Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9017

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

										70
		2		2								2 2
1.	4x		3y 24						17.	x y 6y70
1.					.				17.									.
		2		2									2
2.	4x 3y 600								18.		x 4x8y120
2.						.			18.									.
		2 2									2x 3xy4y 0
3.	2x y 4x80								19.		2x 3xy4y 0
3.							.		19.									.
		2											2 2
4.	8x 9y 110								20.			x y 2x10y260
4.					.				20.											.
	x 2xy3y 4												2
5.	x 2xy3y 4								21.				x 2x 3y 0
5.					.				21.								.
		2		2									2		2
6.	x 3y 2x 0								22.			x 2y 4y20
6.						.			22.										.
		2											2		2
7.	x 2x5y10								23.		3x 10y 2 0
7.							.		23.									.
	3x xy3y 20												2
8.	3x xy3y 20								24.				x x y 2 0
8.						.			24.									.
		2		2									2 2
9.	x 3y 2x 0								25.				y x 6y50
9.						.			25.									.
		2											2		2
10.		y 2x2y70							26.			3x		5y		0
10.							.		26.								.
		xy0,5y 2x 3											2
		xy0,5y 2x 3											y 2x 4y 0
11.						.			27.				y 2x 4y 0
11.						.			27.								.
		x 23xy3y 0											2
		x 23xy3y 0											x 9y 4 0
12.							.		28.				x 9y 4 0
12.							.		28.								.
		2		2										2 2
13. x 4y 0.									29.				16x 9y 90y810
13. x 4y 0.									29.											.
			2										2 2
14.		x 8x2y160							30.				x y 2x6y80
14.							.		30.											.
		2 2													2 2
15.		x y 2x4y60							31.				36x4y72x40y41
15.								.	31.												.
		2
16.		y 8x2y160
16.							.

Элементы аналитической геометрии в пространстве

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как гео-

метрическое место точек, удовлетворяющих какому либо условию.

Прямоугольная система координат в Oxyz пространстве позволяет уста-

новить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и трой-

ками чисел x, y и z – их координатами. Свойство, общее всем точкам поверх-

ности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат

Oxyz называется такое уравнение F(x, y, z) 0 с тремя переменными x, y и z

, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности,

и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве

Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует опре-

деленный вид ее уравнения.

§1. Плоскость в пространстве

1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпенди-

кулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость задана точкой				M 0 (x0 , y0 , z0 ) и вектором

n A, B,C , перпендикулярным этой плоскости.

	n A, B, C
M 0			Рис.1
M 0		M
		M


Возьмем на плоскости произвольную			точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор

M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 . Так как векторы n и M 0 M				перпендикулярны, то их

скалярное произведение равно нулю: n			M 0 M 0 , то есть
	A x x0 B y y0 C (z z0 ) 0 .			(1)

Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Отметим, что вектор перпендикулярный данной плоскости называется нор-

мальным вектором этой плоскости или вектором нормали.

72
2. Общее уравнение плоскости
Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить C Ax0 By0	Cz0 , то по-
лучим общее уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0 .	(2)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 1; 2;3 и

перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1;4 и Q 1; 2;6 .

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали


плоскости n		PQ 1;1; 2 .
Подставляя в уравнение (1) координаты точки M 0 1; 2;3 и координаты вектора
	1;1;2 , находим искомое уравнение плоскости
n	1;1;2 , находим искомое уравнение плоскости
	1 x 1 1 y 2 2(z 3) 0 или		x 1 y 2 2z 6 0

или x y 2z 7 0 .

3. Уравнение плоскости в отрезках

Из (2) следует Ax By Сz D и далее, предполагая, что D 0 (т.е. плоскость

не проходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на

D , получим уравнение

(3)

в котором

величины отрезков, которые плоскость

«отрезает»

от осей координат (см. рис. 2).

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют един-

ственную плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки M1 (x1 , y1 , z1 ),	M 2 (x2 , y2 , z2 ), M 3 (x3 , y3 , z3 ),				имеет вид:
		x x1	y y1	z z1
		x x1	y y1	z z1
		x2 x1	y2 y1	z2 z1		0
		x3 x1	y3 y1	z3	z1	(4)
						(4)
Раскладывая	этот определитель по элементам первой строки, приведем
его к линейному уравнению относительно					x, y, z вида (2).

Взаимное расположение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости П1 и П 2 уравнениями (см. рис. 3).

A1 x B1 y C1z D1 0 ,

A2 x B2 y C2 z D2 0 .


a)		n2			b)	n1
a)		n2			b)	n1
	П 2		n1




П	1				П1
	1
						П	2
				Рис. 3	n2
					n2

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пере-

секаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом

между плоскостями	П1	и П2		будем считать меньший из этих двугранных уг-
лов (см. рис. 3).
Выразим угол		между плоскостями через угол между нормаль-
			A , B ,C и				A , B ,C			. Если угол острый, то
ными к ним векторами		n	A , B ,C и			n	A , B ,C			. Если угол острый, то
		1	1	1	1	2	2	2	2

(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Если же угол

	– тупой, то				(см. рис. 3 b) ), поэтому									cos cos . В итоге
для вычисления угла		между плоскостями имеем формулу
										A A	B B C C

			n	n
	cos		1		2					1 2	1	2		1	2
										1 2	1	2		1	2

			n1		n2			A2	B2		C 2		A2	B	2	C 2
							1		1		1	2		2		2
						(5)

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности

двух плоскостей имеют вид

П1 П2

A1 A2 B1 B2 C1C2 0;

П1 || П2

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

	Расстояние от точки до плоскости
Пусть заданы плоскость уравнением					Ax By Cz D 0 и точка
M 0 (x0, y0 , z0 ) . Требуется найти расстояние от точки M 0 до плоскости.
Расстояние d от точки M 0		до плоскости равно модулю проекции вектора M1M 0 ,
где M 0 - произвольная точка плоскости, на направление нормального вектора

n A; B;C . Следовательно,
d \| прn M1M 0 \|	______		\| A(x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 ) \|
	______
	n M1M 0
_______
	\| n \|
	\| n \|			A2 B2

| Ax0 By0 Cz0 Ax1 By1 Cz1 | A2 B2

Так как точка M1 принадлежит плоскости, то Ax1 By1 Cz1 D 0,				т.е.
D Ax1 By1 Cz1. Поэтому
d	\| Ax0	By0 Cz0 D \|	,
				(6)
		A2 B2 C2
		A2 B2 C2

что и требовалось получить.

Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1, 4) до плоскости

3x 4y 2z 1 0.
Решение. По формуле (7) получаем
	\| 3 2 4 ( 1) 2		4 1 \|
d	\| 3 2 4 ( 1) 2		4 1 \|	5	5 29	.


		9 16 4	29		29

Задания для самостоятельной работы:

1.Найти точки пересечения плоскости 2x3y4z 240с осями координат. Плоскость построить.

2.Построить плоскости:

1)2x 3y 5z 70; 2) 4x 3y z 0; 3) 2x 3z 6;

	2y 3z 12 2y 3x 4				2x 5z 0			3x 2y 0
4)		; 5)		; 6)					;
						; 7)
8)	y z 0;	9) 2z 7 0;		10) 3y 5 0; 11)			3x 6 0;		12) 2z 0;
13) 3y 0 ;		14)	x 0
3.	Дано уравнение плоскости				x 2y 3z 60
								. Написать для нее
	уравнение в отрезках. Плоскость построить.
4.	Составить	уравнение		плоскости,		которая		проходит	через точку
	M2; 3; 4 и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой
	величины. Плоскость построить.
5.	Составить	уравнение		плоскости,		которая		проходит	через точки
	M 1;4; 1		M 13;2; 10
	1	,	2		и отсекает на осях абсцисс и аппликат

отрезки одинаковой длины. Плоскость построить.

b 1; 2;1.

M2; 1;3 и

M3;4; 5

6. Плоскость проходит через точку M6; 10;1 и отсекает на оси абсцисс отрезок a 3 , а на оси аппликат отрезок c 2 . Составить для этой плоскости уравнение в отрезках. Плоскость построить.

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1; 2;3 и

перпендикулярной вектору OM .

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M3;4; 5 параллельно плоскости 2x3y2z10.

