9018
.pdf3
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» для обучающихся по специальности
08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений, специализации Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности, Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений
Нижний Новгород
2022
4
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» для обучающихся по специальности
08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений, специализации Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности, Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений
Нижний Новгород ННГАСУ
5
2022
УДК 517.9
Бондарь Е.А. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии: учебнометодическое пособие /Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова; Нижегородский государственный архи- тектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 92 с. : ил. – Текст : электронный.
Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ по специальности 08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений, специализации Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности, Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика».
© Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, 2022 © ННГАСУ, 2022.
6
Элементы линейной алгебры
§ 1. Матрицы и определители
Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел, со-
стоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и
обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
1. |
|
1 |
2 |
3 |
|
3. |
A |
|
|
|
– матрица порядка 2 |
||
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
B 1 |
2 |
3 – матрица – строка порядка 1 3. |
|||
1
3.C – матрица – строка порядка 2 1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется
квадратной.
1 2
Пример. D – квадратная матрица порядка 2 2.
3 4
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Эле-
менты матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латин-
ского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозна-
чает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый эле-
мент матрицы находится.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Пример. |
A |
|
|
|
. |
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
a2 3 6 –элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем
столбце.
4
Транспонированной матрицей (обозначаемой как AT ) любой матрицы
A порядка m n называется матрица |
AT |
порядка n m, которая получается |
|||||||||
из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
Пример. Найти AT , если A |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Элементы первой строки матрицы A запишем в первый стол- |
|||||||||||
бец матрицы |
AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй столбец |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
матрицы A |
T |
|
T |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
, получаем: A |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствии некоторое число, называемое определителем (или детерминантом) этой матрицы.
Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число
|
a11 |
a12 |
и вычисляется по формуле: a |
a |
a |
a . |
|||||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
11 |
22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
1 4 2 3 4 6 10. |
|
|
|||||||
|
Решение. |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется чис-
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
ло |
a21 |
a22 |
a23 |
и вычисляется по формуле: |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31
a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .
Правая часть этого равенства представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов,
5
расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив лини-
ей элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схе-
мы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями:
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
1 2 4 1 4 3 2 3 0 3 2 0 |
||||
|
0 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представ-
ляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по опреде-
ленному правилу.
Свойства определителей
1)Определитель матрицы не меняется при транспонировании.
2)Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3)Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
4)При перестановке двух строк определитель меняет свой знак.
5)Если элементы какой-либо строки умножить на число k, то определитель умножится на это число k.
6)Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.
6
§ 2. Системы линейных уравнений.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя
неизвестными вида:
a11 x1 a12 x2a21 x1 a22 x2a31 x1 a32 x2
a13 x3
a23 x3
a33 x3
b1
b2 (1.1)
b3 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ai j , |
bi , |
i, j 1,3. |
|
|
|
|||
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1): |
||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
тогда если 0, то система (1.1) имеет |
единственное решение x10 ; x20 ; x30 , |
|||||||
которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомо-
гательные определители x |
, x |
|
, x системы (1.1): |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
b2 |
a22 |
a23 |
|
, x |
2 |
|
a21 |
b2 |
a23 |
, x |
|
a21 |
a22 |
b2 |
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
x0 |
x |
2 |
|
x0 |
x |
|
1 |
, |
|
, |
3 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
x1 x2 x3 2 |
|||
|
2x1 x3 1 . |
||
Пример. Решить по правилу Крамера систему |
|||
|
3x x |
2 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель данной систе- |
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
мы: |
2 |
0 |
1 |
1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 3 |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.
Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.
Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
2 |
|
||||||
x |
|
|
|
1 |
0 1 |
2 0 0 1 1 1 1 1 5 1 0 5 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
1 1 0 1 1 2 0 1 5 0 0 2 6 ; |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
x |
|
2 |
1 1 |
1 1 0 2 5 1 2 1 3 1 1 3 |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 0 5 1 1 0 10 6 3 0 5 12; |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
||||
x |
|
2 |
0 1 |
1 0 5 2 1 2 1 1 3 2 0 3 |
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
6 |
1, |
x0 |
x |
|
12 |
2 , |
x0 |
x |
|
18 |
3. |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Делаем проверку найденного решения |
1; 2;3 : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.
Ответ: 1; 2;3 .
8
Задания для самостоятельной работы:
1. Вычислить определитель матрицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 4 |
|
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
||
|
5 2 |
2 |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
2 |
||
|
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
д) 2 |
6 4 |
||
г) |
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
a |
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Решить уравнения:
cos sin |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
sin cos |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
е) |
2 |
1 |
3 |
|
3 |
4 |
|
|
2 |
||
|
2 x 4 0 |
|
x 1 5 0 |
|
1 |
3 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
||||||||
а) |
б) |
в) |
4 |
5 |
1 0 |
||||||
|
1 |
4 |
|
1 x 1 |
|
2 |
1 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 x 2 1 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
1 |
1 2 0 |
|
д) |
x 2 0 |
1 0 |
|
|
|||
|
5 |
3 x |
|
|
2 |
3 x 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. По правилу Крамера решить системы уравнений:
2x y 4z 3
а) x 4y z 33x 2y 5z 5
x y 4z 8
2x y z 5
г)
x 4y 5
x y 4z 82x y z 5
б)
x 4y 5
x y z 1
д) x 2y z 2
2x 3y 0,5
в)
е)
2x 2 y z 0x 2 y z 0
3x y 2z 0
3x y 2z 32x y 3z 3x 5y 4z 7
|
3x 2y z b |
|
|
4. При каких значениях a и b система уравнений |
|
5x 8y 9z 3: |
|
|
|
|
2x y az 1 |
1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет беско-
нечно много решений?
9
Элементы векторной алгебры
§ 1. Векторы и линейные операции над ними
Величины, которые полностью определяются своим численным значени-
ем, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: пло-
щадь, длина, объем, температура, масса, работа.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины назы-
ваются векторными. Векторная величина геометрически изображается с по-
мощью вектора.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского
алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латин-
ского алфавита с чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая бук-
ва – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.
a
B
|
|
|
|
A |
Рис. 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный век- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор и обозначается: |
|
a |
|
или |
AB |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна еди-
нице.
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпа-
дают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 0 .
Векторы называются коллинеарными a || b , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.