Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Радиус-вектором произвольной точки M называют вектор OM , а его коорди-

наты называют координатами этой точки.

Свойства координат вектора

Пусть векторы a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a a1 , a2 , a3 , b b1 ,b2 ,b3 , тогда:

1)a b a2 b2 ;a3 b3

2)a a1 , a2 , a3 ;

3)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ;

4)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ;a1

5) Если A(x1; y1; z1 )

B(x2 ; y2 ; z2 ) , то AB {x2 x1; y2 y1; z2 z1} ;

6) a || b

Пример. Найти координаты вектора c 2a b , его длину и направляю-

щие косинусы, если a 1; 2;3 , b 1;0;1 .

Решение:

1) 2a 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 .

c2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .

2)c 12 42 72 66 .

3)	cos	1	, cos		4		, cos			7		.
3)	cos		, cos				, cos					.
		66			66				66
											1			cos	4		cos	7
	Ответ: c 1; 4;7 ,			c		66			cos		1				4			7
				c		66		,	cos				,			,
								,			66		,	66		,	66 .
											66			66			66 .

Пример. Лежат ли три точки А(2;0;-3), В(-5;4;2) и С(16;-8;-13) на одной прямой?

Решение. Точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда,

когда и векторы AB и AC лежат на одной прямой, то есть коллинеарны.

Найдем координаты этих векторов и проверим векторы на коллинеар-

ность.

AB { 5 2; 4 0; 2 ( 3)} { 7;4;5} ,

AC {16 2; 8 0; 13 ( 3)} {14; 8; 10}.

Согласно свойству 6 координат векторов

7	4	5
			верно AB \|\| AC
14	8	10

Значит, и точки А, В и С лежат на одной прямой.

Ответ: точки А, В и С лежат на одной прямой.

Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;0;- 3), В(-5;4;2) и С(16;-8;-13). Найти координаты четвертой вершины.

Решение. Пусть D(x; y; z) - четвертая вершина параллелограмма ABCD.

Очевидно, что AB DC . Найдем координаты этих векторов:

AB { 5 2; 4 0; 2 ( 3)} { 7;4;5} ,

DC {16 x; 8 y; 13 z}.

Тогда в силу 1 свойства координат вектора, получаем:

		x 7		x 23
16		x 7		x 23


AB DC 8 y 4			, отсюда y 12		, то есть D(23; 12; 18) .

	13 z 5		z 18

Ответ: D(23; 12; 18) .

Пример. Доказать, что векторы a 2;3;1 , b 5;7;0 , c 3; 2;4 не-

компланарны. Разложить вектор d 4;12; 3 по векторам a , b , c .

Решение.

1)Докажем методом от противного. Пусть векторы a , b , c - компланарны.

Рассмотрим векторы a 2;3;1 и b 5;7;0 . Они неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны

52 73 10 .

Тогда в силу предположения о компланарности векторов a , b , c ,

вектор c можно выразить через a , b , то есть c x a y b .

x 2;3;1 {2x; 3x;

x},

yb y 5;7;0 {5y; 7 y; 0} ,

тогда

x a y b {2x 5y; 3x 7 y;

x} . С

другой стороны,

3; 2;4 .

Тогда

2x 5 y 3

3x 7 y 2 .

Подставляя x 4 в первые два уравнения, по-

x 4

y 1

y 2

лучаем - противоречие. Значит, наше предположение о компланарно-

x 4

сти векторов a , b , c - неверно. Следовательно, они некомпланарны.

2) Найдем разложение вектора d x a y b z c : xa x 2;3;1 {2x; 3x; x},

yb y 5;7;0 {5y; 7 y; 0} , zc z 3; 2;4 {3z; 2z; 4z},

тогда x a y b z c {2x 5y 3z; 3x 7 y 2z; x 4z} .

С другой стороны, d 4;12; 3 . Тогда получаем систему:


2x 5y 3z 4				x 1

3x 7 y 2z 12 .			Решая ее, получаем y 1		, то есть
	4z	3
x	4z	3	z 1

Ответ: d a b c .

Задания для самостоятельной работы:

d a b c .

1)Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма

А(1,2,5), В(-4,3,6), С(-1,-2,7). Найти координаты вершины Д.

2)Лежат ли точки А(2,5,-1), В(1,-5,-15) и С(-2,1,3) на одной прямой?

3)Проверить коллинеарность векторов a 2; 1;3 и b 6;3; 9.

Установить, какой из них длиннее и во сколько раз? Как они направлены

- в одну или в противоположные стороны?

4)Проверить, что четыре точки A3; 1;2 , B1;2; 1 , C 1;1; 3,

D3; 5;3 служат вершинами трапеции.

5)На оси y найти точку M , равноудалённую от точек A1; 4;7 и

B 5;6; 5.

6)Даны вершины треугольника A3; 4;7, B 5;3; 2 и C1;2; 3.

Найти длину средней линии треугольника, которая параллельна стороне

BC .

7) Определить при каких значениях ,

векторы

а { 2,3, },

b{ , 6,2} коллинеарны?

8)Даны четыре точки А1(1,3,2), А2(0,3,1), А3(1,5,3), А4(2,-3,5). Проверить,

лежат ли они в одной плоскости.

9)Определить координаты точки М и координаты ее радиус-вектора, если последний составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 53 .

10)Дан модуль вектора | a |=3 и углы, которые этот вектор составляет с

осями координат: =45 , = 60 , =120 . Найти проекции вектора		на
	a

координатные оси.

11)Установить, в каких случаях тройки векторов a , b и с будут ком-

планарны:

а)		={5; 2; 1};		={–1; 4; 2};
	a		b
б)		={6; 4; 2};		={–9; 6; 3};
	a		b

с ={–1; –1; 6};

с ={–3; 6; 3}.

§ 4. Деление отрезка в заданном отношении
Говорят, что точка М делит отрезок АВ в отношении			( 1) ,	если
AM MB .
Так, например, если М –	середина отрезка	АВ, то	1, так	как
AM 1 MB . Если 0 , то точки	А и М совпадают;	если же	0 , то точка

М лежит на прямой, содержащей отрезок АВ, но за пределами самого отрезка.

Найдем

координаты

точки М,

если

известны

координаты

точек

A(x1; y1; z1 ) и

B(x2 ; y2 ; z2 ) , а также что точка

М делит отрезок АВ в отноше-

нии .

Пусть

M (x; y; z) ,

тогда

AM {x x1; y y1; z z1}

MB {x2 x; y2 y; z2 z}.

Учитывая,

что AM MB ,

получаем систему

x x1 (x2 x1 )

y1 ( y2 y1 ) . Отсюда, выражая x,y и z, получаем формулы

z z (z

z )

x x

y y

1 .

z z

Пользуясь этими формулами, легко получить формулы для нахождения координат середины отрезка. Если A(x1; y1; z1 ) , B(x2 ; y2 ; z2 ) и М середина от-

	x1	x2		y1	y2		z1 z2
	M		;			;
	M		;			;
резка АВ, то		2			2		2	.

§ 5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обо-

значается: a b , то есть

a b

cos(a b) .

Заметим, что из определения

скалярного произведения следует, что

a b

cos(a b) (

cos(a b))

a b

cos(a b)

(cos(a b))

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1)a b b a .

2)a b a b , R.

3)a b c a b a c.

Докажем это свойство. Рассмотрим a b c np a( b c) a

a b a c , чтд.

Если два вектора a и b заданы своими координатами: a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 , то их скалярное произведение находим по формуле:

a b a1 b1 a2b2 a3b3 .

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a и 3b , если

a 1; 2;3 и b 0; 1;1 .

Решение. Координаты векторов 2a и 3b :

2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;

3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .

Тогда искомое скалярное произведение равно:

2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.

Ответ: 6.

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Длина вектора из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:

2 .

a a

или

Пример. Найти длину

вектора

c a 2b , если

2 ,

a b 60 .

Решение. По свойству 4, находим
c c c a 2b a 2b	a 2 4a b 4 b 2

22 4 a b cos a b 4 12 4 4 2 1 cos60 4

8 8 12 12 23 .

Ответ: c 23 .

2. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 из определения скалярного произведения вычисляется по фор-

муле:

a b

(a b) arccos

или

a1b1 a2b2

a3b3

(a b) arccos

a2 b2

Пример. Найти угол между векторами a i 2 j 2k и b j k .

				1; 2; 2 и				0; 1;1 .
	Решение. Координаты векторов a и b :		a	1; 2; 2 и			b	0; 1;1 .

	Тогда угол между векторами a и b равен:
		1 0 2 1 2 1			0 1	2

(a b) arccos			arccos						arccos0	,


		22 22 02 1 2 12			3	0
12		22 22 02 1 2 12			3	0

следовательно, (a b) 90 , то есть a b.

Ответ: 90 .

3. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:

Пример. Найти

b , если

a i k

b 2i j .

1;0; 1 ,

Решение. Координаты векторов

2;1;0 . Тогда

1 2 0 1 1

2 .

12 02 1 2

Ответ: np a b 2 .

4. Работа постоянной силы F , под действием которой, материальная точка перемещается на вектор s , может быть вычислена по формуле:

A F s

Задания для самостоятельной работы:

1)Вычислить 2i jj j2kki2k.

2) Найти длину вектора а 2b 3с , если | b | 2 , | c | 5 , угол между векторами b,с равен 60.

3)Найти длину вектора а 2b 3с , если b {1,2, 5}, c { 1,1,1} .

4)Доказать, что диагонали четырехугольника, координаты вершин которого

А(-4,-4,4), В(-3,2,2), С(2,5,1), Д(3,-2,2), взаимно перпендикулярны.

5) Определить при каких значениях векторы а { ,3,4} ,

b {4, , 7} пер-

пендикулярны?

6) Определить угол между векторами a i j и b i 2j 2k.

7)Даны вершины треугольника А(-1,-2,4), В(-4,-2,0), С(3,-2,1). Найти вели-

чину угла ВАС, проекцию вектора АС на вектор АВ .

8)Найти координаты вектора х , если а х 1, в х 2 , с х 3 где а {5, 6,-2}, в {7, 8,-1}, с ={-2,3,0}.

9)Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах

= 2 i

+ j

b = –2 j + k .

10)

Раскрыть скобки в выражении (2 i

– j

)· j

+( j

–2 k )· k

+( i

–2 k )2.

11)

Какому условию должны удовлетворять векторы a

и b , чтобы вектор

+ b

был перпендикулярен вектору a – b .

12)

Даны единичные векторы a ,

b и

с ,

удовлетворяющие условию a

= 0 . Вычислить a

· b

+ b

· с

+ с

· a .

13) Найти вектор х , зная, что а х , а {1,0,1}, b х , b {0,2, 1}, проекция

вектора х на вектор c {1,2,2} равна 1.

14) Найти работу равнодействующих сил F1 1, 1,1 и F 2 2,1,3 при перемеще-

ния её точки приложения из начала координат в точку М(2,-1,-1).

Элементы аналитической геометрии на плоскости

Геометрия одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «гео-

метрия» означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля, а «метрео» – ме-

рить). Такое название объясняется тем, геометрия возникла на основе практи-

ческой деятельности людей (разметке земельных участков, проведении дорог,

строительстве зданий и других сооружений и т.д.) и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям.

§ 1. Прямая на плоскости

Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволя-

ет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее коорди-

нат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения (то есть равенства, связывающего координаты точек прямой).

Каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заме-

нить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли точка M 0 (x0, y0 ) на прямой F(x, y) 0 , достаточно проверить (не прибегая к гео-

метрическим построениям) удовлетворяют ли координаты точки M 0 уравнению

F(x, y) 0 этой прямой.

Пример 1. Лежит ли точка M 0 1; 2 на прямой l : 3x y 1 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб1902.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09020.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09021.pdf
#
25.11.20232.14 Mб29022.pdf