9.Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1)2x 3y 5z 70 и 2x 3y 5z 30;

2)4x 2y 4z 50 и 2x y 2z 1 0;

3) x 3z 2 0 и 2x 6z 7 0

10.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x 3y 2z 30.

11.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M3; 2; 7 параллельно плоскости 2x 3z 5 0.

12.Даны две точки M3; 1;2 и N4; 2; 1. Составить уравнение

плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору MN .

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам a 3;1; 1 и

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки N 3;1;2 параллельно вектору a 3; 1;4 .

15.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 0;0; 2 и

перпендикулярной к плоскостям x y z 0 и 2 y x .

16.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

M 3; 1;2		M 4; 1; 1		M 2;0;2
1	,		и
		2		3 .

17. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1)3x y 2z 50, x 9y 3z 2 0;

2)2x 3y z 30, x y z 5 0;

	2x 5y z 0		x 2z 3 0
3)		,
			;
4)	x y z 1		2x 3y z 7 0
		,	.
18. Составить		уравнение плоскости, которая проходит через начало

координат перпендикулярно к двум плоскостям: 2x y 3z 1 0и x 2y z 0.

19.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку

M2; 1;1 перпендикулярно плоскости 2x z 1 0 и параллельно

вектору b 1; 2;1 .

20.Установить, что три плоскости x 2y z 7 0, 2x y z 2 0и x 3y 2z 110имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.

21.Составить уравнение плоскости, которая проходит через:

точки

M 0;1;3

M 2;4;5

параллельно оси

;

точки

M 3;1;0

M 1;3;0

параллельно оси

;

точки

M 3;0;3

M 5;0;0

параллельно оси

22. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку

M2; 4;3 и через :

ось OX ;

2) ось OY ;

3) ось

OZ .

23. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку

M2; 3;3 параллельно плоскости

XOY ;

2) через точку

N1; 2;4 параллельно плоскости

XOZ ;

3) через точку

P 5;2; 1 параллельно плоскости

YOZ .

24. Вычислить расстояние d точки M от плоскости в каждом из следующих

случаев:

1)	M 2; 4;3 2x y 2z 3 0		2)	M2; 1; 1	16x12y 15z 0
1)	,	;	2)	,	;
3)	M1;2; 3 ,	5y 4 0;	4) M3; 6;7 ,		4x 3z 1 0.

25. Вычислить	расстояние	d	от точки	P 1;1; 2		до плоскости,
проходящей	через	три	точки:	M1; 1;1		M 2;1;3
проходящей	через	три	точки:	1	,	2	,
M4; 5; 2
3	.

26.В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями:

1)x 2y 2z 120 и x 2y 2z 6 0;

2)2x3y 6z 140и 4x6y12z 210.

27.На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости x 2y 2z 2 0на

расстоянии d 4 .

28.На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки M1; 2;0 и от плоскости 3x 2y 6z 90.

29.На оси OX найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:

12x16y15z10, 2x 2y z 1 0.

§2. Прямая в пространстве

1.Каноническое уравнение прямой

Положение прямой l в пространстве однозначно определено, если задана некоторая точка M 0 x0 ; y0 ; z0 на этой прямой и так называемый направляю-

щий вектор , параллельный данной прямой. p m, n, p

Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор

M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 .

M 0

Рис. 1

Так как векторы p и M 0 M коллинеарны, то их координаты пропорцио-

нальны

x x0	y y0	z z0	.	(1)
m	n
		p

Полученное уравнение называется каноническим уравнением плоскости.

2. Параметрическое уравнение прямой

В уравнении (1) введем обозначение

x x0

y y0

z z0

где t

называется

параметром ( t ), тогда

x x0

x x

y y0

y y

z z0

z z

Отсюда получаем:

x x0

m t

n t

(2)

p t

Это так называемые параметрические уравнения прямой.

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть прямая l проходит через две точки M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) . Нетрудно понять, что вектор M1M 2 x2 x1; y2 y1 , z2 z1 можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда, используя уравнение (1),

получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

x x1	y y1	z z1		(3)
x2 x1	y2 y1	z	2 z1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.13 Mб09012.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб1902.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09020.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09021.pdf