельно противоположным

сторонам.

14.Точка движется по прямой параллельной данной 4x 8y 1 и в некоторый

момент времени проходит точку A( 1, 8) . Найти уравнение прямой, по которой движется точка.

15.	Даны середины сторон треугольника	M		2;1	M	5;3	M 3; 4
15.	Даны середины сторон треугольника		1	,	2	,	3	.
	Составить уравнения его сторон.
16.	Даны вершины треугольника A 2;1 ,		B 1; 1 ,			C 3;2 . Составить
	уравнения его высот.

17.	Даны	вершины треугольника A 1; 1 ,						B 2;1		и	C 3;5 .
	Составить уравнение			перпендикуляра, опущенного из вершины							A на
	медиану, проведенную из вершины B .
18.	Даны	уравнения		двух	сторон		прямоугольника			5x 2y 7 0
											,
	5x 2y 360								3x 7y 100
		и уравнение одной из его диагоналей								.
Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй
	диагонали.
19.	Необходимо восстановить границы квадратного участка земли по трем
	сохранившимся столбам: одному в центре участка и по одному – на двух
	противоположных границах. Составить уравнения прямых, которые
	отображают границы участка на плоскости, если на плане координаты
	столбов: М(1, 6) – в центре, А(5, 9), В(3, 0) – на сторонах.
20.	Даны	уравнения	двух		сторон		прямоугольника			2x 3y 5 0
											,
	3x 2y 7 0						A 2; 3
		и одна из его вершин						. Составить уравнения двух
	других сторон этого прямоугольника и его диагоналей.
21.	Найти проекцию точки			M 6;4		на прямую		4x 5y 3 0
										.
22.	Найти	координаты	точки		Q , симметричной точке					P 5;13
	относительно прямой		2x 3y 3 0
						.

23.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P 3; 5 на одинаковых расстояниях от точек A 7;3 и B11; 15.

24.Найти проекцию точки P 8;12 на прямую, проходящую через точки

A 2; 3 и B 5;1 .

25.	Найти точку	M	1 , симметричную точке			M 5;3	относительно прямой,
						2
	проходящей через точки A 3; 4 и B 1; 2 .
26.	Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны.
1)	3x y 5 0 x 3y 1 0			2)	3x 4y 1 0 4x 3y 7 0
		,	;				,	;
3)	6x 15y 7 0 10x 4y 3 0			4)	9x 12y 5 0 8x 6y 130
		,	;				,	.

27.

Определить, при каких значениях a

и b две прямые

ax2y 1 0 и

6x 4y b 0

1) имеют одну общую точку;

2) параллельны;

3) совпадают.

28.

Определить, при каком значении a три прямые

2x y 3 0 x y 3 0

axy 130будут пересекаться в одной точке.

29.

Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой

3x 4y 120от

координатного угла.

30.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P 8; 6

отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

31.

Точка

A 2; 5 является

вершиной

квадрата,

одна из

сторон которого

лежит на прямой

x 2y 7 0

. Вычислить площадь этого квадрата.

32.

Даны

уравнения

двух сторон

прямоугольника

3x 2y 5 0

2x 3y 7 0и одна из его вершин

A 2;1 . Вычислить площадь этого

прямоугольника.

33.

Доказать, что прямая

2x y 3 0

пересекает отрезок, ограниченный

точками

M 5;1

3;7

2 .

34.

Доказать, что прямая 2x 3y 6 0не пересекает отрезок, ограниченный

точками

M 2; 3 M 1; 2

2 .

35.

Вычислить расстояние

между параллельными прямыми в каждом из

следующих случаев:

3x 4y 100 6x 8y 5 0 5x 12y 260 5x 12y 130

; 2)

;

4x 3y 150 8x 6y 250 24x 10y 39012x 5y 260

; 4)

36.

Доказать, что прямая

5x 2y 1 0параллельна прямым 5x 2y 7 0и

5x 2y 9 0и делит расстояние между ними пополам.

37.

Составить уравнение прямой,

проходящей через точку пересечения

прямых

3x 2y 5 0 4x 3y 1 0

и отсекающей на оси

ординат

отрезок b 3.

38.

Составить уравнение

прямой,

которая проходит через

точку

		47
пересечения прямых	2x y 2 0 x 5y 230
	,	и делит пополам отрезок,
ограниченный точками M 5; 6 и		N 1; 4 .

§ 2. Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0

(1)

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из

чисел A, B или C отлично от нуля. Такие линии называются линиями

(кривыми) второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Окружностью радиуса R c центром в точке M 0 называется множество всех точек M плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M R . Пусть точка M 0 в

прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x0 , y0 а M (x, y) -

произвольная точка окружности (см. рис. 1).

y M

M 0

Рис.

Тогда из условия M 0 M R получаем уравнение

(x x0 )2 ( y y0 )2 R,

то есть

48
(x x0 )2 ( y y0 )2	R 2 ,	(2)
Уравнению (2) удовлетворяют координаты	любой точки	M (x, y) данной

окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая x0 0, и y0 0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x 2 y 2 R 2 .

Уравнение окружности (2) после несложных преобразований примет вид x 2 y 2 2x0 x 2 y0 y x02 y02 R 2 0 .

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1)коэффициенты при x2 и y 2 равны между собой,

2)отсутствует член, содержащий произведение xy текущих координат.

Пример. Показать, что уравнение x2 y2 8x 2y 8 0 задает окружность.

Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B 0 , A C 1 – это окружность. Выделим полные квадраты x2 8x 16 16 y2 2y 1 1 8 0

x 4 2 16 y 1 2 1 8 0

x 4 2 y 1 2 9.

Получили уравнение окружности с центром в т. C 4, 1 и радиусом R 3 .

Задания для самостоятельной работы:

1.Дана точка A 4;6 . Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок OA.

2.Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и

	проходящей через точку A 2;1 .
3.	Составить уравнение окружности зная, что точки A 3; 2 и											B 1;6
	являются концами одного из её диаметров.
4.	Написать уравнение окружности, проходящей через										точки	A 1;3 ,
	B 0;2 и C 1; 1 .

5.										2
5.	Определить область расположения кривой y x 4x. Построить
	кривую.
6.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения
	окружности				2 2					y x	и через точку
	окружности				x y 4x4y0с прямой					y x	и через точку
	A 4; 4 .
7.	Составить уравнение окружности, зная, что									она касается оси		OY в
	начале координат и пересекает ось OX в точке 6; 0 .
8.	Построить кривые:
		2 2							2 2
	1)	x y 4x6y30						2)	x y 2x4y50
	1)						;	2)				;
				2	2				2	2
	2) 3)		x y 8x 0					4)	x y 4y 0
	2) 3)					;		4)			;
		2 2							2 2
	5)	x y 8x6y 0						6) x y 2x20.
	5)					;		6) x y 2x20.
9.	Показать, что точка A 3; 0							лежит внутри окружности
	2 2

x y 4x2y10, и написать уравнение хорды, делящейся в точке

A пополам.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб1902.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09020.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09021.pdf
#
25.11.20232.14 Mб29022.pdf
#
25.11.20232.14 Mб69023.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09024.pdf
#
25.11.20232.14 Mб29025.pdf
#
25.11.20232.15 Mб19026.pdf