Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4624 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

9014

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
2.13 Mб
Скачать
☆

50

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Oxy так,

чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1 F2 (см. рис. 2) . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).

y

M (x, y)

 

F1 ( c,0)

0

F2 (c,0)

x

Рис. 2

 

 

 

Пусть M (x, y) - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению

эллипса, MF1 MF2 2a , т.е.

(x с)2 y 2

 

(x с)2 y 2

2a,

(3)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (3) к более простому виду следующим образом:

(x с)2 y 2 2a (x с)2 y 2 ,

x 2 2xc c 2 y 2 4a 2 4a(x c)2 y 2 x 2 2xc c 2 y 2 ,

a(x c)2 y 2 a 2 xc,

a2 x2 2a2 cx a2 c2 a2 y 2 a4 2a2 cx c2 x2 , (a 2 c2 )x2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ).

Так как a c , то a2 c2 0. Положим

a2 c2

b2 .

 

(4)

Тогда последнее уравнение имеет вид

b2 x2 a 2 y 2

a 2b2

или

 

 

51

 

x 2

 

y 2

1.

(5)

a 2

b2

 

 

 

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кривая второго порядка.

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (5) содержит x

и y только в четных степенях, поэтому если точка

(x, y) принадлежит эллипсу,

то ему также принадлежат точки (x, y) , ( x, y) ,

( x, y) . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy ,

а также относительно точки O(0, 0) , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y 0 ,

находим две точки A1 ( a, o) и A2 (a, o) , в которых ось Ox пересекает эллипс (см.

рис. 3). Положив в уравнении (5) x 0 , находим точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 ( b, o) и B2 (b, o) . Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезки A1 A2 и B1 B2 , а также их длины 2a и 2b, называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

y

A1

 

 

B2

 

 

A2

x

 

 

 

 

Рис. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1 0

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Из уравнения

 

(5)

следует,

 

что каждое слагаемое

 

из левой

 

части

не

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

y

2

 

 

превосходит единицы,

т.е.

имеют место неравенства

 

 

 

1

и

 

 

1

или

 

a 2

 

b 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x a и

b y b.

Следовательно,

все точки

эллипса

лежат внутри

прямоугольника, образованного прямыми x a,

y b.

52

4. В уравнении (5) сумма неотрицательных слагаемых

x 2

и

y 2

равна единице.

a 2

b2

 

 

 

Следовательно при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться,

 

 

 

 

 

т.е. если

x

 

возрастает, то

y

уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 3.

При a b

эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (5)

принимает вид x2 y 2 a 2 .

c

Отношение половины расстояния между фокусами к большей полуоси a

эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой :

 

 

c

,

(6)

 

a

 

 

 

 

Причем 0 1, так как

0 с a. Чем меньше эксцентриситет эллипса, тем

эллипс будет менее сплющенным, если положить 0 , то эллипс превращается в окружность.

Из равенства

(4) следует, что a b . Если же

a b , то

уравнение

(5)

определяет эллипс,

большая ось которого 2b лежит на оси Oy ,

а малая ось

2a

– на оси Ox (см. рис.4).

 

 

 

y

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 0

A2

 

 

x

 

 

Рис. 4

 

 

 

 

Фокусы такого эллипса находятся в точках

1

 

c)

и 2

 

,

где

c

b2 a2

.

 

F1

F (0,

F (0, c)

 

 

 

 

B1

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эксцентриситет вычисляется по формуле

b .

 

 

 

 

 

 

 

 

«Вырождения» эллипса:

53

x2

 

 

y2

 

0 – задает точку O 0,0 ;

a2

b2

 

 

 

 

x2

 

 

y2

 

1 – мнимый эллипс.

a2

 

b2

 

 

 

 

 

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки

M1 2, 22 и M 2 1, 23 . Построить кривую.

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

 

x2

 

 

y2

1. Если точки

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 1 и M 2

лежат на

эллипсе, то их

координаты удовлетворяют

уравнению

 

 

2

 

8

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

. Решая эту систему, относительно

a 2 и b2 ,

найдем

 

 

1

 

12

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2 16, a2

4 .

Уравнение эллипса

x2

 

 

y2

1. Т.к.

a 2 b 4,

то

фокусы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этого эллипса находятся на оси oy и c 16 4 23 . Итак, F1 0, 23 и

F2 0, 23 .

y

4

23 F2

-2

0

2

x

54

23 F1

-4

Задания для самостоятельной работы:

1.

Составить уравнение эллипса, если известно, что точки

F 2;0

и

F 2;0

1

 

2

являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 6.

 

 

 

 

2.

Составить уравнение эллипса, если известно, что точки

F 0; 1

и

F 0;1

1

 

2

являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 4.

 

 

 

 

3.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на

оси

абсцисс

симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5

и 2.

4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат

симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 7

и 2.

5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 10,

а эксцентриситет

 

 

12

.

 

 

 

13

6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна10, а расстояние между фокусами равно 8.

2 25

7. Дан эллипс 9x y 225. Построить его и найти: 1) его полуоси; 2)

фокусы; 3) эксцентриситет.

8. Эллипс с центром в начале координат и симметричный относительно осей

координат, проходит через точку

M 2;2 и имеет эксцентриситет

 

3

.

4

 

 

 

 

Составить уравнение эллипса.

55

9. Составить уравнение эллипса, если точки

F( 1; 0)

и

F (1; 0)

являются

1

 

2

 

его фокусами, а длина большой оси равна 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

10. Найти

расстояние от левого фокуса

эллипса

x

 

y

1

до центра

 

 

 

 

 

 

25 16

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

окружности

x y 4x8y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти общие точки эллипса 2 2 и окружности, проходящей через x 4y 4

фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.

12. Написать уравнение окружности, центр которой находится в правом

 

2

2

 

фокусе эллипса

x

 

y

 

1, а радиус окружности равен расстоянию между

 

 

 

 

25 16

фокусами этого эллипса.

13. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

 

3

 

 

 

 

2

1)

y

16x ;

 

4

 

 

 

 

1

 

 

 

2

4)

x

49y .

 

7

 

 

 

 

5

 

 

2

 

 

 

2

 

2

2)

y

9 x ;

3)

x

9 y ;

 

3

 

 

 

3

 

 

Кривые построить.

14. Построить кривые:

 

2

2

15

2

2

 

2

2

 

1)

x 5y

9x 25y

1

x 25y

25

 

 

; 2)

 

 

; 3)

 

 

 

;

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная меньшая, чем расстояние между фокуса

Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а

модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов – через 2 a

. По определению 2a 2c, т.е. a c.

O(0, 0)

56

Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Oxy так,

чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1 F2 (см. рис. 5) . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).

y

M (x, y)

 

F1 ( c,0)

0

F2 (c,0)

x

Рис. 5

 

 

 

Пусть M - произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определению гиперболы, MF1 MF2 2a или MF1 MF2 2a, т.е.

(x с)2 y 2 (x с)2 y 2 2a.

После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса,

получим каноническое уравнение гиперболы

 

 

x 2

 

y

2

1,

(7)

 

 

a 2

b

2

 

 

 

 

 

 

 

где

b2

с2

 

а2 .

(8)

Установим форму гиперболы, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (7) содержит x и y только в четных степенях, следовательно гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями

координат. Положив

y 0 в

уравнении (7), находим две точки A1 ( a, o)

и

A2 (a, o) , в которых

ось

Ox

пересекает гипербола. Положив в уравнении (7)

x 0 , получаем y 2 b2 ,

чего

быть не может. Следовательно, гипербола ось Oy не пересекает.

 

 

 

 

57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки A1 и A2 называются вершинами гиперболы, а

отрезок A1 A2

2a

-

действительной осью, отрезок OA1 OA2

a

-

 

действительной полуосью

гиперболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отрезок B1 B2

2b,соединяющий точки

 

B1 ( b,o)

и

B2 (b, o)

называется мнимой

осью, число

b - мнимой полуосью.

Прямоугольник со сторонами 2a

и

2b

называется основным прямоугольником гиперболы.

 

 

 

 

 

3. Из уравнения (7) следует, что

 

x 2

1

или

 

x

 

a. Следовательно,

точки

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гиперболы расположены справа от прямой x a

(правая ветвь гиперболы)

 

и

слева от прямой x a (левая ветвь гиперболы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. В уравнении (7) гиперболы

видно,

что

когда

x

возрастает, то и

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возрастает. Это следует из того, что разность

значение, равное единице.

x 2

 

y 2

сохраняет постоянное

a 2

b 2

 

 

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рис. 6.

 

 

 

 

y

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

 

 

 

 

A

 

Рис. 6

 

 

F1

A

F2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

B

 

 

1

Прямые y b x

и

y b x являются асимптотами гиперболы.

a

 

a

При построении гиперболы целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 7), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины A1 и A2 гиперболы.

58

y

A1 0

A2

x

Рис. 7

 

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между

фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается :

 

c

,

(9)

a

 

 

 

Причем 1, так как с a. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Кривая, определяемая уравнением

y 2

 

x 2

1,

также есть гипербола,

b2

a 2

 

 

 

 

действительная ось 2b которой расположена на оси Oy,

а мнимая ось 2a - на

y

b

-a

0

a

x

-b

Рис. 8

оси Ox

 

(см. рис. 8).

Фокусы такой гиперболы находятся в точках F1 (0, c) и

 

 

 

 

 

 

 

c

.

F (0, c)

,

где c b2

a2 . Эксцентриситет вычисляется по формуле

 

2

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

Асимптоты остаются те же.

59

«Вырождения» гиперболы:

 

x2

 

 

y 2

 

 

 

 

x

 

y x

 

 

y

x

 

y

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 отсюда

 

 

 

0 и

 

 

 

0

 

a2

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b a

 

 

b

a b

 

a b

 

или

 

y

b

x

и

 

y

b

x

 

– пара пересекающихся прямых.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Точка M 6, 2

 

 

лежит на гиперболе,

уравнения асимптот которой

2

y 23 x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.

Решение. Каноническое уравнение гиперболы

x2

 

y2

1, т.к. асимптоты

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

x , то

b

 

2

, b

2

a . Подставим последнее в уравнение гиперболы:

3

a

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

2

 

3 2

3 2

x

 

 

2

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

8 9

 

 

 

x

 

y

9 1, далее т. M 6, 2

 

лежит на гиперболе, т.е.

 

1

,

 

 

2

 

2

2

2

2

 

a

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

4a

 

 

144 72

 

72 4a2 ,

a2 18 ,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1,

 

a 3

2 ; тогда b

3

2 2

 

2 . Итак,

 

 

 

4a2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

искомое уравнение

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности